Dạng 4: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{a\sin x + b\cos x}}} .$
Cách giải: Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi:
Cách 1: Ta có: $I = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{dx}}{{\sin (x + \alpha )}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{dx}}{{2\sin \frac{{x + \alpha }}{2}\cos \frac{{x + \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{dx}}{{2\tan \frac{{x + \alpha }}{2}{{\cos }^2}\frac{{x + \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{d\left( {\tan \frac{{x + \alpha }}{2}} \right)}}{{\tan \frac{{x + \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\ln \left| {\tan \frac{{x + \alpha }}{2}} \right| + C.$
Cách 2: Ta có: $I = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{dx}}{{\sin (x + \alpha )}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{\sin (x + \alpha )dx}}{{{{\sin }^2}(x + \alpha )}}} $ $ = – \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{d\left[ {\cos (x + \alpha )} \right]}}{{{{\cos }^2}(x + \alpha ) – 1}}} $ $ = – \frac{1}{{2\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\ln \left| {\frac{{\cos (x + \alpha ) – 1}}{{\cos (x + \alpha ) + 1}}} \right| + C.$
Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hóa với việc đổi biến: $t = \tan \frac{x}{2}.$
Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{2}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}.$
Ta có: $F(x) = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} $ $=\int {\frac{{dx}}{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)}}} $ $ = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)}}} $ $ = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{ 2\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right){{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)}}} $ $ = \int {\frac{{d\left[ {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right]}}{{\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)}}} $ $ = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| + C.$
Cách giải: Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi:
Cách 1: Ta có: $I = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{dx}}{{\sin (x + \alpha )}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{dx}}{{2\sin \frac{{x + \alpha }}{2}\cos \frac{{x + \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{dx}}{{2\tan \frac{{x + \alpha }}{2}{{\cos }^2}\frac{{x + \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{d\left( {\tan \frac{{x + \alpha }}{2}} \right)}}{{\tan \frac{{x + \alpha }}{2}}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\ln \left| {\tan \frac{{x + \alpha }}{2}} \right| + C.$
Cách 2: Ta có: $I = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{dx}}{{\sin (x + \alpha )}}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{\sin (x + \alpha )dx}}{{{{\sin }^2}(x + \alpha )}}} $ $ = – \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\int {\frac{{d\left[ {\cos (x + \alpha )} \right]}}{{{{\cos }^2}(x + \alpha ) – 1}}} $ $ = – \frac{1}{{2\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\ln \left| {\frac{{\cos (x + \alpha ) – 1}}{{\cos (x + \alpha ) + 1}}} \right| + C.$
Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hóa với việc đổi biến: $t = \tan \frac{x}{2}.$
Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{2}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}.$
Ta có: $F(x) = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x}}} $ $=\int {\frac{{dx}}{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)}}} $ $ = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)}}} $ $ = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{ 2\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right){{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)}}} $ $ = \int {\frac{{d\left[ {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right]}}{{\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)}}} $ $ = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right| + C.$
Chỉnh sửa cuối:
