Dạng 2. Phương trình bậc bốn dạng $\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2}$ với $ad=bc=m.$
Cách 1: Đưa về dạng $A^2 = B^2.$
$\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + px + m} \right)\left( {{x^2} + nx + m} \right) = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m – \frac{{n – p}}{2}x} \right)$$\left( {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m + \frac{{n – p}}{2}x} \right)$ $ = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m} \right)^2}$ $ = \left[ {{{\left( {\frac{{n – p}}{2}} \right)}^2} + e} \right]{x^2}$, với $ad = bc = m$, $p = a + d$, $n = b + c.$
Cách 2: Xét xem $x=0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không.
Trường hợp $x≠0$, ta có: $\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2}$ $\left( {x + \frac{m}{x} + p} \right)\left( {x + \frac{m}{x} + n} \right) = e.$
Đặt $u = x + \frac{m}{x}$, điều kiện $\left| u \right| \ge 2\sqrt {\left| m \right|} $, phương trình trở thành $(u+p)(u+n)=e$, đến đây giải phương trình bậc hai theo $u$ để tìm $x.$
Ví dụ 2. Giải phương trình: $\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 12} \right) = 25{x^2}.$
Cách 1:
$\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 12} \right) = 25{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2x + 24 + 12x} \right)$$\left( {{x^2} – 2x + 24 – 12x} \right) = 25{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 2x + 24} \right)^2} = 169{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 2x + 24 = 13x\\
{x^2} – 2x + 24 = – 13x
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 15x + 24 = 0\\
{x^2} + 11x + 24 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 8\\
x = – 3\\
x = \frac{{15 \pm \sqrt {129} }}{2}
\end{array} \right.$
Cách 2:
$\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 12} \right) = 25{x^2}$ $\left( {{x^2} + 10x + 24} \right)\left( {{x^2} – 14x + 24} \right) = 25{x^2}.$
Nhận thấy $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình.
Với $x≠0$, ta có: phương trình $ \Leftrightarrow \left( {x + \frac{{24}}{x} + 10} \right)\left( {x + \frac{{24}}{x} – 14} \right) = 25.$
Đặt $y = x + \frac{{24}}{x}$ $ \Rightarrow \left| y \right| \ge 4\sqrt 6 $, ta được: $\left( {y + 10} \right)\left( {y – 14} \right) = 25$ $ \Leftrightarrow \left( {y + 11} \right)\left( {y – 15} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = – 11\\
y = 15
\end{array} \right.$
Với $y=-11$, ta có phương trình: $x + \frac{{24}}{x} = – 11$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 11x + 24 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 3\\
x = – 8
\end{array} \right.$
Với $y=15$, ta có phương trình: $x + \frac{{24}}{x} = 15$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 15x + 24 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{15 \pm \sqrt {129} }}{2}$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ { – 3; – 8;\frac{{15 – \sqrt {129} }}{2};\frac{{15 + \sqrt {129} }}{2}} \right\}.$
Nhận xét: Trong cách giải 2, có thể ta không cần xét $x≠0$ rồi chia mà có thể đặt ẩn phụ $y=x^2+m$ để thu được phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$ hoặc ngược lại.
Cách 1: Đưa về dạng $A^2 = B^2.$
$\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + px + m} \right)\left( {{x^2} + nx + m} \right) = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m – \frac{{n – p}}{2}x} \right)$$\left( {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m + \frac{{n – p}}{2}x} \right)$ $ = e{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + \frac{{p + n}}{2}x + m} \right)^2}$ $ = \left[ {{{\left( {\frac{{n – p}}{2}} \right)}^2} + e} \right]{x^2}$, với $ad = bc = m$, $p = a + d$, $n = b + c.$
Cách 2: Xét xem $x=0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không.
Trường hợp $x≠0$, ta có: $\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e{x^2}$ $\left( {x + \frac{m}{x} + p} \right)\left( {x + \frac{m}{x} + n} \right) = e.$
Đặt $u = x + \frac{m}{x}$, điều kiện $\left| u \right| \ge 2\sqrt {\left| m \right|} $, phương trình trở thành $(u+p)(u+n)=e$, đến đây giải phương trình bậc hai theo $u$ để tìm $x.$
Ví dụ 2. Giải phương trình: $\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 12} \right) = 25{x^2}.$
Cách 1:
$\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 12} \right) = 25{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2x + 24 + 12x} \right)$$\left( {{x^2} – 2x + 24 – 12x} \right) = 25{x^2}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 2x + 24} \right)^2} = 169{x^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 2x + 24 = 13x\\
{x^2} – 2x + 24 = – 13x
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 15x + 24 = 0\\
{x^2} + 11x + 24 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 8\\
x = – 3\\
x = \frac{{15 \pm \sqrt {129} }}{2}
\end{array} \right.$
Cách 2:
$\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 12} \right) = 25{x^2}$ $\left( {{x^2} + 10x + 24} \right)\left( {{x^2} – 14x + 24} \right) = 25{x^2}.$
Nhận thấy $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình.
Với $x≠0$, ta có: phương trình $ \Leftrightarrow \left( {x + \frac{{24}}{x} + 10} \right)\left( {x + \frac{{24}}{x} – 14} \right) = 25.$
Đặt $y = x + \frac{{24}}{x}$ $ \Rightarrow \left| y \right| \ge 4\sqrt 6 $, ta được: $\left( {y + 10} \right)\left( {y – 14} \right) = 25$ $ \Leftrightarrow \left( {y + 11} \right)\left( {y – 15} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = – 11\\
y = 15
\end{array} \right.$
Với $y=-11$, ta có phương trình: $x + \frac{{24}}{x} = – 11$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 11x + 24 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 3\\
x = – 8
\end{array} \right.$
Với $y=15$, ta có phương trình: $x + \frac{{24}}{x} = 15$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 15x + 24 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{15 \pm \sqrt {129} }}{2}$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ { – 3; – 8;\frac{{15 – \sqrt {129} }}{2};\frac{{15 + \sqrt {129} }}{2}} \right\}.$
Nhận xét: Trong cách giải 2, có thể ta không cần xét $x≠0$ rồi chia mà có thể đặt ẩn phụ $y=x^2+m$ để thu được phương trình bậc hai ẩn $x$, tham số $y$ hoặc ngược lại.
