1. Kiến thức cần nhớ:
• ${(\sqrt[n]{a})^n} = a$
• $a = b\, \Leftrightarrow {a^{2n}} = {b^{2n}}\,(ab > 0)$
• $a = b\, \Leftrightarrow {a^{2n}} = {b^{2n}}\,(ab > 0)$
• $a = b\, \Leftrightarrow {a^{2n + 1}} = {b^{2n + 1}},\,\forall a,b$
2. Các dạng cơ bản:
* Dạng 1:
$\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) \ge 0\,\,\\f(x) = g(x)\end{array} \right.\,{\rm{or}}\,\left\{ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0\,\,\\f(x) = g(x)\end{array} \right.$
* Dạng 2:
$\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) \ge 0\\
f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)
\end{array} \right.$
(Không cần đặt điều kiện f(x) ≥ 0)
* Dạng 3:
$\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = \sqrt {h(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) + g(x) + 2\sqrt {f(x)g(x)} = h(x)\\
f(x) \ge 0\\
g(x) \ge 0
\end{array} \right.$
(chuyển về dạng 2)
* Dạng 4:
$\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}} = \sqrt[3]{{h(x)}}\\
\Leftrightarrow f(x) + g(x) + 3\sqrt[3]{{f(x)g(x)}}(\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}}) = h(x)
\end{array}$
Thay $\sqrt[3]{{h(x)}} = \sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}}$ nhận được phương trình hệ quả
3. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt {{x^2} - 2x - 8} = \sqrt 3 \left( {x - 4} \right)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 4 \ge 0}\\
{{x^2} - 2x - 8 = 3{{(x - 4)}^2}}
\end{array}} \right. \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 4}\\
{{x^2} - 11x + 28 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 4}\\
{\left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = 7
\end{array} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = 7
\end{array} \right.} \right.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4; x = 7
Ví dụ 2. Giải phương trình: $\sqrt {2x - 1} + {x^2} - 3x + 1 = 0$ [ĐH Khối D – 2006]
Ví dụ 3. Giải phương trình: $\sqrt {x + 4} - \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 - 2x} $
TX{\rm{D}}:\left\{ \begin{array}{l}
x + 4 \ge 0\\
1 - x \ge 0\\
1 = 2x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sqrt {(1 - x)(1 - 2x)} = 2x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1/2\\
(1 - x)(1 - 2x) = {(2x + 1)^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1/2 \le x \le 1/2\\
2{x^2} + 7x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1
\end{array}$
Thông thường dạng $\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = \sqrt {h(x)} + \sqrt {k(x)} $, ta thường bình phương 2 vế, điều đó đôi khi lại gặp khó khăn khi giải. Nếu có f(x)+h(x)=g(x)+k(x) hoặc f(x)h(x)=g(x)k(x), thì ta biến đổi phương trình về dạng: $\sqrt {f(x)} - \sqrt {h(x)} = \sqrt {k(x)} - \sqrt {g(x)} $ sau đó bình phương, giải phương trình hệ quả
Ví dụ 4. Giải phương trình: $\sqrt {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 3}}} + \sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {x + 3} $
$\begin{array}{l}PT \leftrightarrow \sqrt {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}}} - \sqrt {x + 3} = \sqrt {{x^2} - x + 1} - \sqrt {x + 1} \\ \to {(\sqrt {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}}} - \sqrt {x + 3} )^2} = {(\sqrt {{x^2} - x + 1} - \sqrt {x + 1} )^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^3} + 1}}{{x + 3}} = {x^2} - x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \left( {loai} \right)\\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}$
Ví dụ 5. Giải phương trình: $\sqrt[3]{{1 - x}} + \sqrt[3]{{2 - x}} = \sqrt[3]{{3 - 2x}}$
$\begin{array}{l}
1 - x + 2 - x + 3\sqrt[3]{{1 - x}}\sqrt[3]{{2 - x}}\left( {\sqrt[3]{{1 - x}} + \sqrt[3]{{2 - x}}} \right) = 3 - 2x\\
\to 3\sqrt[3]{{1 - x}}.\sqrt[3]{{2 - x}}.\sqrt[3]{{3 - 2x}} = 0 \to \left[ \begin{array}{l}
3\sqrt[3]{{1 - x}} = 0\\
\sqrt[3]{{2 - x}} = 0\\
\sqrt[3]{{3 - 2x}} = 0
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2\\
x = 1,5
\end{array} \right.
\end{array}$
Bài tập đề nghị
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a. $\sqrt {x - 1} = x – 3$ b. $\sqrt[{}]{{{x^3} - 2{x^2} + 2x + 1}} = 3x + 1$
c. $\sqrt {6 - x} - 1 = \sqrt {x - 1} $ d. $\sqrt {2x + 1} = \sqrt {x - 3} + \sqrt {8 - x} $
e. $3\sqrt {x + 3} - \sqrt {x - 2} = 7$ f. $\sqrt {3x + 4} + \sqrt {4x - 3} = \sqrt {5x + 4} $
g. $\sqrt[3]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 3}} + \sqrt[3]{{x - 2}} = 0$ h. $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = 0$
i. $\sqrt[3]{{x + 34}} - \sqrt[3]{{x - 3}} = 1$ k. $\sqrt[3]{{x - 1}} - \sqrt[3]{{x - 2}} = 2\sqrt[3]{{2x - 3}}$
ℓ. $\sqrt {x - 8} + \sqrt {3x + 7} = \sqrt {7x + 3} + 3\sqrt {x + 2} $
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $\sqrt { - {x^2} + 3x - 2} = \sqrt {2m + x + {x^2}} $
Bài 3. Tìm m để phương trình $\sqrt {{x^2} - 2mx + 1} = m – 2$ có nghiêm.
Bài 4. Tìm m để phương trình $\sqrt {2{x^2} + mx - 3} = x + 1$ có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5. [ĐH Khối B – 2006] Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: $\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1$
• ${(\sqrt[n]{a})^n} = a$
• $a = b\, \Leftrightarrow {a^{2n}} = {b^{2n}}\,(ab > 0)$
• $a = b\, \Leftrightarrow {a^{2n}} = {b^{2n}}\,(ab > 0)$
• $a = b\, \Leftrightarrow {a^{2n + 1}} = {b^{2n + 1}},\,\forall a,b$
2. Các dạng cơ bản:
* Dạng 1:
$\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) \ge 0\,\,\\f(x) = g(x)\end{array} \right.\,{\rm{or}}\,\left\{ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0\,\,\\f(x) = g(x)\end{array} \right.$
* Dạng 2:
$\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) \ge 0\\
f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)
\end{array} \right.$
(Không cần đặt điều kiện f(x) ≥ 0)
* Dạng 3:
$\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = \sqrt {h(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) + g(x) + 2\sqrt {f(x)g(x)} = h(x)\\
f(x) \ge 0\\
g(x) \ge 0
\end{array} \right.$
(chuyển về dạng 2)
* Dạng 4:
$\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}} = \sqrt[3]{{h(x)}}\\
\Leftrightarrow f(x) + g(x) + 3\sqrt[3]{{f(x)g(x)}}(\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}}) = h(x)
\end{array}$
Thay $\sqrt[3]{{h(x)}} = \sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}}$ nhận được phương trình hệ quả
3. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt {{x^2} - 2x - 8} = \sqrt 3 \left( {x - 4} \right)$
Giải
Phương trình đã cho tương đương với:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - 4 \ge 0}\\
{{x^2} - 2x - 8 = 3{{(x - 4)}^2}}
\end{array}} \right. \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 4}\\
{{x^2} - 11x + 28 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge 4}\\
{\left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = 7
\end{array} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = 7
\end{array} \right.} \right.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4; x = 7
Ví dụ 2. Giải phương trình: $\sqrt {2x - 1} + {x^2} - 3x + 1 = 0$ [ĐH Khối D – 2006]
Giải
Biến đổi phương trình thành: $\sqrt {2x - 1} = - {x^2} + 3x – 1$ (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được: ${x^4} - 6{x^3} + 11{x^2} - 8x + 2 = 0$ ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được: (*) (x – 1)$^2$(x$^2$ – 4x + 2) = 0.Ví dụ 3. Giải phương trình: $\sqrt {x + 4} - \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 - 2x} $
