Trích đề thi thử tỉnh Thanh Hóa
Cho x, y, z là các số thực thỏa ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9;\,xyz \le 0$. Chứng minh rằng 2(x + y + z) – xyz ≤ 10.
+ Giả sử $x \le y \le z,\,do\,xyz \le 0\, \to \,x \le 0$
+ ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9 \Rightarrow {x^2} \le 9 \Rightarrow x \in \left[ { - 3;0} \right]$. Ta có $yz \le {\left( {\frac{{y + z}}{2}} \right)^2} \le \frac{{{y^2} + {z^2}}}{2}$, do đó $\begin{array}{l}
2(x + y + z) - xyz \le 2x + 2\sqrt {2({y^2} + {z^2})} - x.\frac{{{y^2} + {z^2}}}{2}\\
= 2x + 2\sqrt {2(9 - {x^2})} - \frac{{x(9 - {x^2})}}{2} = \frac{{{x^3}}}{2} - \frac{{5x}}{2} + 2\sqrt {2(9 - {x^2})}
\end{array}$
Xét hàm số $f(x) = \frac{{{x^3}}}{2} - \frac{{5x}}{2} + 2\sqrt {2(9 - {x^2})} \,\,\,x \in \left[ { - 3;0} \right]$,
$f'(x) = \frac{3}{2}{x^2} - \frac{5}{2} - \frac{{2\sqrt 2 x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}$ $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {9 - {x^2}} (5 - 3{x^2}) = - 4\sqrt 2 x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5 - 3{x^2} \ge 0\\(9 - {x^2}){(5 - 3{x^2})^2} = 32{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = - 1$
f(-3) = - 6 ; f(-1) = 10 ; f(0) = $6\sqrt 2 $ nên $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f(x) = f( - 1) = 10$
Suy ra 2(x + y + z) – xyz ≤ f(x) ≤10. Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\y = z\\y + z = \sqrt {2({y^2} + {z^2})} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = z = 2\end{array} \right.$
Vậy 2(x + y + z) – xyz ≤ 10. Đẳng thức xảy ra khi (x ; y ; z) là 1 hoán vị của (-1 ; 2 ; 2)
