Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

[Tăng Giáp]

Lý thuyết về cấp số cộng và cấp số nhân môn toán lớp 11 với nhiều dạng bài cùng phương pháp giải nhanh kèm bài tập vận dụng.

Đề thi tham khảo nào của bộ cũng có vài câu về cấp số cộng và cấp số nhân đúng không? Chưa kể đề thi chính thức các năm trước đều có => muốn đạt điểm cao bắt buộc học bài này

Vậy giờ học như nào để đạt điểm tuyệt đối phần này? Làm như nào để giải nhanh mấy câu phần này? (tất nhiên là giải nhanh phải đúng chớ giải nhanh mà chệch đáp án thì tốt nhất nghỉ ).

Ok, tôi đoán chắc rằng bạn không hiểu và thuộc những CHÍNH XÁC những kiến thức cơ bản => Hoang mang đúng rồi. Kế nữa bạn không biết những công thức cấp số cộng giải nhanh hay công thức tính tổng cấp số nhân giải nhanh => Hoang mang đúng rồi.
Hãy để tôi hệ thống giúp bạn:

• Hãy xem lại lý thuyết như định nghĩa, tích chất
• Hãy xem và NHỚ công thức giải nhanh dưới đây
• Hãy xem thật CẨN THẬN các ví dụ kèm lời giải

Nào chúng ta bắt đầu:
Cấp số cộng
1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.

Công thức tính tổng cấp số cộng: $\forall n \in N*,{U_{n + 1}} = {U_n} + d$

Giải thích:

• Kí hiệu d được gọi là công sai
• ${U_{n + 1}} – {U_n}$ = d với mọi n ∈ N* ( trong đó d là hằng số còn ${U_{n + 1}};{U_n}$ là hai số liên tiếp của dãy số CSC
• Khi hiệu số ${U_{n + 1}} – {U_n}$ phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.

+ Tính chất:

• ${U_{n + 1}} - {U_n} = {U_{n + 2}} - {U_{n + 1}}$
• ${U_{n + 1}} = \frac{{{U_n} + {U_{n + 2}}}}{2}$
• Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n

+ Số hạng tổng quát: ${U_n} = {U_1} + d(n - 1)$
+ Nếu muốn tính tổng n số hạng đầu thì ta dùng công thức:

• ${U_n} = \frac{{({a_1} + {a_n})n}}{2}$
• ${U_n} = \frac{{2{a_1} + d(n - 1)}}{2}n$

Cấp số nhân
Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.

Công thức tổng quát: ${U_{n + 1}} = {U_n}.q$

Trong đó

• n ∈ N*
• công bội là q
• hai số liên tiếp trong công bội là ${U_n},{U_{n + 1}}$

Tính chất

• $\frac{{{U_{n + 1}}}}{{{U_n}}} = \frac{{{U_{n + 2}}}}{{{U_{n + 1}}}}$
• ${U_{n + 1}} = \sqrt {{U_n}.{U_{n + 2}}} $ , U$_n$ > 0
• Ta thấy: $\left\{ \begin{array}{l} {U_{n + 1}} = {U_n}.q\\ {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},\,\left( {n \ge 2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},\,\left( {n \ge 2} \right)$

+ Số hạng tổng quát: ${U_n} = {U_1}.{q_{n - 1}}$

+ Tổng n số hạng đầu tiên: ${S_n} = {U_1} + {U_2} + ... + {U_n} = {U_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 thì ${S_n} = {U_1} + {U_2} + ... + {U_n} = \frac{{{U_1}}}{{1 - q}}$

Lưu ý: Công thức tổng cấp số nhân thường xuyên xuất hiện trong đề thi, tương đối dễ học nên em cần phải nhớ kĩ và chính xác.

Bài tập vận dụng

Bài tập cấp số cộng minh họa

Câu 1. [ Đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp số cộng (u$_n$) với u$_1$ = 3, u$_2$ = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải​

Câu 2. [ Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có ${u_1} = - 3;\,\,{u_6} = 27$. Tìm d ?

Hướng dẫn giải​

Dựa vào công thức cấp số cộng ta có:
$\begin{array}{l} {u_6} = 27 \Leftrightarrow {u_1} + 5d = 27\\ \Leftrightarrow - 3 + 5d = 27 \Leftrightarrow d = 6 \end{array}$

Câu 3: [ Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.

Hướng dẫn giải​

Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.Khi đó, ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {a - 3x} \right) + \left( {a - x} \right) + \left( {a + x} \right) + \left( {a + 3x} \right) = 20}\\ {{{\left( {a - 3x} \right)}^2} + {{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {a + x} \right)}^2} + {{\left( {a + 3x} \right)}^2} = 120} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4a = 20}\\ {4{a^2} + 20{x^2} = 120} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 5}\\ {x = \pm 1} \end{array}} \right. \end{array}$
Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.

Câu 4. [ Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?

Hướng dẫn giải​

Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\\ d = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{{n - 1}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_8} = 2{S_8}:8\\ {u_8} - {u_1} = 7d \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_8} + {u_1} = 18\\ {u_8} - {u_1} = - 14 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {u_1} = 16. \end{array}$

Câu 5. [ Đề thi thử sở GD Hà Nội] Xác định a để 3 số : $1 + 3a;{a^2} + 5;1 - a$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn giải​

Ba số : $1 + 3a;{a^2} + 5;1 - a$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
$\begin{array}{l} {a^2} + 5 - \left( {1 + 3a} \right) = 1 - a - \left( {{a^2} + 5} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 4 = - {a^2} - a - 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - a + 4 = 0 \end{array}$
PT vô nghiệm

Bài tập cấp số nhân (CSN)

Câu 1. Cho CSN $\left( {{u_n}} \right)$ với${u_1} = - 2;{\text{ q = - 5}}$. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u$_n$ ?

Hướng dẫn giải​

Từ công thức cấp số nhân:
$\begin{array}{l} {u_2} = {u_1}.q = \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) = 10;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_3} = {u_2}.q = 10.\left( { - 5} \right) = - 50;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_4} = {u_3}.q = - 50.\left( { - 5} \right) = 250 \end{array}$.
Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - 2} \right).{\left( { - 5} \right)^{n - 1}}$.

Câu 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = - 1;{\text{ }}q = \frac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ mấy của $\left( {{u_n}} \right)$ ?

Hướng dẫn giải​

$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}}\\ \Rightarrow n - 1 = 103 \Rightarrow n = 104 \end{array}$

Câu 3: Xét xem dãy số sau có phải là CSN hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
${u_n} = - \frac{{{3^{n - 1}}}}{5}$

Hướng dẫn giải​

Dựa vào công thức cấp số nhân ở trên ta thấy:
$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3 \Rightarrow ({u_n})$ là CSN với công bội q = 3

Câu 4: Cho cấp số nhân: $\frac{{ - 1}}{5};{\text{ }}a;{\text{ }}\frac{{ - {\text{1}}}}{{{\text{125}}}}$. Giá trị của a là:

Hướng dẫn giải​

Dựa vào công thức cấp số nhân: ${a^2} = \left( { - \frac{1}{5}} \right).\left( { - \frac{1}{{125}}} \right) = \frac{1}{{625}} \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{{25}}$

Câu 5. Hãy tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (u$_n$) với ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$

Hướng dẫn giải​

Ta có:

• n = 1 => ${u_1} = \frac{1}{{{2^1}}} = \frac{1}{2}$
• n = 2 =>${u_2} = \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{4}$

Như vậy, công sai là $q = \frac{1}{2}$

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn nêu ở trên, ta có: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1$

Tải file bài tập​

 

[Doremon]

Đề thi thử sở Hải Phòng 2025: Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-3$, ${{u}_{6}}=27$. Tính công sai $d$.
A. $d=7$.
B. $d=5$.
C. $d=8$.
D. $d=6$.
Lời giải
Ta có ${{u}_{6}}={{u}_{1}}+5d\Rightarrow 27=-3+5d\Rightarrow d=6$

 

[Tăng Giáp]

Đề thi thử Chuyên Lam Sơn 2025:
Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 9$ và công sai $d = 2$. Giá trị của $u_2$ bằng
A. 11.
B. $\dfrac{9}{2}$
C. 18.
D. 7.
Chọn A.
Ta có: u₂ = u₁ + d = 9 + 2 = 11.

