Bài 6. LỰC HƯỚNG TÂM

[Tăng Giáp]

I. Lực hướng tâm
1. Định nghĩa
Lực (hay hợp của các lực) tác dụng vào một vật chuyển động tròn đều và gây ra cho vật gia tốc hướng tâm gọi là lực hướng tâm.

2. Công thức
${F_{ht}} = m{a_{ht}} = m{{{v^2}} \over r} = m{\omega ^2}r$

3. Ví dụ
a. Lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vệ tinh nhân tạo đóng vai trò lực hướng tâm.

b. Lực ma sát nghỉ đóng vai trò lực hướng tâm.

c. Hợp lực của trọng lực $\vec P$ và lực căng $\vec T$ đóng vai trò lực hướng tâm

II. Chuyển động li tâm
1. Khi các lực liên kết không đủ đóng vai trò F$_{ht}$, vật văng ra xa quỹ đạo.

2. Một số ví dụ:
- Ích lợi và ứng dụng
- Tác hại và cách phòng tránh.

 

[Tăng Giáp]

Câu 1: Xe khối lượng 1 tấn, đi qua cầu vồng có bán kính 72 m, với tốc độ đều 8 m/s. Tính lực nén của xe lên cầu:
a) Tại điểm cao nhất trên cầu.
b) Tại điểm mà bán kính R hợp với phương thẳng đứng góc α = 30$^0$. Lấy g = 10 m/s$^2$.

Spoiler

Theo định luật II Newton: $\overrightarrow P + \overrightarrow N = m\overrightarrow a \left( 1 \right)$
a) Tại điểm cao nhất trên cầu

​

Theo phương hướng tâm:
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \to P - N = m{a_{ht}} \leftrightarrow P - N = m\frac{{{v^2}}}{R}\\
\leftrightarrow N = m\left( {g - \frac{{{v^2}}}{R}} \right)
\end{array}$
Phản lực của mặt cầu tác dụng lên xe $N = m\left( {g - \frac{{{v^2}}}{R}} \right)$
Lực nén của xe tác dụng lên cầu: $N' = N = m\left( {g - \frac{{{v^2}}}{R}} \right) = {10^3}.\left( {10 - \frac{{{8^2}}}{{72}}} \right) = 9111N$
b) Tại điểm mà bán kính R hợp với phương thẳng đứng góc α = 30$^0$

​

Theo phương hướng tâm
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \to {P_{ht}} - N = m{a_{ht}} \leftrightarrow P\cos \alpha - N = m\frac{{{v^2}}}{R}\\
\leftrightarrow N = m\left( {g\cos \alpha - \frac{{{v^2}}}{R}} \right)
\end{array}$
Phản lực của mặt cầu tác dụng lên xe $N = m\left( {g\cos \alpha - \frac{{{v^2}}}{R}} \right)$
Lực nén của xe tác dụng lên cầu: $N' = N = m\left( {g\cos \alpha - \frac{{{v^2}}}{R}} \right) = 7771\left( N \right)$

Câu 2: Một chiếc bàn tròn bán kính $R=35cm$, quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc $\omega =3 rad/s$. Hỏi ta có thể đặt một vật nhỏ trên vùng nào của bàn mà vật không bị văng ra xa tâm bàn ? Hệ số ma sát nghỉ giữa vật và mặt bàn là $\mu_n=0,25$.

Spoiler

Vật sẽ không bị văng đi nếu lực ma sát nghỉ của mặt bàn đủ để đóng vai trò của lực hướng tâm :
$F_{msn}=F_{ht}$
mà $F_{msn}\leq \mu_nmg; F_{ht}=m\omega ^2 r$
Ở đây r là khoảng cách từ vật đến tâm bàn, như hình vẽ
Từ đó $m\omega ^2r\leq \mu_nmg$
$r\leq \frac{\mu_ng}{\omega ^2} =\frac{0,25.9,8}{3^2} \approx 0,27m$
Vậy để vật không bị văng, ta cần đặt nó trong phạm vi hình tròn đồng tâm với bàn. bán kính $27cm$.
(Đáp số này được chấp nhận vì $r<R$)

Câu 3: Một xô đựng nước được treo vào sợi dây rồi quay tròn đều trong mặt phẳng thẳng đứng. Khoảng cách từ tâm quay đến trọng tâm của xô và nước là R = 2,5 m.
a) Cần quay xô với vận tốc góc tối thiểu là bao nhiêu để khi nó đi qua điểm cao nhất, nước không rơi ra ngoài.
b) Khối lượng nước và xô là M = 2kg, tìm lực căng dây ở các vị trí cao nhất và thấp nhất của xô, nếu quay với vận tốc góc trên. Lấy g = 10m/s$^2$.

