1. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
Tập xác định của hàm số $y=f\left( x \right)$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $f\left( x \right)$ có nghĩa.
Nếu $P(x)$ là một đa thức thì:
• $\frac{1}{P(x)}$ có nghĩa $\Leftrightarrow P(x)\ne 0.$
• $\sqrt{P(x)}$ có nghĩa $\Leftrightarrow P(x)\ge 0.$
• $\frac{1}{\sqrt{P(x)}}$ có nghĩa $\Leftrightarrow P(x)>0.$
2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+3x-4}.$
b) $y=\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)}.$
c) $y=\frac{2{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2}.$
d) $y=\frac{x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}}.$
a) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+3x-4\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 1 \\
x\ne -4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;-4 \right\}.$
b) Điều kiện xác định: $\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)\ne 0$ $\Leftrightarrow x\ne -1.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}.$
c) Điều kiện xác định: ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 2 \\
x\ne \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2;\frac{-3-\sqrt{5}}{2};\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \right\}.$
d) Điều kiện xác định: ${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}\ne 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+\sqrt{2}x-1 \right)\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-\sqrt{2}x-1\ne 0 \\
{{x}^{2}}+\sqrt{2}x-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne \frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2} \\
x\ne \frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{2};\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2};\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{7}}{2};\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2} \right\}.$
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{x+1}{(x-3)\sqrt{2x-1}}.$
b) $y=\frac{\sqrt{x+2}}{x\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}}.$
c) $y=\frac{\sqrt{5-3\left| x \right|}}{{{x}^{2}}+4x+3}.$
d) $y=\frac{x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}-16}}.$
a) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ne 3 \\
2x-1>0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 3 \\
x>\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left( \frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}.$
b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
\begin{align}
& {{x}^{2}}-4x+4>0 \\
& x+2\ge 0 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
\begin{align}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}>0 \\
& x\ge -2 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
\begin{align}
& x\ne 2 \\
& x\ge -2 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -2;+\infty \right)\backslash \left\{ 0;2 \right\}.$
c) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
5-3\left| x \right|\ge 0 \\
{{x}^{2}}+4x+3\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| x \right|\le \frac{5}{3} \\
\left\{ \begin{matrix}
x\ne -1 \\
x\ne -3 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& -\frac{5}{3}\le x\le \frac{5}{3} \\
& x\ne -1 \\
& x\ne -3 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& -\frac{5}{3}\le x\le \frac{5}{3} \\
& x\ne -1 \\
\end{align} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right]\backslash \left\{ -1 \right\}.$
d) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}-16>0$ $\Leftrightarrow \left| x \right|>4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x>4 \\
x<-4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 4;+\infty \right).$
Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}}{{{x}^{2}}+2x+3}.$
b) $y=\frac{x}{x-\sqrt{x}-6}.$
c) $y=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}.$
d) $y=\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{x}\quad khi\ x\ge 1 \\
& \sqrt{x+1}\quad khi\ x<1 \\
\end{align} \right.$
a) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+2x+3\ne 0$ đúng với mọi $x.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\mathbb{R}.$
b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x-\sqrt{x}-6\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{align}
& x\ge 0 \\
& \sqrt{x}\ne -2 \\
\end{align} \\
\sqrt{x}\ne 3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ne 9 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ 0;+\infty \right)\backslash \left\{ 9 \right\}.$
c) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x+2\ge 0 \\
x+3\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -2 \\
x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge -2.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -2;+\infty \right).$
d)
Khi $x\ge 1$ thì hàm số là $y=\frac{1}{x}$ luôn xác định với $x\ge 1.$
