Dạng 1: đặt 2 ẩn phụ $\sqrt[n]{{a - f(x)}} + \sqrt[n]{{b + f(x)}} = c \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[n]{{a - f(x)}}\\v = \sqrt[n]{{b + f(x)}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u^n} + {v^n} = a + b\\u + v = c\end{array} \right.$
Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt[3]{{1 - x}} + \sqrt[3]{{1 + x}} = 2 \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{1 - x}}\\v = \sqrt[3]{{1 + x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\{u^3} + {v^3} = 2\end{array} \right.$
Ví dụ 2. Giải phươngtrình: $\sqrt[3]{{2 - x}} = 1 - \sqrt {x - 1} \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{2 - x}}\\v = \sqrt {x - 1} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^3} + {v^2} = 1\\u + v = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 0\\u = 1\\u = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\\x = 10\end{array} \right.$
Dạng 2: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : $\sqrt {ax + b} = c{(dx + e)^2} + nx + m$
Ví dụ 3. Giải phương trình:
$\begin{array}{l}
\sqrt {3x + 1} = - 4{x^2} + 13x - 5 \Rightarrow \sqrt {3x + 1} = - {( - 2x + 3)^2} + x + 4\,\,dat\,\, - 2y + 3 = \sqrt {3x + 1} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2y + 3 = - {( - 2x + 3)^2} + x + 4\\
{( - 2y + 3)^2} = 3x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{( - 2y + 3)^2} = x + 2y + 1\\
{( - 2y + 3)^2} = 3x + 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
2y = 5 - 2x
\end{array} \right.\\
1)x = y \Rightarrow 4{x^2} - 15x + 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{{15 - \sqrt {97} }}{8}\\
2)2y = 5 - 2x \Rightarrow 4{x^2} - 11x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{{11 - \sqrt {73} }}{8}
\end{array}$
Ví dụ 4. Giải phương trình: ${x^2} - \sqrt {x - 5} = 5\left( 1 \right)$
{x^2} - y = 5(2)\\
{y^2} - x = 5(3)
\end{array} \right.$
Trừ vế với vế của (2) và (3) ta được : x$^2$ - y$^2$ + x – y = 0 ↔ (x – y)(x + y + 1) = 0 . Xảy ra 2 trường hợp :
a) x – y = 0 hay x = y ≥ 0, thay vào (2) được phương trình: x$^2$ - x – 5 = 0 giải ra được: ${x_1} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {21} } \right)$
b) x + y + 1 = 0 hay y = - x – 1 ≥ 0, thay vào (2) có: x$^2$ + x – 4 = 0 giải ra được: ${x_2} = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {17} } \right)$
Kết luận : Với 2 nghiệm x$_1$, x$_2$ thỏa mãn điều kiện đề bài nên PT (1) có 2 nghiệm x$_1$, x$_2$ như trên .
Dạng 3: Đưa về hệ tạm
Nếu phương trình vô tỉ có dạng $\sqrt A + \sqrt B = C$, mà : A – B = αC
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :
$\frac{{A - B}}{{\sqrt A - \sqrt B }} = C \Rightarrow \sqrt A - \sqrt B = \alpha $, khi đó ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt A + \sqrt B = C\\
\sqrt A - \sqrt B = \alpha
\end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt A = C + \alpha $
Ví dụ 5. Giải phương trình sau : $\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4$
x = - 4 không phải là nghiệm
Xét x ≠ - 4
Trục căn thức ta có : $\frac{{2x + 8}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} = x + 4 \Rightarrow \sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2$
Vậy ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2\\
\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4
\end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \frac{8}{7}
\end{array} \right.$
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 0 v x = 8/7
Ví dụ 6. Giải phương trình : $\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} - x + 1} = 3x$
Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt t = 1/x thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau:
1. $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x(1 + 2\sqrt {1 - {x^2}} )$
2. $\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt {x + 1} = 3$
4. $\sqrt {2 - \sqrt 2 (1 + x)} + \sqrt[4]{{2x}} = 1$
5. ${x^2} + 4x = \sqrt {x + 6} $
6. $\sqrt[3]{{2 - x}} + \sqrt {x - 1} = 1.$
7. $x = \sqrt {x - \frac{1}{x} + } \sqrt {1 - \frac{1}{x}} $
5. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: ${u^2} + \alpha uv + \beta {v^2} = 0$ (1) bằng cách
Xét v ≠ 0 phương trình trở thành: ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^2} + \alpha \left( {\frac{u}{v}} \right) + \beta = 0$.
Xét v = 0 thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
$\begin{array}{l}
a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} \\
\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}}
\end{array}$
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .
a. Phương trình dạng : $a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} $
Như vậy phương trình $Q\left( x \right) = \alpha \sqrt {P\left( x \right)} $ có thể giải bằng phương pháp trên nếu $\left\{ \begin{array}{l}
P\left( x \right) = A\left( x \right).B\left( x \right)\\
Q\left( x \right) = aA\left( x \right) + bB\left( x \right)
\end{array} \right.$
Ví dụ 1. Giải phương trình : $2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} $
Phương trình trở thành : $2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) = 5uv \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 2v\\
u = \frac{1}{2}v
\end{array} \right.$ Tìm được: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$
Ví dụ 2. giải phương trình sau : $2{x^2} + 5x - 1 = 7\sqrt {{x^3} - 1} $
Nhận xt : Ta viết $\alpha \left( {x - 1} \right) + \beta \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $
Đồng nhất thức ta được: $3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $
Đặt $u = x - 1 \ge 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,v = {x^2} + x + 1 > 0$, ta được: $3u + 2v = 7\sqrt {uv} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
v = 9u\\
v = \frac{1}{4}u
\end{array} \right.$
Ta được : $x = 4 \pm \sqrt 6 $
Ví dụ 4. Giải phương trình : ${x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^3}} - 6x = 0$
${x^3} - 3{x^2} + 2{y^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x = - 2y
\end{array} \right.$
Pt có nghiệm : $x = 2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 2 - 2\sqrt 3 $
b.Phương trình dạng : $\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} $
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Ví dụ 5. giải phương trình : ${x^2} + 3\sqrt {{x^2} - 1} = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} $
u = {x^2}\\
v = \sqrt {{x^2} - 1}
\end{array} \right.$ khi đó phương trình trở thành : $u + 3v = \sqrt {{u^2} - {v^2}} $
Ví dụ 6.Giải phương trình sau : $\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {2x - 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1} $
Ta có thể đặt : $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2} + 2x\\
v = 2x - 1
\end{array} \right.$ khi đó ta có hệ : $uv = {u^2} - {v^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}v\\
u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v
\end{array} \right.$
Do $u,v \ge 0.\,\,u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v \Leftrightarrow {x^2} + 2x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {2x - 1} \right)$
Ví dụ 7. giải phương trình : $\sqrt {5{x^2} - 14x + 9} - \sqrt {{x^2} - x - 20} = 5\sqrt {x + 1} $
Nhận xét : không tồn tại số α, β để : $2{x^2} - 5x + 2 = \alpha \left( {{x^2} - x - 20} \right) + \beta \left( {x + 1} \right)$ vậy ta không thể đặt
$\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2} - x - 20\\
v = x + 1
\end{array} \right.$.
Nhưng may mắn ta có : $\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)$
Ta viết lại phương trình: $2\left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + 3\left( {x + 4} \right) = 5\sqrt {({x^2} - 4x - 5)(x + 4)} $. Đến đây bài toán được giải quyết .
{u^n} + {v^n} = a + b\\u + v = c\end{array} \right.$
Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt[3]{{1 - x}} + \sqrt[3]{{1 + x}} = 2 \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{1 - x}}\\v = \sqrt[3]{{1 + x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\{u^3} + {v^3} = 2\end{array} \right.$
Ví dụ 2. Giải phươngtrình: $\sqrt[3]{{2 - x}} = 1 - \sqrt {x - 1} \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{2 - x}}\\v = \sqrt {x - 1} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^3} + {v^2} = 1\\u + v = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 0\\u = 1\\u = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\\x = 10\end{array} \right.$
Dạng 2: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : $\sqrt {ax + b} = c{(dx + e)^2} + nx + m$
Ví dụ 3. Giải phương trình:
$\begin{array}{l}
\sqrt {3x + 1} = - 4{x^2} + 13x - 5 \Rightarrow \sqrt {3x + 1} = - {( - 2x + 3)^2} + x + 4\,\,dat\,\, - 2y + 3 = \sqrt {3x + 1} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2y + 3 = - {( - 2x + 3)^2} + x + 4\\
{( - 2y + 3)^2} = 3x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{( - 2y + 3)^2} = x + 2y + 1\\
{( - 2y + 3)^2} = 3x + 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
2y = 5 - 2x
\end{array} \right.\\
1)x = y \Rightarrow 4{x^2} - 15x + 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{{15 - \sqrt {97} }}{8}\\
2)2y = 5 - 2x \Rightarrow 4{x^2} - 11x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{{11 - \sqrt {73} }}{8}
\end{array}$
Ví dụ 4. Giải phương trình: ${x^2} - \sqrt {x - 5} = 5\left( 1 \right)$
Giải
Điều kiện : x + 5 ≥ 0 ↔ x ≥ - 5. Đặt $\sqrt {x + 5} = y$ với y ≥ 0 . Từ đó phương trình (1) trở thành hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y = 5(2)\\
{y^2} - x = 5(3)
\end{array} \right.$
Trừ vế với vế của (2) và (3) ta được : x$^2$ - y$^2$ + x – y = 0 ↔ (x – y)(x + y + 1) = 0 . Xảy ra 2 trường hợp :
a) x – y = 0 hay x = y ≥ 0, thay vào (2) được phương trình: x$^2$ - x – 5 = 0 giải ra được: ${x_1} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {21} } \right)$
b) x + y + 1 = 0 hay y = - x – 1 ≥ 0, thay vào (2) có: x$^2$ + x – 4 = 0 giải ra được: ${x_2} = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {17} } \right)$
Kết luận : Với 2 nghiệm x$_1$, x$_2$ thỏa mãn điều kiện đề bài nên PT (1) có 2 nghiệm x$_1$, x$_2$ như trên .
Dạng 3: Đưa về hệ tạm
Nếu phương trình vô tỉ có dạng $\sqrt A + \sqrt B = C$, mà : A – B = αC
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :
$\frac{{A - B}}{{\sqrt A - \sqrt B }} = C \Rightarrow \sqrt A - \sqrt B = \alpha $, khi đó ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt A + \sqrt B = C\\
\sqrt A - \sqrt B = \alpha
\end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt A = C + \alpha $
Ví dụ 5. Giải phương trình sau : $\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4$
Giải
Ta thấy : $\left( {2{x^2} + x + 9} \right) - \left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 2\left( {x + 4} \right)$x = - 4 không phải là nghiệm
Xét x ≠ - 4
Trục căn thức ta có : $\frac{{2x + 8}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} = x + 4 \Rightarrow \sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2$
Vậy ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2\\
\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4
\end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \frac{8}{7}
\end{array} \right.$
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 0 v x = 8/7
Ví dụ 6. Giải phương trình : $\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} - x + 1} = 3x$
Giải
Ta thấy : $\left( {2{x^2} + x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right) = {x^2} + 2x$, như vậy không thỏa mãn điều kiện trên.Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt t = 1/x thì bài toán trở nên đơn giản hơn
Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau:
1. $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x(1 + 2\sqrt {1 - {x^2}} )$
2. $\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt {x + 1} = 3$
4. $\sqrt {2 - \sqrt 2 (1 + x)} + \sqrt[4]{{2x}} = 1$
5. ${x^2} + 4x = \sqrt {x + 6} $
6. $\sqrt[3]{{2 - x}} + \sqrt {x - 1} = 1.$
7. $x = \sqrt {x - \frac{1}{x} + } \sqrt {1 - \frac{1}{x}} $
5. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: ${u^2} + \alpha uv + \beta {v^2} = 0$ (1) bằng cách
Xét v ≠ 0 phương trình trở thành: ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^2} + \alpha \left( {\frac{u}{v}} \right) + \beta = 0$.
Xét v = 0 thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
$\begin{array}{l}
a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} \\
\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}}
\end{array}$
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .
a. Phương trình dạng : $a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} $
Như vậy phương trình $Q\left( x \right) = \alpha \sqrt {P\left( x \right)} $ có thể giải bằng phương pháp trên nếu $\left\{ \begin{array}{l}
P\left( x \right) = A\left( x \right).B\left( x \right)\\
Q\left( x \right) = aA\left( x \right) + bB\left( x \right)
\end{array} \right.$
Ví dụ 1. Giải phương trình : $2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} $
Giải
Đặt $u = \sqrt {x + 1} ,v = \sqrt {{x^2} - x + 1} $ Phương trình trở thành : $2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) = 5uv \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 2v\\
u = \frac{1}{2}v
\end{array} \right.$ Tìm được: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$
Ví dụ 2. giải phương trình sau : $2{x^2} + 5x - 1 = 7\sqrt {{x^3} - 1} $
Giải
Đk: x ≥ 1Nhận xt : Ta viết $\alpha \left( {x - 1} \right) + \beta \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $
Đồng nhất thức ta được: $3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $
Đặt $u = x - 1 \ge 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,v = {x^2} + x + 1 > 0$, ta được: $3u + 2v = 7\sqrt {uv} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
v = 9u\\
v = \frac{1}{4}u
\end{array} \right.$
Ta được : $x = 4 \pm \sqrt 6 $
Ví dụ 4. Giải phương trình : ${x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^3}} - 6x = 0$
Giải
Nhận xét : Đặt $y = \sqrt {x + 2} $ ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :${x^3} - 3{x^2} + 2{y^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x = - 2y
\end{array} \right.$
Pt có nghiệm : $x = 2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 2 - 2\sqrt 3 $
b.Phương trình dạng : $\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} $
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Ví dụ 5. giải phương trình : ${x^2} + 3\sqrt {{x^2} - 1} = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} $
Giải
Ta đặt : $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\
v = \sqrt {{x^2} - 1}
\end{array} \right.$ khi đó phương trình trở thành : $u + 3v = \sqrt {{u^2} - {v^2}} $
Ví dụ 6.Giải phương trình sau : $\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {2x - 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1} $
Giải
Điều kiện x ≥ 1/2. Bình phương 2 vế ta có : $\sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)} = \left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {2x - 1} \right)$Ta có thể đặt : $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2} + 2x\\
v = 2x - 1
\end{array} \right.$ khi đó ta có hệ : $uv = {u^2} - {v^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}v\\
u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v
\end{array} \right.$
Do $u,v \ge 0.\,\,u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v \Leftrightarrow {x^2} + 2x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {2x - 1} \right)$
Ví dụ 7. giải phương trình : $\sqrt {5{x^2} - 14x + 9} - \sqrt {{x^2} - x - 20} = 5\sqrt {x + 1} $
Giải
Đk x ≥ 5. Chuyển vế bình phương ta được: $2{x^2} - 5x + 2 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right)} $Nhận xét : không tồn tại số α, β để : $2{x^2} - 5x + 2 = \alpha \left( {{x^2} - x - 20} \right) + \beta \left( {x + 1} \right)$ vậy ta không thể đặt
$\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2} - x - 20\\
v = x + 1
\end{array} \right.$.
Nhưng may mắn ta có : $\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)$
Ta viết lại phương trình: $2\left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + 3\left( {x + 4} \right) = 5\sqrt {({x^2} - 4x - 5)(x + 4)} $. Đến đây bài toán được giải quyết .
