Nhiều học sinh than phiền rằng phần phương trình đường thẳng khó học,... Ơ lại nhỉ, nó không khó học thì cần gì phải học đúng chưa 
. Một vấn đề cực quan trọng là năm nào trong đề thi chính thức của BGD cũng có, làm bạn thêm thất vọng phát nữa là năm nay cả 2 đề mình họa đều có . Ok, nêu bạn cần đỗ ĐH thì học bài này là hiển nhiên. Mà nó có khó đâu cơ chứ, hãy thử học 16 dạng bài viết phương trình đường thẳng dưới đây mà xem:
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(x$_0$ ;y$_0$ ;z$_0$) coự vtcp = (a; b; c) $\overrightarrow u $= (a; b; c).
Phương pháp: PT tham số của đường thẳng d là: $ (d):\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_o} + at\\y = {y_o} + bt\\ = {z_o} + ct\end{array} \right.\,\,;\,\,t \in R$
Chú ý: Nếu abc ≠ 0 thì (d) có PT chính tắc là: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$
Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT đường thẳng d cần biết toạ độ 1 điểm thuộc d và toạ độ véc tơ chỉ phương của d.
Dạng 2: đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B.
Dạng 6: Viết PT của đường thẳng d là giao tuyến của hai mp:
(P): Ax+By+Cz+D=0
(Q): A’x+B’y+C’z+D’=0
Cách 1:
Cách 2:
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P).
Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d$_1$, d$_2$
Cách 1:
Cách 1:
Cách 1:
Cách 1:
Dạng 15: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d$_1$ và d$_2$.
PP giải: Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10.
Note: Trên là 16 cách viết phương trình đường thẳng lớp 12 mà các em cần nhớ.
Bài tập phương trình đường thẳng
Bài tập 1: [ Trích đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng d: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.$. Điểm nào dưới đây thuộc d ?
A. P(1; 2; −1).
B. M ( −1; −2; 1).
C. N(2; 3; −1). D.
Q ( −2; −3; 1).
Chọn đáp án A
Bài tập 2: [ Trích đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Trong không gian Oxyz,cho điểm M(2; 1; 0) và đường thằng ∆ : $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}.$. Mặt phằng đi qua M và vuông góc với ∆ có phương trình là
A. 3 x + y − z − 7 = 0 .
B. x + 4 y − 2 z + 6 = 0.
C. x + 4y − 2z − 6 = 0 .
D. 3x + y − z + 7 = 0.
Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với ∆ nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $ = (1; 4; −2) của ∆ là vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm 1.( x − 2) + 4.( y − 2) − 2.( z − 0) = 0 ⇔ x + 4 y − 2 z − 6 = 0.
Chọn đáp án C.
Bài tập 3: [ Trích đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 1) và N(3; 2; −1). Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm MN dưới dạng tham số
A. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2t\\ z = 1 + t \end{array} \right.$
B. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = t\\ z = 1 + t \end{array} \right.$
C. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = t\\ z = 1 + t \end{array} \right.$
D. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.$
Đường thẳng MN nhận $\overrightarrow {MN} $ = (2; 2; −2) hoặc $\overrightarrow {u} $ = (1; 1; −1) là vectơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án A,B và C. Thay tọa độ M(1; 0; l ) vào phương trình ở phương án D ta thấy thỏa mãn.
. Một vấn đề cực quan trọng là năm nào trong đề thi chính thức của BGD cũng có, làm bạn thêm thất vọng phát nữa là năm nay cả 2 đề mình họa đều có . Ok, nêu bạn cần đỗ ĐH thì học bài này là hiển nhiên. Mà nó có khó đâu cơ chứ, hãy thử học 16 dạng bài viết phương trình đường thẳng dưới đây mà xem:Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(x$_0$ ;y$_0$ ;z$_0$) coự vtcp = (a; b; c) $\overrightarrow u $= (a; b; c).
Phương pháp: PT tham số của đường thẳng d là: $ (d):\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_o} + at\\y = {y_o} + bt\\ = {z_o} + ct\end{array} \right.\,\,;\,\,t \in R$
Chú ý: Nếu abc ≠ 0 thì (d) có PT chính tắc là: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$
Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT đường thẳng d cần biết toạ độ 1 điểm thuộc d và toạ độ véc tơ chỉ phương của d.
Dạng 2: đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B.
- Bước 1: Tìm $\overrightarrow {AB} $
- Bước 2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow {AB} $ làm véc tơ chỉ phương.
- B1: Tìm VTCP $\overrightarrow u $ của Δ.
- B2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và nhận $\overrightarrow u $ làm VTCP.
- B1: Tìm VTPT cuỷa ( $\overrightarrow n $.
- B2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow n $ làm VTCP.
- B1: Tìm các VTCP $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $của d$_1$; d$_2$.
- B2: Đường thẳng d có VTCP là: $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$
- B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow u $ làm VTCP.