Khi $x<1$ thì hàm số là $y=\sqrt{x+1}$ xác định khi $\left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x+1\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x\ge -1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -1\le x<1.$
Do đó hàm số đã cho xác định khi $x\ge -1.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\left[ -1;+\infty \right).$
Ví dụ 4. Cho hàm số $y=\frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1}$ với $m$ là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số $m.$
b) Tìm $m$ để hàm số xác định trên $\left( 0;1 \right).$
a) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x-m+2\ge 0 \\
\sqrt{x-m+2}\ne 1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge m-2 \\
x\ne m-1 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ m-2;+\infty \right)\backslash \left\{ m-1 \right\}.$
b) Hàm số xác định trên $\left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi $\left( 0;1 \right)\subset \left[ m-2;m-1 \right)\cup \left( m-1;+\infty \right)$ $⇔ \left[ \begin{matrix}
\left( 0;1 \right)\subset \left[ m-2;m-1 \right) \\
\left( 0;1 \right)\subset \left( m-1;+\infty \right) \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 \\
m-1\le 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 \\
m\le 1 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy $m\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left\{ 2 \right\}$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5. Cho hàm số $y=\sqrt{2x-3m+4}+\frac{x}{x+m-1}$ với $m$ là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số khi $m=1.$
b) Tìm $m$ để hàm số có tập xác định là $\left[ 0;+\infty \right).$
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
2x-3m+4\ge 0 \\
x+m-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge \frac{3m-4}{2} \\
x\ne 1-m \\
\end{matrix} \right.$
a) Khi $m=1$, ta có điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ge -\frac{1}{2} \\
x\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\left[ -\frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.$
b)
Với $1-m\ge \frac{3m-4}{2}$ $\Leftrightarrow m\le \frac{6}{5}$ khi đó tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ \frac{3m-4}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 1-m \right\}$, do đó $m\le \frac{6}{5}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m>\frac{6}{5}$ khi đó tập xác định của hàm số là $\text{D}=\left[ \frac{3m-4}{2};+\infty \right).$
Do đó hàm số có tập xác định là $\left[ 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $\frac{3m-4}{2}=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{4}{3}$ (thỏa mãn).
Vậy $m=\frac{4}{3}$ là giá trị cần tìm.
3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
a. Đề bài
Bài toán 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{2\sqrt{x-1}}{\left| x \right|-2}.$
b) $y=\sqrt{x+2}-\frac{2}{\sqrt{x-1}}.$
c) $y=\frac{\sqrt[3]{x-1}}{{{x}^{2}}+x+1}.$
d) $y=x+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}.$
e) $y=\frac{\sqrt[{}]{x+1}}{{{x}^{2}}-x-6}.$
f) $y=f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{2-x}\quad khi\ x\ge 1 \\
& \sqrt{2-x}\quad khi\ x<1 \\
\end{align} \right.$
Bài toán 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\sqrt{6-3x}-\sqrt{x-1}.$
b) $y=\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{x+2}}{x}.$
c) $y=\frac{\sqrt{3x-2}+6x}{\sqrt{4-3x}}.$
d) $y=\sqrt{6-x}+\frac{2x+1}{1+\sqrt{x-1}}.$
e) $y=\frac{2x+9}{\left( x+4 \right)\sqrt{x+3}}.$
f) $y=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}}{x-3\sqrt{x}+2}.$
g) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{1+4x}}}.$
h) $y=\frac{2{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}}.$
Bài toán 3. Tìm giá trị của tham số $m$ để:
a) Hàm số $y=\frac{x+2m+2}{x-m}$ xác định trên $\left( -1;0 \right).$
b) Hàm số $y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-m}+1}$ có tập xác định là $\left[ 0;+\infty \right).$
Bài toán 4. Tìm giá trị của tham số $m$ để:
a) Hàm số $y=\sqrt{x-m+1}+\frac{2x}{\sqrt{-x+2m}}$ xác định trên $\left( -1;3 \right).$
b) Hàm số $y=\sqrt{x+m}+\sqrt{2x-m+1}$ xác định trên $\left( 0;+\infty \right).$
c) Hàm số $y=\sqrt{-x-2m+6}-\frac{1}{\sqrt{x+m}}$ xác định trên $\left( -1;0 \right).$
b. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
\left| x \right|\ne 2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ne \pm 2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ne 2 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\left[ 1;+\infty \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.$
b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x+2\ge 0 \\
x-1>0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -2 \\
x>1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x>1.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\left( 1;+\infty \right).$
c) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+x+1\ne 0$ $\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ne 0$ (luôn đúng $\forall x$).
