Lượng giác là một trong những phần thuộc đề thi đại học của bộ giáo dục và đào tạo. Nhằm giúp học sinh luyện thi đại học một cách hiệu quả, trong buổi hôm nay chúng tôi giới thiệu dạng toán: Tìm điều kiện để phương trình có k nghiệm thuộc D
I. Phương pháp giải
Cho phương trình Q(m,x) = 0 (1) phụ thuộc vào tham số m, x ∈ D
Tìm m để phương trình có k (k ≥ 1) nghiệm thuộc D
Cách giải:
Cách 1: Phương pháp đạo hàm
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình
Bước 2: Tìm miền giá trị (ĐK) của t trên tập xác định D.Gọi miền giá trị của t là U
Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0
Bước 4: Tìm mối tương quan về số lượng t ∈ U và x ∈ D trong phương trình t = h(x). Hay nói cụ thể hơn là xét xem với mỗi t$_0$ ∈ U phương trình t$_0$ = h(x) có bao nhiêu nghiệm x ∈ D
Bước 5: Lập bảng biến thiên của hàm số f(m,t) trên miền U
Bước 6: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà xác định giá trị của m
Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình
Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D .Gọi miền giá trị của t là U
Bước 3: Đưa phương trình về phương trình bậc hai theo t
Bước 4: Tìm tương quan về số lượng t ∈ D và x ∈ D trong phương trình t = h(x). Hay nói cụ thể hơn là xét xem với mỗi t$_0$ ∈ U phương trình t$_0$ = h(x) có bao nhiêu nghiệm x ∈ D
Bước 5: Giải bài toán tìm điều kiện để tam thức f(m,t) có đủ nghiệm t ∈ D gây nên k nghiệm x ∈ D
Chú ý: Gọi k là số nghiệm của phương trình Q(x) trên D, m là số nghiệm của phương trình t = h(x) trên D, n là số nghiệm của phương trình f(t) trên U thì k = m.n
II. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho phương trình ${\cos ^3}x - {\sin ^3}x\,\, = m\,\,\,\,\,\,(1)$
Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt x ∈ (- π/4; π/4)
Đặt $t = \cos x - \sin x = \sqrt 2 \cos (x + \frac{\pi }{4}) \Rightarrow \sin 2x = 1 - {t^2}$
Với $ - \frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{4}\,\,\, \Rightarrow \,\,0 < x + \frac{\pi }{4} < \frac{\pi }{2}\,\, \Rightarrow 0 < \cos (x + \frac{\pi }{4}) < 1\,\, \Rightarrow 0 < t < \sqrt 2 $
Khi đó phương trình (1) trở thành $t\left[ {1 + \frac{1}{2}(1 - {t^2})} \right] = m \Leftrightarrow 3t - {t^3} = 2m$
Ta nhận thấy với mỗi một giá trị của $t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)$ thì phương trình $t = \sqrt 2 \cos (x + \frac{\pi }{4})$ có đúng 1 nghiệm x ∈ (- π/4; π/4)
Do đó (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt x ∈ (- π/4; π/4) thì (2) có đúng 2 nghiệm $t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)$
Xét hàm số $f(t) = 3t - {t^3}$ với $t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)$
$\begin{array}{l}
f(t)' = 3 - 3{t^2}\,\,\,\,\,\,\,\\
f(t)' = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1
\end{array}$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (2) có đúng 2 nghiệm $t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 < 2m < 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1$
Vậy các giá trị của m cần tìm là $\frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1$
Ví dụ 2: Cho phương trình ${(3 + 2\sqrt 2 )^{\tan x}} + {(3 - 2\sqrt 2 )^{\tan x}} = 1$
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm $ \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$
Ta thấy ${(3 + 2\sqrt 2 )^{\tan x}}.{(3 - 2\sqrt 2 )^{\tan x}} = 1$
Do đó nếu đặt $t = {(3 + 2\sqrt 2 )^{\tan x}}\,\,\,\,\,t > 0$ thì ${(3 - 2\sqrt 2 )^{\tan x}} = \frac{1}{t}$
Khi đó phương trình có dạng $t + \frac{1}{t} = m \Leftrightarrow {t^2} - mt + 1 = 0$
Cách 1: Để phương trình có đúng 2 nghiệm $ \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$
⇔ có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
af(0) > 0\\
S/2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 4 > 0\\
1 > 0\\
m/2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2$
Vậy với m > 2 thì thoả mãn điều kiện đầu bài.
Cách 2: Để phương trình có đúng 2 nghiệm $ \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$
⇔đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = t + 1/t trên (0; + ∞) tại 2 điểm phân biệt
Xét hàm y = t + 1/t trên (0; + ∞)
Đạo hàm $y' = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} \Rightarrow \,\,y' = 0 \Leftrightarrow \,\,1 - \frac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m > 2 thoả mãn điều kiện bài toán .
Ví dụ 3: Biện luận theo m số nghiệm $ \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ của phương trình
msin(x) + cos(x) = 2m (1)
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y = m
Với đồ thị hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{2 - \sin x}}$ trên $D = \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$
Xét hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{2 - \sin x}}$. Miền xác định $D = \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$
Đạo hàm $y' = \frac{{ - \sin x(2 - \sin x) + \cos x.\cos x}}{{{{(2 - \sin x)}^2}}} = \frac{{1 - 2\sin x}}{{{{(2 - \sin x)}^2}}}$
$y' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ với x ∈ D ta có $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6}\\
x = \frac{{5\pi }}{6}
\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Kết luận:
Với $\left| m \right| > \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ phương trình vô nghiệm
Với $m = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ hoặc 0 < m < 0,5 phương trình có 1 nghiệm ∈ D
Với $ - \frac{1}{{\sqrt 3 }} < m \le 0$ hoặc $\frac{1}{2} \le m < \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ phương trình có 2 nghiệm ∈ D
Nhận xét chung: Không có một phương pháp giải cụ thể nào cho một bài toán lượng giác. Vì vậy việc nắm chắc phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp là điều cần thiết, đồng thời ta cũng phải nắm vững phương pháp giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực để có những hướng đi đúng đắn cho từng bài toán.
I. Phương pháp giải
Cho phương trình Q(m,x) = 0 (1) phụ thuộc vào tham số m, x ∈ D
Tìm m để phương trình có k (k ≥ 1) nghiệm thuộc D
Cách giải:
Cách 1: Phương pháp đạo hàm
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình
Bước 2: Tìm miền giá trị (ĐK) của t trên tập xác định D.Gọi miền giá trị của t là U
Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0
Bước 4: Tìm mối tương quan về số lượng t ∈ U và x ∈ D trong phương trình t = h(x). Hay nói cụ thể hơn là xét xem với mỗi t$_0$ ∈ U phương trình t$_0$ = h(x) có bao nhiêu nghiệm x ∈ D
Bước 5: Lập bảng biến thiên của hàm số f(m,t) trên miền U
Bước 6: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà xác định giá trị của m
Cách 2: Phương pháp tam thức bậc hai
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình
Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D .Gọi miền giá trị của t là U
Bước 3: Đưa phương trình về phương trình bậc hai theo t
Bước 4: Tìm tương quan về số lượng t ∈ D và x ∈ D trong phương trình t = h(x). Hay nói cụ thể hơn là xét xem với mỗi t$_0$ ∈ U phương trình t$_0$ = h(x) có bao nhiêu nghiệm x ∈ D
Bước 5: Giải bài toán tìm điều kiện để tam thức f(m,t) có đủ nghiệm t ∈ D gây nên k nghiệm x ∈ D
Chú ý: Gọi k là số nghiệm của phương trình Q(x) trên D, m là số nghiệm của phương trình t = h(x) trên D, n là số nghiệm của phương trình f(t) trên U thì k = m.n
II. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho phương trình ${\cos ^3}x - {\sin ^3}x\,\, = m\,\,\,\,\,\,(1)$
Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt x ∈ (- π/4; π/4)
Giải
Ta có : $(1) \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)(1 + \cos x\sin x) = m$Đặt $t = \cos x - \sin x = \sqrt 2 \cos (x + \frac{\pi }{4}) \Rightarrow \sin 2x = 1 - {t^2}$
Với $ - \frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{4}\,\,\, \Rightarrow \,\,0 < x + \frac{\pi }{4} < \frac{\pi }{2}\,\, \Rightarrow 0 < \cos (x + \frac{\pi }{4}) < 1\,\, \Rightarrow 0 < t < \sqrt 2 $