Dạng 6: Viết PT của đường thẳng d là giao tuyến của hai mp:
(P): Ax+By+Cz+D=0
(Q): A’x+B’y+C’z+D’=0
Cách 1:
- B1: Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}Ax + By + Cz + D = 0\\A'x + B'y + C'z + D' = 0\end{array} \right.$ tìm một nghiệm $({x_0};{y_0};{z_0})$ ta được 1 điểm M$({x_0};{y_0};{z_0})$ ∈ d. (Cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định rồi giải hệ với 2 ẩn còn lại tìm 2 ẩn còn lại)
- B2: Đường thẳng d có VTCP là: $\overrightarrow u = \left( {\left| \begin{array}{l}b{\rm{ }}c\\b'{\rm{ c'}}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}c{\rm{ a}}\\{\rm{c' a'}}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}a{\rm{ b}}\\{\rm{a' b'}}\end{array} \right|} \right)$
- B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm M$({x_0};{y_0};{z_0})$ và nhận $\overrightarrow u $ làm VTCP.
Cách 2:
- B1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2PT trên)
- B2: Viết PT đường thẳng AB.
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P).
- B1: Viết PTmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P).
- B2: Hình chiếu cần tìm d’= (P) ∩ (Q)
Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d$_1$, d$_2$
Cách 1:
- B1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d$_1$ .
- B2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d$_2$)
- B3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.
- B1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d$_1$
- B2: Viết PT mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d$_2$.
- B3: Đường thẳng cần tìm d’= (α) ∩ (β)
- B1: Viết PT mp(P) song song với d$_1$ và chứa d$_2$.
- B2: Viết PT mp(Q) song song với d$_1$ và chứa d3.
- B3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
Cách 1:
- B1: Viết PT mặt phẳng (α) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d$_1$ .
- B2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d$_2$)
- B3 : Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
- B1: Viết PT mp (α) đi qua điểm A và vuông góc với d$_1$.
- B2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d$_2$.
- B3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)
Cách 1:
- B1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp(α).
- B2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
- B3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)
- B1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng ( α )
- B2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d’
- B3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.
- B1: Tìm giao điểm A = d$_1$ ∩ (P); B = d$_2$ ∩ (P)
- B2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .
- B1: Tìm giao điểm I = d’∩ ( P ).
- B2: Tìm VTCP $\overrightarrow u $ của d’ và VTPT $\overrightarrow n $ của (P) và $\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right]$
- B3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I và có VTCP $\overrightarrow v $
Cách 1:
- B1: Tìm các VTCP $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ của d$_1$ và d$_2$ . Khi đó đường thẳng d có VTCP là $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$
- B2: Viết PT mp(P) chứa d$_1$ và có VTPT $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_1}} } \right]$
- B3: Viết PT mp(Q) chứa d$_2$ và có VTPT $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$
- B4: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
- B1: Gọi M(x$_0$+at; y$_0$+bt; z$_0$+ct) ∈ d$_1$; N(x$_0$’+a’t’; y$_0$’+b’t’; z$_0$’+c’t’) ∈ d$_2$ là chân các đường vuông góc chung của d$_1$ và d$_2$.
- B2: Ta có $\left\{ \begin{array}{l}MN \bot {d_1}\\MN \bot {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow t,t'$
- B3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N
Dạng 15: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d$_1$ và d$_2$.
- B1: Viết PT mp(P) chứa d$_1$ và vuông góc với (P).
- B2: Viết PT mp(Q) chứa d$_2$ và vuông góc với (P).
- B3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q).
PP giải: Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10.
Note: Trên là 16 cách viết phương trình đường thẳng lớp 12 mà các em cần nhớ.
Bài tập phương trình đường thẳng
Bài tập 1: [ Trích đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng d: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.$. Điểm nào dưới đây thuộc d ?
A. P(1; 2; −1).
B. M ( −1; −2; 1).
C. N(2; 3; −1). D.
Q ( −2; −3; 1).
Lời giải
Thay tọa độ điểm ( P ) vào phương trình đường thẳng d thấy tọa độ thỏa mãn nên đường thẳng d đi qua điểm P(1; 2; −1).Chọn đáp án A
Bài tập 2: [ Trích đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Trong không gian Oxyz,cho điểm M(2; 1; 0) và đường thằng ∆ : $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}.$. Mặt phằng đi qua M và vuông góc với ∆ có phương trình là
A. 3 x + y − z − 7 = 0 .
B. x + 4 y − 2 z + 6 = 0.
C. x + 4y − 2z − 6 = 0 .
D. 3x + y − z + 7 = 0.
Lời giải
Đường thẳng ∆: $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}$ nhận vectơ $\overrightarrow u $ = (1; 4; −2) là một vectơ chỉ phương.Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với ∆ nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow u $ = (1; 4; −2) của ∆ là vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm 1.( x − 2) + 4.( y − 2) − 2.( z − 0) = 0 ⇔ x + 4 y − 2 z − 6 = 0.
Chọn đáp án C.
Bài tập 3: [ Trích đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 1) và N(3; 2; −1). Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm MN dưới dạng tham số
A. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2t\\ z = 1 + t \end{array} \right.$
B. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = t\\ z = 1 + t \end{array} \right.$
C. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = t\\ z = 1 + t \end{array} \right.$
D. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.$
Lời giải
Dựa vào phân dạng ở trên, ta có cách viết phương trình đường thẳng như sau:Đường thẳng MN nhận $\overrightarrow {MN} $ = (2; 2; −2) hoặc $\overrightarrow {u} $ = (1; 1; −1) là vectơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án A,B và C. Thay tọa độ M(1; 0; l ) vào phương trình ở phương án D ta thấy thỏa mãn.
Last edited by a moderator:
