Ví dụ 6. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. ${\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2.$
b. $\cot x – \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}.$
c. $\tan x = \cot x + 2{\cot ^3}2x.$
d. $\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right).$
a. $PT \Leftrightarrow 1 + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ $ + \sqrt 3 \cos x = 2$ $ \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $\cot x – \tan x$ và $\sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào?
Ta có: $\cot x – \tan x$ $ = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\sin x\cos x}}$ $ = 2\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau:
Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow 2\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 4\sin 2x$ $ = \frac{2}{{\sin 2x}}\cos 2x + 2{\sin ^2}2x = 1$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – \cos 2x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 1\\
\cos 2x = – \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k∈Z).$
Chú ý: Ta có thể đặt $t = \tan x$ $ \Rightarrow \cot x = \frac{1}{t}$, $\sin 2x = \frac{{2t}}{{1 – {t^2}}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải.
c. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 2{\cot ^3}2x$ $ \Leftrightarrow – 2\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = 2{\cot ^3}2x$ $ \Leftrightarrow \cot 2x + {\cot ^3}2x = 0$
$ \Leftrightarrow \cot 2x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$ $(k∈Z).$
d. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$ $ = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{\sin 2x}} = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)$
$ \Leftrightarrow 1 = {\sin ^2}2x + \sin 2x\cos 2x$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = \sin 2x\cos 2x$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan 2x = 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\
x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 7. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. ${\cos ^6}x – {\sin ^6}x = \frac{{13}}{8}{\cos ^2}2x.$
b. $\frac{{2\left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right) – \sin x\cos x}}{{\sqrt 2 – 2\sin x}} = 0.$
c. $\frac{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}{{5\sin 2x}}$ $ = \frac{1}{2}\cot 2x – \frac{1}{{8\sin 2x}}.$
d. $\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}.$
a. Nhận xét: Xuất hiện ${\cos ^6}x – {\sin ^6}x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức ${a^3} – {b^3}.$
$PT \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)$$\left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x + {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)$ $ = \frac{{13}}{8}{\cos ^2}2x$
$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x + \frac{1}{4}{{\sin }^2}2x} \right)$ $ = \frac{{13}}{8}{\cos ^2}2x$ $ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {8 – 2{{\sin }^2}2x – 13\cos 2x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
2{\cos ^2}2x – 13\cos 2x + 6 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
b. Điều kiện: $\sin x \ne \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.$
$PT \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x – {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)$ $ – \sin x\cos x = 0$
$ \Leftrightarrow 2 – 6{\sin ^2}x{\cos ^2}x – \sin x\cos x = 0$
$ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}2x + \sin 2x – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k∈Z).$
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
c. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}{{5\sin 2x}}$ $ = \frac{1}{2}\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} – \frac{1}{{8\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x – 5\cos 2x + \frac{9}{4} = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $ $(k∈Z).$
d. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – \cos 2x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k\pi $ $(k∈Z).$
a. ${\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2.$
b. $\cot x – \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}.$
c. $\tan x = \cot x + 2{\cot ^3}2x.$
d. $\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right).$
a. $PT \Leftrightarrow 1 + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ $ + \sqrt 3 \cos x = 2$ $ \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
b. Nhận xét: Từ sự xuất hiện của $\cot x – \tan x$ và $\sin 2x$ ta xem chúng có mối quan hệ nào?
Ta có: $\cot x – \tan x$ $ = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\sin x\cos x}}$ $ = 2\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}$. Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau:
Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow 2\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 4\sin 2x$ $ = \frac{2}{{\sin 2x}}\cos 2x + 2{\sin ^2}2x = 1$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – \cos 2x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 1\\
\cos 2x = – \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k∈Z).$
Chú ý: Ta có thể đặt $t = \tan x$ $ \Rightarrow \cot x = \frac{1}{t}$, $\sin 2x = \frac{{2t}}{{1 – {t^2}}}$ đưa phương trình về ẩn $t$ để giải.
c. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 2{\cot ^3}2x$ $ \Leftrightarrow – 2\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = 2{\cot ^3}2x$ $ \Leftrightarrow \cot 2x + {\cot ^3}2x = 0$
$ \Leftrightarrow \cot 2x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$ $(k∈Z).$
d. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$ $ = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{\sin 2x}} = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)$
$ \Leftrightarrow 1 = {\sin ^2}2x + \sin 2x\cos 2x$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = \sin 2x\cos 2x$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan 2x = 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\
x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 7. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. ${\cos ^6}x – {\sin ^6}x = \frac{{13}}{8}{\cos ^2}2x.$
b. $\frac{{2\left( {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} \right) – \sin x\cos x}}{{\sqrt 2 – 2\sin x}} = 0.$
c. $\frac{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}{{5\sin 2x}}$ $ = \frac{1}{2}\cot 2x – \frac{1}{{8\sin 2x}}.$
d. $\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}.$
a. Nhận xét: Xuất hiện ${\cos ^6}x – {\sin ^6}x$ ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức ${a^3} – {b^3}.$
$PT \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)$$\left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x + {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)$ $ = \frac{{13}}{8}{\cos ^2}2x$
$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x + \frac{1}{4}{{\sin }^2}2x} \right)$ $ = \frac{{13}}{8}{\cos ^2}2x$ $ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {8 – 2{{\sin }^2}2x – 13\cos 2x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
2{\cos ^2}2x – 13\cos 2x + 6 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
b. Điều kiện: $\sin x \ne \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.$
$PT \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x – {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)$ $ – \sin x\cos x = 0$
$ \Leftrightarrow 2 – 6{\sin ^2}x{\cos ^2}x – \sin x\cos x = 0$
$ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}2x + \sin 2x – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k∈Z).$
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: $x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
c. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}{{5\sin 2x}}$ $ = \frac{1}{2}\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} – \frac{1}{{8\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x – 5\cos 2x + \frac{9}{4} = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $ $(k∈Z).$
d. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x – \cos 2x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k\pi $ $(k∈Z).$
