Phương pháp giải
* Phương trình có dạng ${p_k}\sum\limits_{k = 1}^n {({{\tan }^k}x + {\alpha ^k}{{\cot }^k}x) + q(\tan x \pm \alpha \cot x) + r = 0} \,\,\,\,\,\,(\,\alpha > 0;\,\,k \ge 2)$
Cách giải
Ví dụ Minh Hoạ
Ví Dụ 1: Giải phương trình ${\tan ^3}x - {\cot ^3}x - 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) - 3(\tan x - \cot x) + 10 = 0\,\,\,\,(1)$
$ \Leftrightarrow {(\tan x - \cot x)^3} - 3(\tan x - \cot x) + 4 = 0\,\,\,\,\,(2)$
Đặt t = tan(x) – cot(x), phương trình (2) trở thành
${t^3} - 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t + 1)({t^2} - 4t + 4) = 0$
$ \Leftrightarrow (t + 1){(t - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l}\tan x - \cot x = - 1\\\tan x - \cot x = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot 2x = \frac{1}{2} = \cot 2\alpha \\\cot 2x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\alpha + k\pi \\2x = - \frac{\pi }{4} + k\pi\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\frac{\pi }{2}\\x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,k \in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 2: Giải phương trình: ${\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + {\cot ^3}x + {\cot ^2}x + \cot x = 6$ (2)
Ta có: Phương trình (2)
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {{{\tan }^3}x + {{\cot }^3}x + 3\tan x.\cot x(\tan x + \cot x)} \right] + \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x.\cot x - 2(\tan x + \cot x) - 8 = 0\end{array}$
$ \Leftrightarrow {(\tan x + \cot x)^3} + {(\tan x + \cot x)^2} - 2(\tan x + \cot x) - 8 = 0$ (3)
Đặt t = tan(x) + cot(x) với |t| ≥ 2, phương trình (3) có dạng
${t^3} - 8 + {t^2} - 2t = 0 \leftrightarrow {t^3} - 8 + {t^2} - 2t = 0$
$\begin{array}{l} \leftrightarrow (t - 2)({t^2} + 2t + 4) - t(t - 2) = 0\\ \leftrightarrow (t - 2)({t^2} + 2t + 4 - t) = 0\Leftrightarrow (t - 2)({t^2} + t + 4) = 0\end{array}$
Với |t| ≥ 2 thì ${t^2} + t + 4 > 0$ nên (4) ↔ t – 2 = 0 ↔ t = 2
Suy ra $\tan x + \cot x = 2 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ ( thoả mãn điều kiện(2)).
Vậy x = π/4 + kπ là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Bài tập rèn luyện:
Giải các phương trình sau:
Bài tập 1. $\,\,\,\,2(\tan x + \cot x) = {\tan ^7}x + {\cot ^7}x$
Bài tập 2. $\,\,\,\,{\tan ^3}x + {\tan ^2}x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x - 4 = 0$
Bài tập 3. $5(\tan x + \cot x) - 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) - 8 = 0$
Bài tập 4. ${\tan ^2}x - 2(\tan x + \cot x) = \frac{{11}}{3} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$
Bài tập 5. $\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + \tan x + \cot x + 2{\tan ^2}x = 8$
Bài tập 6. sin(x) + cos(x) = tan(x) + cot(x)
Bài tập 7. $8({\tan ^4}x + {\cot ^4}x) = 9{(\tan x + \cot x)^2} - 10$
* Phương trình có dạng ${p_k}\sum\limits_{k = 1}^n {({{\tan }^k}x + {\alpha ^k}{{\cot }^k}x) + q(\tan x \pm \alpha \cot x) + r = 0} \,\,\,\,\,\,(\,\alpha > 0;\,\,k \ge 2)$
Cách giải
- Bước 1: Đặt ẩn phụ $\left[ \begin{array}{l}t = \tan x + \alpha \cot x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|t| \le 2\sqrt 2 \\t = \tan x - \,\alpha \cot x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in R\end{array} \right.$
- Bước 2: Giải phương trình F(t) = 0 loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán
- Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x
Ví dụ Minh Hoạ
Ví Dụ 1: Giải phương trình ${\tan ^3}x - {\cot ^3}x - 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) - 3(\tan x - \cot x) + 10 = 0\,\,\,\,(1)$
Giải
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow {\tan ^3}x - {\cot ^3}x - 3\tan x.\cot x(tanx - cotx) - 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x - 2) + 4 = 0\,\,\,\,$$ \Leftrightarrow {(\tan x - \cot x)^3} - 3(\tan x - \cot x) + 4 = 0\,\,\,\,\,(2)$
Đặt t = tan(x) – cot(x), phương trình (2) trở thành
${t^3} - 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t + 1)({t^2} - 4t + 4) = 0$
$ \Leftrightarrow (t + 1){(t - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\end{array} \right.$ hay $\left[ \begin{array}{l}\tan x - \cot x = - 1\\\tan x - \cot x = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot 2x = \frac{1}{2} = \cot 2\alpha \\\cot 2x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\alpha + k\pi \\2x = - \frac{\pi }{4} + k\pi\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\frac{\pi }{2}\\x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,k \in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 2: Giải phương trình: ${\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + {\cot ^3}x + {\cot ^2}x + \cot x = 6$ (2)
Giải
Điều kiện $\sin x.\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}$Ta có: Phương trình (2)
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {{{\tan }^3}x + {{\cot }^3}x + 3\tan x.\cot x(\tan x + \cot x)} \right] + \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x.\cot x - 2(\tan x + \cot x) - 8 = 0\end{array}$
$ \Leftrightarrow {(\tan x + \cot x)^3} + {(\tan x + \cot x)^2} - 2(\tan x + \cot x) - 8 = 0$ (3)
Đặt t = tan(x) + cot(x) với |t| ≥ 2, phương trình (3) có dạng
${t^3} - 8 + {t^2} - 2t = 0 \leftrightarrow {t^3} - 8 + {t^2} - 2t = 0$
$\begin{array}{l} \leftrightarrow (t - 2)({t^2} + 2t + 4) - t(t - 2) = 0\\ \leftrightarrow (t - 2)({t^2} + 2t + 4 - t) = 0\Leftrightarrow (t - 2)({t^2} + t + 4) = 0\end{array}$
Với |t| ≥ 2 thì ${t^2} + t + 4 > 0$ nên (4) ↔ t – 2 = 0 ↔ t = 2
Suy ra $\tan x + \cot x = 2 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ ( thoả mãn điều kiện(2)).
Vậy x = π/4 + kπ là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Bài tập rèn luyện:
Giải các phương trình sau:
Bài tập 1. $\,\,\,\,2(\tan x + \cot x) = {\tan ^7}x + {\cot ^7}x$
Bài tập 2. $\,\,\,\,{\tan ^3}x + {\tan ^2}x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x - 4 = 0$
Bài tập 3. $5(\tan x + \cot x) - 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) - 8 = 0$
Bài tập 4. ${\tan ^2}x - 2(\tan x + \cot x) = \frac{{11}}{3} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$
Bài tập 5. $\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + \tan x + \cot x + 2{\tan ^2}x = 8$
Bài tập 6. sin(x) + cos(x) = tan(x) + cot(x)
Bài tập 7. $8({\tan ^4}x + {\cot ^4}x) = 9{(\tan x + \cot x)^2} - 10$