Khi đó phương trình (1) trở thành $t\left[ {1 + \frac{1}{2}(1 - {t^2})} \right] = m \Leftrightarrow 3t - {t^3} = 2m$
Ta nhận thấy với mỗi một giá trị của $t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)$ thì phương trình $t = \sqrt 2 \cos (x + \frac{\pi }{4})$ có đúng 1 nghiệm x ∈ (- π/4; π/4)
Do đó (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt x ∈ (- π/4; π/4) thì (2) có đúng 2 nghiệm $t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)$
Xét hàm số $f(t) = 3t - {t^3}$ với $t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)$
$\begin{array}{l}
f(t)' = 3 - 3{t^2}\,\,\,\,\,\,\,\\
f(t)' = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1
\end{array}$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (2) có đúng 2 nghiệm $t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right)$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 < 2m < 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1$
Vậy các giá trị của m cần tìm là $\frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1$
Ví dụ 2: Cho phương trình ${(3 + 2\sqrt 2 )^{\tan x}} + {(3 - 2\sqrt 2 )^{\tan x}} = 1$
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm $ \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$
Giải
Điều kiện $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\,\,\,\,k \in {\rm Z}$Ta thấy ${(3 + 2\sqrt 2 )^{\tan x}}.{(3 - 2\sqrt 2 )^{\tan x}} = 1$
Do đó nếu đặt $t = {(3 + 2\sqrt 2 )^{\tan x}}\,\,\,\,\,t > 0$ thì ${(3 - 2\sqrt 2 )^{\tan x}} = \frac{1}{t}$
Khi đó phương trình có dạng $t + \frac{1}{t} = m \Leftrightarrow {t^2} - mt + 1 = 0$
Cách 1: Để phương trình có đúng 2 nghiệm $ \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$
⇔ có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
af(0) > 0\\
S/2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 4 > 0\\
1 > 0\\
m/2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2$
Vậy với m > 2 thì thoả mãn điều kiện đầu bài.
Cách 2: Để phương trình có đúng 2 nghiệm $ \in ( - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$
⇔đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = t + 1/t trên (0; + ∞) tại 2 điểm phân biệt
Xét hàm y = t + 1/t trên (0; + ∞)
Đạo hàm $y' = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} \Rightarrow \,\,y' = 0 \Leftrightarrow \,\,1 - \frac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m > 2 thoả mãn điều kiện bài toán .
Ví dụ 3: Biện luận theo m số nghiệm $ \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ của phương trình
msin(x) + cos(x) = 2m (1)
Giải
Biến đổi phương trình (1) về dạng $\cos = m(2 - \sin x) \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{2 - \sin x}} = m$Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y = m
Với đồ thị hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{2 - \sin x}}$ trên $D = \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$
Xét hàm số $y = \frac{{\cos x}}{{2 - \sin x}}$. Miền xác định $D = \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$
Đạo hàm $y' = \frac{{ - \sin x(2 - \sin x) + \cos x.\cos x}}{{{{(2 - \sin x)}^2}}} = \frac{{1 - 2\sin x}}{{{{(2 - \sin x)}^2}}}$
$y' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ với x ∈ D ta có $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6}\\
x = \frac{{5\pi }}{6}
\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Kết luận:
Với $\left| m \right| > \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ phương trình vô nghiệm
Với $m = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ hoặc 0 < m < 0,5 phương trình có 1 nghiệm ∈ D
Với $ - \frac{1}{{\sqrt 3 }} < m \le 0$ hoặc $\frac{1}{2} \le m < \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ phương trình có 2 nghiệm ∈ D
Nhận xét chung: Không có một phương pháp giải cụ thể nào cho một bài toán lượng giác. Vì vậy việc nắm chắc phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp là điều cần thiết, đồng thời ta cũng phải nắm vững phương pháp giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực để có những hướng đi đúng đắn cho từng bài toán.
