Dạng 7: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng biết mặt phẳng tạo với d...

Tăng Giáp

Administrator
Thành viên BQT
Dạng 7: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $(\alpha )$ biết $(\alpha )$ chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(\beta )$ một góc $\varphi .$
Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, tính chất giao điểm và trung tuyến … từ đó xác định các đoạn giao tuyến và tìm được thiết diện.

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Mặt bên hợp với đáy một góc ${{60}^{0}}$. Cho $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $CD$ và vuông góc với $\left( SAB \right)$, $\left( P \right)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$. $\left( P \right)$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính thiết diện theo $a$.

phân biệt không thẳng hàng.png


Gọi $K,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$
Khi đó $KI$ đi qua tâm $O$ của hình vuông $ABCD.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
SK \bot AB\\
OK \bot AB
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \widehat {SKO} = {60^0}$ (Vì $\widehat {SKO}$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp).
Suy ra $\Delta SKI$ là tam giác đều.
Hạ đường cao $IE$ của $\Delta SIK.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
IE \bot SK\\
IE \bot AB
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow IE \bot \left( {SAB} \right).$
Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $CD$ và vuông góc $\left( SAB \right)$ là mặt phẳng $\left( CDE \right)$.
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác $CDMN.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
MN\parallel AB\\
CD\parallel AB
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow MN\parallel CD.$
Mặt khác $MN$ là đường trung bình của $\Delta SAB$, do đó $DM = CN.$
Vậy thiết diện $CDMN$ là hình thang cân.
Ta có: $MN = \frac{a}{2}$, $IE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Vậy diện tích thiết diện là ${S_{CDMN}} = \frac{{\left( {CD + MN} \right).IE}}{2}$ $ = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}.$

Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Mặt bên tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $AB$ cắt $SC,SD$ lần lượt tại $M,N$. Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng $(\alpha )$ với mặt đáy là ${{30}^{0}}.$ Hãy xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha )$ và hình chóp.

phân biệt không thẳng hàng.png


Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
M \in (\alpha ) \cap (SCD)\\
CD\parallel AB\\
(SCD) \supset CD,(\alpha ) \supset AB
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SCD) = MN$ $(MN\parallel AB).$
Ta có: $(SAB) \cap (\alpha ) = AB$, $(SAD) \cap (\alpha ) = AN$, $(SCD) \cap (\alpha ) = MN$, $(SBC) \cap (\alpha ) = MB.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $ABMN.$
Mặc khác $\Delta AND=\Delta BMC$ $\Rightarrow AN=BM.$
Vậy $ABMN$ là hình thang cân.
 

Members online

No members online now.
Back
Top