1. Phương pháp
Chu kì dao động của con lắc đơn thay đổi theo biểu thức: $T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} $
Nếu như thay đổi chu kì một lượng nhỏ thì ta có thể sử dụng công thức gần đúng sau:
$\frac{{T'}}{T} = 1 + \frac{{\Delta \ell }}{{2\ell }} - \frac{{\Delta g}}{{2g}} + \frac{1}{2}.\alpha \Delta t + \frac{{\Delta h}}{R} + \frac{{\Delta d}}{{2R}}$
Giải thích:
Ví dụ 1:
Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kỳ T. Nếu chu kỳ của con lắc bị giảm 1% so với giá trị lúc đầu thì chiều dài của con lắc sẽ thay đổi như thế nào? Bằng bao nhiêu phần trăm so với chiều dài ban đầu?
A. Giảm 2%
B. Tăng 2%
C. Giảm 0,2%
D. Tăng 0,2%
$\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{T' - T}}{T} = \frac{{T'}}{T} - 1 = \frac{{\Delta \ell }}{{2\ell }} = 0,01 \to \frac{{\Delta \ell }}{\ell } = 0,02$
Chọn A
Ví dụ 2:
Gia tốc rơi tự do tại Hà Nội và TP Hồ Chí Minh lần lượt là ${g_1} = 9,793\left( {\frac{m}{{{s^2}}}} \right)\,$ và ${g_2} = 9,787\left( {\frac{m}{{{s^2}}}} \right).$ Một con lắc đơn có chiều dài không bị thay đổi bởi nhiệt độ. Phải tăng hay giảm chiều dài con lắc bao nhiêu phần trăm so với chiều dài cũ để con lắc không đổi khi đưa từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh?
A. giảm 0,6%
B. tăng 0,6%
C. giảm 0,06%
D. tăng 0,06%
Chọn C
Ví dụ 3:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s tại mặt đất. Đem con lắc lên độ cao h so với mặt đất thì chu kỳ dao động thay đổi 0,2% so với ban đầu. Tính độ cao h? Cho bán kính trái đất R = 6400 km.
A. 20 km
B. 12,8 km
C. 10,5 km
D. 25,2 km
\frac{{\Delta T}}{T}.100\% = \left( {\frac{{T'}}{T} - 1} \right).100\% \to \frac{{\Delta T}}{T} = 0,002\\
\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{h}{R} \to \frac{h}{R} = 0,002 \to h = 0,002.6400 = 12,8\left( {km} \right)
\end{array}$
Chọn B
Chu kì dao động của con lắc đơn thay đổi theo biểu thức: $T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} $
Nếu như thay đổi chu kì một lượng nhỏ thì ta có thể sử dụng công thức gần đúng sau:
$\frac{{T'}}{T} = 1 + \frac{{\Delta \ell }}{{2\ell }} - \frac{{\Delta g}}{{2g}} + \frac{1}{2}.\alpha \Delta t + \frac{{\Delta h}}{R} + \frac{{\Delta d}}{{2R}}$
Giải thích:
- α là hệ số nở vì nhiệt.
- Δt = t’ – t là độ chênh lệch nhiệt độ.
- Δh = h’ – h là độ chênh lệch độ cao.
- Δd = d’ – d là độ chênh lệch độ sâu.
- Δg = g' - g là độ chênh lệch gia tốc trọng trường.
Ví dụ 1:
Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kỳ T. Nếu chu kỳ của con lắc bị giảm 1% so với giá trị lúc đầu thì chiều dài của con lắc sẽ thay đổi như thế nào? Bằng bao nhiêu phần trăm so với chiều dài ban đầu?
A. Giảm 2%
B. Tăng 2%
C. Giảm 0,2%
D. Tăng 0,2%
Lời giải
Vì chu kỳ tỷ lệ thuận với căn bậc hai chiều dài nên chu kỳ giảm chiều gài cũng giảm$\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{{T' - T}}{T} = \frac{{T'}}{T} - 1 = \frac{{\Delta \ell }}{{2\ell }} = 0,01 \to \frac{{\Delta \ell }}{\ell } = 0,02$
Chọn A
Ví dụ 2:
Gia tốc rơi tự do tại Hà Nội và TP Hồ Chí Minh lần lượt là ${g_1} = 9,793\left( {\frac{m}{{{s^2}}}} \right)\,$ và ${g_2} = 9,787\left( {\frac{m}{{{s^2}}}} \right).$ Một con lắc đơn có chiều dài không bị thay đổi bởi nhiệt độ. Phải tăng hay giảm chiều dài con lắc bao nhiêu phần trăm so với chiều dài cũ để con lắc không đổi khi đưa từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh?
A. giảm 0,6%
B. tăng 0,6%
C. giảm 0,06%
D. tăng 0,06%
Lời giải
$T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{{g_1}}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{l + \Delta l}}{{{g_2}}}} \to \frac{{l + \Delta l}}{l} = \frac{{{g_2}}}{{{g_1}}} \to 1 + \frac{{\Delta l}}{l} = \frac{{{g_2}}}{{{g_1}}} \to \frac{{\Delta l}}{l} = \frac{{{g_2} - {g_1}}}{{{g_1}}} = \frac{{0,006}}{{9,793}} = - 0,0006 = - 0,06\% $Chọn C
Ví dụ 3:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s tại mặt đất. Đem con lắc lên độ cao h so với mặt đất thì chu kỳ dao động thay đổi 0,2% so với ban đầu. Tính độ cao h? Cho bán kính trái đất R = 6400 km.
A. 20 km
B. 12,8 km
C. 10,5 km
D. 25,2 km
Lời giải
$\begin{array}{l}\frac{{\Delta T}}{T}.100\% = \left( {\frac{{T'}}{T} - 1} \right).100\% \to \frac{{\Delta T}}{T} = 0,002\\
\frac{{\Delta T}}{T} = \frac{h}{R} \to \frac{h}{R} = 0,002 \to h = 0,002.6400 = 12,8\left( {km} \right)
\end{array}$
Chọn B