 

[Tăng Giáp]

Sở hà Tĩnh 2025: Cho cấp số nhân $\left( {{U}_{n}} \right)$với ${{u}_{1}}=2$ và công bội $q=3$. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân ?
A.48.
B. 54.
C. 24.
D. 162.

Lời giải​

Số hạng thứ 4 của cấp số nhân ${{u}_{4}}={{u}_{1.}}{{q}^{3}}={{2.3}^{3}}=54$

 

[Tăng Giáp]

Đề chuyên Vinh lần 1 năm 2025: Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$có ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{6}}=-64$. Số hạng ${{u}_{3}}$ của cấp số nhân đã cho là
A. $-2$.
B. $16$.
C. $-8$.
D. $8$.

Lời giải​

Ta có:
$\begin{array}{l} {u_6} = - 64\\ \Leftrightarrow {u_1}{q^5} = - 64\\ \Leftrightarrow q = - 2\\ \Rightarrow {u_3} = {u_1}{q^2} = 2.{\left( { - 2} \right)^2} = 8 \end{array}$

 

[Tăng Giáp]

Đề thi thử sở Thái Bình 2025. Cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-1$ và ${{u}_{9}}=23$. Số hạng ${{u}_{5}}$ của cấp số cộng là
A. $10$.
B. $14$.
C. $11$.
D. $8$.

Lời giải​

Ta có ${{u}_{9}}={{u}_{1}}+8d\Leftrightarrow 23=-1+8d\Leftrightarrow d=3$ suy ra ${{u}_{5}}={{u}_{1}}+4d=-1+4.3=11$ .

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Trần Phú – Lần 2) Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_{2013} + u_6 = 1000$. Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
A. 1009000
B. 100900
C. 100800
D. 1008000

Phương pháp:

Sử dụng công thức SHTQ của CSC: $u_n = u_1 + (n-1)d$ và công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSC:
$S_n = \frac{n[u_1 + u_n]}{2} = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$

Cách giải:

$u_{2013} + u_6 = 1000 \Leftrightarrow u_1 + 2012d + u_1 + 5d = 1000$
$\Leftrightarrow 2u_1 + 2017d = 1000$
$\begin{array}{l} {S_{2018}} = \frac{{2018[2{u_1} + 2017d]}}{2}\\ = \frac{{2018.1000}}{2} = 1009000 \end{array}$

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Chu Văn An) Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ 3 có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
A. 101
B. 100
C. 99
D. 98
Chọn C

Phương pháp:

Sử dụng tổng $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Cách giải:

Giả sử trồng được n hàng cây với quy luật trên thì số cây trồng được là
$\begin{array}{l} 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2} = 4950\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 9900 = 0\\ \Leftrightarrow n = 99 \end{array}$

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Tiền Giang) Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_5 = -15, u_{20} = 60$. Tổng $S_{20}$ của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
A. $S_{20} = 600$.
B. $S_{20} = 60$.
C. $S_{20} = 250$.
D. $S_{20} = 500$.

Lời giải​

Chọn C
Gọi số hạng đầu và công sai của CSC $(u_n)$ là $u_1, d$, ta có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} + 4d = - 15}\\ {{u_1} + 19d = 60} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = - 35}\\ {d = 5} \end{array}} \right.$
Suy ra $ S_{20} = \frac{20}{2}(-35 + 60) = 250 $

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho dãy số $(u_n)$ gồm 89 số hạng thỏa mãn điều kiện $u_n = \tan(n^\circ)$. Gọi P là tích của tất cả 89 số hạng của dãy số. Giá trị của biểu thức $\log P$ là
A. 89
B. 1
C. 0
D. 10

Chọn C

Phương pháp:
Áp dụng công thức: $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 \Leftrightarrow \tan\alpha \cdot \tan(90^\circ - \alpha) = 1$

Cách giải:

Ta có: $P = u_1 \cdot u_2 \cdot ... \cdot u_{89}$
$ \Rightarrow P = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdot ... \cdot \tan 89^\circ $ $ \Rightarrow P = (\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ) \cdot (\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ) \cdot (\tan 3^\circ \cdot \tan 87^\circ) \cdot ... \cdot \tan 45^\circ $ $ \Rightarrow P = (\tan 1^\circ \cdot \cot 1^\circ) \cdot (\tan 2^\circ \cdot \cot 2^\circ) \cdot (\tan 3^\circ \cdot \cot 3^\circ) \cdot ... \cdot (\tan 44^\circ \cdot \cot 44^\circ) \cdot \tan 45^\circ $ $ \Rightarrow P = 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1 = 1 \Rightarrow \log P = \log 1 = 0 $

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Hùng Vương–Bình Dương) Một cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu $S_n$ tính theo công thức $S_n = 5n^2 + 3n, (n \in \mathbb{N}^*$). Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.
A. $u_1 = -8; d = 10$
B. $u_1 = -8; d = -10$
C. $u_1 = 8; d = 10$
D. $u_1 = 8; d = -10$

Chọn C

Lời giải:

Ta có:
$\begin{array}{l} {S_n} = \left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]\frac{n}{2}\\ = \frac{{d{n^2}}}{2} + \left( {{u_1} - \frac{d}{2}} \right)n\\ = 5{n^2} + 3n\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{l}} {\frac{d}{2} = 5}\\ {{u_1} - \frac{d}{2} = 3} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{l}} {d = 10}\\ {{u_1} = 8} \end{array}} \right. \end{array}$

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Hùng Vương–Bình Dương) Một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = 2018$, công sai $d = -5$. Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm.
A. $u_{406}$
B. $u_{403}$
C. $u_{405}$
D. $u_{404}$

Chọn C

Lời giải​

Số hạng tổng quát là
$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1} + (n - 1)d\\ = 2018 + (n - 1)( - 5)\\ = - 5n + 2023 < 0\\ \Leftrightarrow n > 404,6 \end{array}$
=> bắt đầu từ số hạng thứ 405 thì nhận giá trị âm.

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết $u_2 = 3$ và $u_4 = 7$. Giá trị của $u_{15}$ bằng
A. 27
B. 31
C. 35
D. 29

Chọn D

Lời giải

Ta có
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{{20}{l}} {{u_4} = {u_1} + 3d = 7}\\ {{u_2} = {u_1} + d = 3} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{l}} {d = 2}\\ {{u_1} = 1} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow {u_{15}} = {u_1} + 14d = 29 \end{array}$

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3) Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết $u_5 = 18$ và $4S_n = S_{2n}$. Tìm số hạng đầu tiên $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng.
A. $u_1 = 2, d = 4$
B. $u_1 = 2, d = 3$
C. $u_1 = 2, d = 2$
D. $u_1 = 3, d = 2$

Lời giải

Chọn A.
Giả sử
$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1} + (n - 1)d\\ \Rightarrow {u_5} = {u_1} + 4d = 18\left( 2 \right) \end{array}$
Ta có:
${S_n} = \frac{{n[2{u_1} + (n - 1)d]}}{2},$ ${S_{2n}} = \frac{{2n[2{u_1} + (2n - 1)d]}}{2}$
Do $S_{2n} = 4S_n \Rightarrow 2n[2u_1 + (2n - 1)d] = 4n[2u_1 + (n - 1)d]$
$\begin{array}{l} \Rightarrow 2{u_1} + (2n - 1)d = 4{u_1} + (2n - 2)d\\ \Rightarrow - 2{u_1} + d = 2d\\ \Rightarrow {u_1} = 2\left( 2 \right) \end{array}$
Từ (1) và (2) suy ra $u_1 = 2, d = 4$.