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}.$
d) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}.$
e) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x+1\ge 0 \\
{{x}^{2}}-x-6\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
\begin{align}
& x\ne -2 \\
& x\ne 3 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
x\ne 3 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\left[ -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}.$
f) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.$
Bài toán 2.
a) $D=\left[ 1;2 \right].$
b) $\text{D}=\left[ -2;2 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}.$
c) $D=\left[ \frac{2}{3};\frac{4}{3} \right).$
d) $D=\left[ 1;6 \right].$
e) $\text{D}=\left( -3;+\infty \right).$
f) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-2x+3\ge 0 \\
x-3\sqrt{x}+2\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2\ge 0 \\
\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 1 \\
x\ne 4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;4 \right\}.$
g) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
1-\sqrt{1+4x}>0 \\
1+4x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1>1+4\text{x} \\
x\ge -\frac{1}{4} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -\frac{1}{4}\le x<0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\left[ -\frac{1}{4};0 \right).$
h) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$
Bài toán 3.
a) Điều kiện xác định: $x\ne m.$
Hàm số xác định trên $\left( -1;0 \right)$ khi và chỉ khi $m\notin \left( -1;0 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ge 0 \\
m\le -1 \\
\end{matrix} \right.$
b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ge m \\
\end{matrix} \right.$
Nếu $m>0$ thì $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ge m \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge m$, suy ra tập xác định của hàm số là $D=\left[ m;+\infty \right)$ nên $m>0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu $m\le 0$ thì $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ge m \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge 0$, suy ra tập xác định của hàm số là $D=\left[ 0;+\infty \right).$
Vậy $m\le 0$ là giá trị cần tìm.
Bài toán 4.
a) $m\ge 2.$
b) $m\in \left[ 0;1 \right].$
c) $m\in \left[ 1;3 \right].$
Tập xác định của hàm số $y=f\left( x \right)$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $f\left( x \right)$ có nghĩa.
Nếu $P(x)$ là một đa thức thì:
• $\frac{1}{P(x)}$ có nghĩa $\Leftrightarrow P(x)\ne 0.$
• $\sqrt{P(x)}$ có nghĩa $\Leftrightarrow P(x)\ge 0.$
• $\frac{1}{\sqrt{P(x)}}$ có nghĩa $\Leftrightarrow P(x)>0.$
2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+3x-4}.$
b) $y=\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)}.$
c) $y=\frac{2{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2}.$
d) $y=\frac{x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}}.$
a) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+3x-4\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 1 \\
x\ne -4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;-4 \right\}.$
b) Điều kiện xác định: $\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)\ne 0$ $\Leftrightarrow x\ne -1.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}.$
c) Điều kiện xác định: ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 2 \\
x\ne \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2;\frac{-3-\sqrt{5}}{2};\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \right\}.$
d) Điều kiện xác định: ${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}\ne 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+\sqrt{2}x-1 \right)\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-\sqrt{2}x-1\ne 0 \\
{{x}^{2}}+\sqrt{2}x-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne \frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2} \\
x\ne \frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{2};\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2};\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{7}}{2};\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2} \right\}.$
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{x+1}{(x-3)\sqrt{2x-1}}.$
b) $y=\frac{\sqrt{x+2}}{x\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}}.$
c) $y=\frac{\sqrt{5-3\left| x \right|}}{{{x}^{2}}+4x+3}.$
d) $y=\frac{x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}-16}}.$
a) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ne 3 \\
2x-1>0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 3 \\
x>\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left( \frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}.$
b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
\begin{align}
& {{x}^{2}}-4x+4>0 \\
& x+2\ge 0 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