Giải
$\begin{array}{l}TX{\rm{D}}:\left\{ \begin{array}{l}
x + 4 \ge 0\\
1 - x \ge 0\\
1 = 2x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sqrt {(1 - x)(1 - 2x)} = 2x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1/2\\
(1 - x)(1 - 2x) = {(2x + 1)^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1/2 \le x \le 1/2\\
2{x^2} + 7x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1
\end{array}$
Thông thường dạng $\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = \sqrt {h(x)} + \sqrt {k(x)} $, ta thường bình phương 2 vế, điều đó đôi khi lại gặp khó khăn khi giải. Nếu có f(x)+h(x)=g(x)+k(x) hoặc f(x)h(x)=g(x)k(x), thì ta biến đổi phương trình về dạng: $\sqrt {f(x)} - \sqrt {h(x)} = \sqrt {k(x)} - \sqrt {g(x)} $ sau đó bình phương, giải phương trình hệ quả
Ví dụ 4. Giải phương trình: $\sqrt {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 3}}} + \sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {x + 3} $
Giải
Điều kiện xác định: x ≥ - 1$\begin{array}{l}PT \leftrightarrow \sqrt {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}}} - \sqrt {x + 3} = \sqrt {{x^2} - x + 1} - \sqrt {x + 1} \\ \to {(\sqrt {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}}} - \sqrt {x + 3} )^2} = {(\sqrt {{x^2} - x + 1} - \sqrt {x + 1} )^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^3} + 1}}{{x + 3}} = {x^2} - x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \left( {loai} \right)\\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}$
Ví dụ 5. Giải phương trình: $\sqrt[3]{{1 - x}} + \sqrt[3]{{2 - x}} = \sqrt[3]{{3 - 2x}}$
Giải
Lập phương hai vế của phương trình ta có:$\begin{array}{l}
1 - x + 2 - x + 3\sqrt[3]{{1 - x}}\sqrt[3]{{2 - x}}\left( {\sqrt[3]{{1 - x}} + \sqrt[3]{{2 - x}}} \right) = 3 - 2x\\
\to 3\sqrt[3]{{1 - x}}.\sqrt[3]{{2 - x}}.\sqrt[3]{{3 - 2x}} = 0 \to \left[ \begin{array}{l}
3\sqrt[3]{{1 - x}} = 0\\
\sqrt[3]{{2 - x}} = 0\\
\sqrt[3]{{3 - 2x}} = 0
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2\\
x = 1,5
\end{array} \right.
\end{array}$
Bài tập đề nghị
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a. $\sqrt {x - 1} = x – 3$ b. $\sqrt[{}]{{{x^3} - 2{x^2} + 2x + 1}} = 3x + 1$
c. $\sqrt {6 - x} - 1 = \sqrt {x - 1} $ d. $\sqrt {2x + 1} = \sqrt {x - 3} + \sqrt {8 - x} $
e. $3\sqrt {x + 3} - \sqrt {x - 2} = 7$ f. $\sqrt {3x + 4} + \sqrt {4x - 3} = \sqrt {5x + 4} $
g. $\sqrt[3]{{x - 1}} + \sqrt[3]{{x - 3}} + \sqrt[3]{{x - 2}} = 0$ h. $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = 0$
i. $\sqrt[3]{{x + 34}} - \sqrt[3]{{x - 3}} = 1$ k. $\sqrt[3]{{x - 1}} - \sqrt[3]{{x - 2}} = 2\sqrt[3]{{2x - 3}}$
ℓ. $\sqrt {x - 8} + \sqrt {3x + 7} = \sqrt {7x + 3} + 3\sqrt {x + 2} $
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $\sqrt { - {x^2} + 3x - 2} = \sqrt {2m + x + {x^2}} $
Bài 3. Tìm m để phương trình $\sqrt {{x^2} - 2mx + 1} = m – 2$ có nghiêm.
Bài 4. Tìm m để phương trình $\sqrt {2{x^2} + mx - 3} = x + 1$ có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5. [ĐH Khối B – 2006] Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: $\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1$