Spoiler

Giải​

a) Gọi m là khối lượng nước trong xô.
Các lực tác dụng vào nước:
- Trọng lực $\overrightarrow P = m\overrightarrow g $
- Phản lực của xô hướng xuống $\overrightarrow {N'} $
Theo định luật II Newton: $\overrightarrow {N'} + \overrightarrow P = m\overrightarrow a $
Theo trục hướng tâm, ta có: N + P = ma$_{ht}$ = mω$^2$R ↔ N = mω$^2$R – mg
Lực nén của nước vào xô: N = N’
Để nước không rơi, cần có N’ ≥ 0
$m{\omega ^2}R - mg \ge 0 \leftrightarrow \omega \ge \sqrt {\frac{g}{R}} = \sqrt {\frac{{10}}{{2,5}}} = 2\left( {\frac{{rad}}{s}} \right)$
b) Những lực tác dụng vào xô
- Trong lượng xô + nước: $\overrightarrow P = M\overrightarrow g $
- Lực căng dây $\overrightarrow T $
Theo định luật II Newton: $\overrightarrow T + \overrightarrow P = M\overrightarrow a $
Khi xô ở điểm cao nhất: lực căng dây $\overrightarrow T $ hướng xuống.
Theo trục hướng tâm T + P = Ma$_{ht}$ = mω$^2$R ↔ T = mω$^2$R – Mg = 40 N

Câu 4: Khoảng cách từ Trái Đất đến mặt Trời là 1,5.10$^8$ km. Giả sử Trái Đất quay tròn đều xung quanh Mặt Trời với chu kì là 365 ngày. Hãy tính vận tốc và gia tốc hướng tâm của Trái Đất.

Spoiler

Chu kì chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời: $T= 365.24.3600 =31,54.10^6 s$.
Vận tốc của Trái Đất: $v= R \omega = R \frac{2\pi}{T} = 1,5.10^{11} .\frac{2\pi}{31,54.10^6} $
$=29,9.10^3 m/s= 29,9 km/s$
Gia tốc hướng tâm của Trái Đất:
$a= \frac{v^2}{R} =\frac{(29,9.10^3)^2}{1,5.10^8.10^3} = 5,95.10^{-3} m/s^2$.

Câu 5: Trong hệ quy chiếu gắn với tâm Trái Đất, Trái đất quay một vòng xung quanh trục Bắc- Nam hết một ngày đêm. Coi Trái Đất là một quả cầu bán kính R$_Đ$=6400km
a) Tính tốc độ của một điểm nằm ở xích đạo, và của một điểm ở vĩ độ $45^0$ Bắc
b) Trung tâm phóng tên lửa vũ trụ của châu Âu đặt ở Ku-ru, Guy-an (thuộc Pháp) nằm gần xích đạo.Hỏi với lí do nào mà người ta lại chọn vị trí đó
c) Phải phóng tên lửa vũ trụ theo hướng nào để có lợi nhất về vận tốc ?

Spoiler

a) Trong một ngày đêm (86400s) một điểm ở xích đạo vẽ một vòng theo chu vi của Trái Đất. Tốc độ dài của nó bằng :
$v_{xđ}=\frac{2\pi R_Đ}{T_Đ} =\frac{2\pi .6400.10^3}{86400} m/s=465,2 m/s=1674,7 km/h$
Tại vĩ độ $45^0$, bán kính vĩ tuyến là:
$R_{45}=R_Đ.\cos 45^0$
Tốc độ dài của một điểm ở vĩ độ $45^0$ bằng :
$v_{45^0}=\frac{2\pi R_{45^0}}{T_Đ} =\frac{2\pi R_Đ.\cos 45^0}{86400} =329 m/s=1184,7 km/h$
b) Ta nhận thấy, trong chuyển động quay của Trái Đất xung quanh trục của nó, tốc độ dài có giá trị lớn nhất ở xích đạo. Người ta lợi dụng điều này để phóng các con tàu vũ trụ. Vì lí do đó nên Guy-an nằm gần xích đạo được chọn làm nơi đặt bệ phóng tên lửa vũ trụ của Trung tâm nghiên cứu vũ trụ Châu Âu
c) Hướng phóng các con tàu là hướng Đông vì Trái Đất quay theo chiều từ Tây sang Đông. Như thế lợi dụng được tốc độ quay của Trái Đất

Câu 6: Trái đất tự quay quanh trục của nó hướng dọc theo hai cực Bắc và Nam. Đối với hệ quy chiếu gắn trên trục của Trái Đất, bán kính Trái Đất R = 6400 km, tính :
a) Chu kì quay của Trái Đất quanh trục của nó.
b) Vận tốc tại một vị trí:
- Ở trên xích đạo
- Ở trên vĩ độ $21^0$.
- Ở các cực của Trái Đất.

Spoiler

a) Chu kì quay của Trái Đất quanh trục của nó $T = 24h = 86400 (s)$.
b) Tính các vận tốc $v_1, v_2, v_3$.
Vận tốc của một vị trí trên xích đạo : $v_1 = \frac{2 \pi R}{T}= 465 (m/s) $
Vận tốc của một vị trí ở vĩ tuyến $20^0 : v_2 = \frac{2 \pi R \cos \alpha }{T} = 434 (m/s) $.
Vận tốc ở các cực của Trái Đất : $v_3 = 0$.