\begin{align}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}>0 \\
& x\ge -2 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
\begin{align}
& x\ne 2 \\
& x\ge -2 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -2;+\infty \right)\backslash \left\{ 0;2 \right\}.$
c) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
5-3\left| x \right|\ge 0 \\
{{x}^{2}}+4x+3\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| x \right|\le \frac{5}{3} \\
\left\{ \begin{matrix}
x\ne -1 \\
x\ne -3 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& -\frac{5}{3}\le x\le \frac{5}{3} \\
& x\ne -1 \\
& x\ne -3 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& -\frac{5}{3}\le x\le \frac{5}{3} \\
& x\ne -1 \\
\end{align} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right]\backslash \left\{ -1 \right\}.$
d) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}-16>0$ $\Leftrightarrow \left| x \right|>4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x>4 \\
x<-4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 4;+\infty \right).$
Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}}{{{x}^{2}}+2x+3}.$
b) $y=\frac{x}{x-\sqrt{x}-6}.$
c) $y=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}.$
d) $y=\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{x}\quad khi\ x\ge 1 \\
& \sqrt{x+1}\quad khi\ x<1 \\
\end{align} \right.$
a) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+2x+3\ne 0$ đúng với mọi $x.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\mathbb{R}.$
b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x-\sqrt{x}-6\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{align}
& x\ge 0 \\
& \sqrt{x}\ne -2 \\
\end{align} \\
\sqrt{x}\ne 3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ne 9 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ 0;+\infty \right)\backslash \left\{ 9 \right\}.$
c) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x+2\ge 0 \\
x+3\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -2 \\
x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge -2.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -2;+\infty \right).$
d)
Khi $x\ge 1$ thì hàm số là $y=\frac{1}{x}$ luôn xác định với $x\ge 1.$
Khi $x<1$ thì hàm số là $y=\sqrt{x+1}$ xác định khi $\left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x+1\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x\ge -1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -1\le x<1.$
Do đó hàm số đã cho xác định khi $x\ge -1.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\left[ -1;+\infty \right).$
Ví dụ 4. Cho hàm số $y=\frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1}$ với $m$ là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số $m.$
b) Tìm $m$ để hàm số xác định trên $\left( 0;1 \right).$
a) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x-m+2\ge 0 \\
\sqrt{x-m+2}\ne 1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge m-2 \\
x\ne m-1 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ m-2;+\infty \right)\backslash \left\{ m-1 \right\}.$
b) Hàm số xác định trên $\left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi $\left( 0;1 \right)\subset \left[ m-2;m-1 \right)\cup \left( m-1;+\infty \right)$ $⇔ \left[ \begin{matrix}
\left( 0;1 \right)\subset \left[ m-2;m-1 \right) \\
\left( 0;1 \right)\subset \left( m-1;+\infty \right) \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 \\
m-1\le 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 \\
m\le 1 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy $m\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left\{ 2 \right\}$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5. Cho hàm số $y=\sqrt{2x-3m+4}+\frac{x}{x+m-1}$ với $m$ là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số khi $m=1.$
b) Tìm $m$ để hàm số có tập xác định là $\left[ 0;+\infty \right).$
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
2x-3m+4\ge 0 \\
x+m-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge \frac{3m-4}{2} \\
x\ne 1-m \\
\end{matrix} \right.$
a) Khi $m=1$, ta có điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ge -\frac{1}{2} \\
x\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $\text{D}=\left[ -\frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.$
b)
Với $1-m\ge \frac{3m-4}{2}$ $\Leftrightarrow m\le \frac{6}{5}$ khi đó tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ \frac{3m-4}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 1-m \right\}$, do đó $m\le \frac{6}{5}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m>\frac{6}{5}$ khi đó tập xác định của hàm số là $\text{D}=\left[ \frac{3m-4}{2};+\infty \right).$
Do đó hàm số có tập xác định là $\left[ 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $\frac{3m-4}{2}=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{4}{3}$ (thỏa mãn).
Vậy $m=\frac{4}{3}$ là giá trị cần tìm.
3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
a. Đề bài
Bài toán 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\frac{2\sqrt{x-1}}{\left| x \right|-2}.$
b) $y=\sqrt{x+2}-\frac{2}{\sqrt{x-1}}.$
c) $y=\frac{\sqrt[3]{x-1}}{{{x}^{2}}+x+1}.$
d) $y=x+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}.$
e) $y=\frac{\sqrt[{}]{x+1}}{{{x}^{2}}-x-6}.$
f) $y=f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{2-x}\quad khi\ x\ge 1 \\
& \sqrt{2-x}\quad khi\ x<1 \\
\end{align} \right.$
Bài toán 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\sqrt{6-3x}-\sqrt{x-1}.$
b) $y=\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{x+2}}{x}.$
c) $y=\frac{\sqrt{3x-2}+6x}{\sqrt{4-3x}}.$
d) $y=\sqrt{6-x}+\frac{2x+1}{1+\sqrt{x-1}}.$
e) $y=\frac{2x+9}{\left( x+4 \right)\sqrt{x+3}}.$
f) $y=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}}{x-3\sqrt{x}+2}.$
g) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{1+4x}}}.$
h) $y=\frac{2{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}}.$
Bài toán 3. Tìm giá trị của tham số $m$ để:
a) Hàm số $y=\frac{x+2m+2}{x-m}$ xác định trên $\left( -1;0 \right).$
b) Hàm số $y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-m}+1}$ có tập xác định là $\left[ 0;+\infty \right).$
Bài toán 4. Tìm giá trị của tham số $m$ để:
a) Hàm số $y=\sqrt{x-m+1}+\frac{2x}{\sqrt{-x+2m}}$ xác định trên $\left( -1;3 \right).$
b) Hàm số $y=\sqrt{x+m}+\sqrt{2x-m+1}$ xác định trên $\left( 0;+\infty \right).$
c) Hàm số $y=\sqrt{-x-2m+6}-\frac{1}{\sqrt{x+m}}$ xác định trên $\left( -1;0 \right).$
b. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
\left| x \right|\ne 2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ne \pm 2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ne 2 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\left[ 1;+\infty \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.$
b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x+2\ge 0 \\
x-1>0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -2 \\
x>1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x>1.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\left( 1;+\infty \right).$
c) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+x+1\ne 0$ $\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ne 0$ (luôn đúng $\forall x$).
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}.$
d) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}.$
e) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x+1\ge 0 \\
{{x}^{2}}-x-6\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
\begin{align}
& x\ne -2 \\
& x\ne 3 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
x\ne 3 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\left[ -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}.$
f) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.$
Bài toán 2.
a) $D=\left[ 1;2 \right].$
b) $\text{D}=\left[ -2;2 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}.$
c) $D=\left[ \frac{2}{3};\frac{4}{3} \right).$
d) $D=\left[ 1;6 \right].$
e) $\text{D}=\left( -3;+\infty \right).$
f) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-2x+3\ge 0 \\
x-3\sqrt{x}+2\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2\ge 0 \\
\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 1 \\
x\ne 4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;4 \right\}.$
g) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
1-\sqrt{1+4x}>0 \\
1+4x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1>1+4\text{x} \\
x\ge -\frac{1}{4} \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -\frac{1}{4}\le x<0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\left[ -\frac{1}{4};0 \right).$
h) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$
Bài toán 3.
a) Điều kiện xác định: $x\ne m.$
Hàm số xác định trên $\left( -1;0 \right)$ khi và chỉ khi $m\notin \left( -1;0 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ge 0 \\
m\le -1 \\
\end{matrix} \right.$
b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ge m \\
\end{matrix} \right.$
Nếu $m>0$ thì $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ge m \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge m$, suy ra tập xác định của hàm số là $D=\left[ m;+\infty \right)$ nên $m>0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu $m\le 0$ thì $\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ge m \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge 0$, suy ra tập xác định của hàm số là $D=\left[ 0;+\infty \right).$
Vậy $m\le 0$ là giá trị cần tìm.
Bài toán 4.
a) $m\ge 2.$
b) $m\in \left[ 0;1 \right].$
c) $m\in \left[ 1;3 \right].$