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3) Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = -1$, công bội $q = \dfrac{1}{10}$. Hỏi $\dfrac{1}{10^{2017}}$ là số hạng thứ mấy của $(u_n)$?
A. Số hạng thứ 2018
B. Số hạng thứ 2017
C. Số hạng thứ 2019
D. Số hạng thứ 2016

Lời giải

Chọn A.
Gọi
$\begin{array}{l} {u_n} = \frac{1}{{{{10}^{2017}}}} = ( - 1){\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}}\\ \Rightarrow n - 1 = 2017\\ \Rightarrow n = 2018 \end{array}$

 

[Tăng Giáp]

(Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3) Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_4 = -12, u_{14} = 18$. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
A. $S_{16} = -24$
B. $S_{16} = 26$
C. $S_{16} = -25$
D. $S_{16} = 24$

Lời giải

Chọn D.
Ta có
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{{20}{l}} {{u_4} = {u_1} + 3d = - 12}\\ {{u_{14}} = {u_1} + 13d = 18} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{{20}{l}} {{u_1} = - 21}\\ {d = 3} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow {S_{16}} = \frac{{16( - 42 + 15.3)}}{2} = 24 \end{array}$

 

[Tăng Giáp]

(SGD Đà Nẵng) Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 32 và tổng bình phương của chúng bằng 336. Tích của bốn số đó là
A. 5760
B. 15120
C. 1920
D. 1680

Lời giải

Chọn D.
Gọi 4 số đó là $a; a + d; a + 2d; a + 3d$. Theo đề bài:
$ 4a + 6d = 32 \Rightarrow 2a + 3d = 16 $
Lại có
$\begin{array}{l} {a^2} + {(a + d)^2} + {(a + 2d)^2} + {(a + 3d)^2} = 336\\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 12ad + 14{d^2} = 336 \end{array}$
Thay $2a = 16 - 3d$ vào, ta tìm được $d = 4$ hoặc $d = -4$.
Cả 2 trường hợp đều ra 4 số cần tìm là $2; 6; 10; 14$. Tích 4 số này là 1680.

 

[Tăng Giáp]

SGD Hà Nội: Cho $(u_n)$ là cấp số cộng có $u_3 + u_{13} = 80$. Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng
A. 800
B. 630
C. 570
D. 600
Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng $u_n = u_1 + (n - 1)d$ và công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
$S_n = \frac{(u_1 + u_n) \cdot n}{2}$

Cách giải:

Gọi cấp số cộng có công sai là $d$.
Ta có:
$\begin{array}{l} {u_3} + {u_{13}} = 80\\ \Leftrightarrow {u_1} + 2d + {u_1} + 12d = 80\\ \Leftrightarrow 2{u_1} + 14d = 80 \end{array}$
Tổng của 15 số hạng đầu tiên của dãy là
$\begin{array}{l} {S_{15}} = \frac{{({u_1} + {u_1} + 14d) \cdot 15}}{2}\\ = \frac{{(2{u_1} + 14d) \cdot 15}}{2}\\ = \frac{{80 \cdot 15}}{2} = 600 \end{array}$
Cấp số cộng cấp số nhân.

 

[Tăng Giáp]

SGD Hà Nội 2018: Giá trị của tổng $4 + 44 + 444 + \ldots + 44\ldots4$ (tổng đó có 2018 số hạng) bằng
A. $\dfrac{40}{9} \left(10^{2018} - 1\right) + 2018$
B. $\dfrac{4}{9} \left(10^{2018} - 1\right)$
C. $\dfrac{4}{9} \left( \dfrac{10^{2019} - 10}{9} + 2018 \right)$
D. $\dfrac{4}{9} \left( \dfrac{10^{2019} - 10}{9} - 2018 \right)$

Lời giải

Chọn D.
Tổng đã cho bằng
$ A = \dfrac{4}{9}(9 + 99 + \ldots + 99\ldots9) $
$ = \dfrac{4}{9} \left[(10 - 1) + (10^2 - 1) + \ldots + (10^{2018} - 1)\right] $
$ = \dfrac{4}{9} \left(1 + 10 + 10^2 + \ldots + 10^{2018} - 2018\right) $
$ = \dfrac{4}{9} \left( \dfrac{10^{2019} - 1}{10 - 1} - 2018 \right) = \dfrac{4}{9} \left( \dfrac{10^{2019} - 10}{9} - 2018 \right) $