Phương pháp giải toán: Để xác định hàm số bậc hai ta thực hiện theo các bước như sau:
+ Gọi hàm số cần tìm là $y = a{x^2} + bx + c$, $a \ne 0.$
+ Dựa theo giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ba ẩn $a,b,c.$
+ Giải hệ phương trình trên để tìm $a,b,c$, từ đó suy ra hàm số cần tìm.
Ví dụ 1. Xác định parabol $\left( P \right):$ $y = a{x^2} + bx + c$, $a \ne 0$ biết:
a) $\left( P \right)$ đi qua $A(2;3)$ có đỉnh $I(1;2).$
b) $c=2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( 3;-4 \right)$ và có trục đối xứng là $x=-\frac{3}{2}$.
c) Hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{2}$ và nhận giá trị bằng $1$ khi $x=1$.
d) $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ và $P$ sao cho $\Delta INP$ có diện tích bằng $1$ biết hoành độ điểm $P$ nhỏ hơn $3$.
a) Ta có:
$A\in \left( P \right)$ nên $3=4a+2b+c.$
Parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $I(1;2)$ nên $-\frac{b}{2a}=1$ $\Leftrightarrow 2a+b=0.$
$I\in \left( P \right)$ suy ra $2=a+b+c.$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& 4a+2b+c=3 \\
& 2a+b=0 \\
& a+b+c=2 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& a=1 \\
& b=-2 \\
& c=3 \\
\end{align} \right.$
Vậy parabol $\left( P \right)$ cần tìm là $y={{x}^{2}}-2x+3.$
b) Ta có $c = 2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( {3; – 4} \right)$ nên $ – 4 = 9a + 3b + 2$ $ \Leftrightarrow 3a + b = – 2.$
$\left( P \right)$ có trục đối xứng là $x = – \frac{3}{2}$ nên $ – \frac{b}{{2a}} = – \frac{3}{2}$ $ \Leftrightarrow b = 3a.$
Từ đó suy ra: $a = – \frac{1}{3}$ và $b = – 1.$
Vậy parabol $\left( P \right)$ cần tìm là $y = – \frac{1}{3}{x^2} – x + 2.$
c) Hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{2}$ nên ta có: $-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow a+b=0$, $\frac{3}{4}=a{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+b\left( \frac{1}{2} \right)+c$ $\Leftrightarrow a+2b+4c=3$ và $a>0.$
Hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ nhận giá trị bằng $1$ khi $x=1$ nên $a+b+c=1.$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& a+b=0 \\
& a+2b+4c=3 \\
& a+b+c=1 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& a=1 \\
& b=-1 \\
& c=1 \\
\end{align} \right.$
Vậy parabol $\left( P \right)$ cần tìm là $y={{x}^{2}}-x+1.$
d) Vì $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ nên $3=16a+4b+c$ $(1).$
Mặt khác $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ suy ra $0=9a+3b+c$ $(2)$, $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $P$ nên $P\left( t;0 \right)$, $t<3.$
Theo định lý Viét ta có $\left\{ \begin{matrix}
t+3=-\frac{b}{a} \\
3t=\frac{c}{a} \\
\end{matrix} \right.$
Ta có ${{S}_{\Delta IBC}}=\frac{1}{2}IH.NP$ với $H$ là hình chiếu của $I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$ lên trục hoành.
Do $IH=\left| -\frac{\Delta }{4a} \right|$, $NP=3-t$ nên ${{S}_{\Delta INP}}=1$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| -\frac{\Delta }{4a} \right|.\left( 3-t \right)=1$ $\Leftrightarrow \left( 3-t \right)\left| {{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\frac{c}{a} \right|=\left| \frac{2}{a} \right|$ $\Leftrightarrow \left( 3-t \right)\left| {{\frac{\left( t+3 \right)}{4}}^{2}}-3t \right|=\left| \frac{2}{a} \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( 3-t \right)}^{3}}=\frac{8}{\left| a \right|}$ $(3).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $7a+b=3$ $\Leftrightarrow b=3-7a$ suy ra $t+3=-\frac{3-7a}{a}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{a}=\frac{4-t}{3}.$
Thay vào $(3)$ ta có ${{\left( 3-t \right)}^{3}}=\frac{8\left( 4-t \right)}{3}$ $\Leftrightarrow 3{{t}^{3}}-27{{t}^{2}}+73t-49=0$ $\Leftrightarrow t=1.$
Suy ra $a=1$ $\Rightarrow b=-4$ $\Rightarrow c=3.$
Vậy parabol $\left( P \right)$ cần tìm là $y={{x}^{2}}-4x+3.$
+ Gọi hàm số cần tìm là $y = a{x^2} + bx + c$, $a \ne 0.$
+ Dựa theo giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ba ẩn $a,b,c.$
+ Giải hệ phương trình trên để tìm $a,b,c$, từ đó suy ra hàm số cần tìm.
Ví dụ 1. Xác định parabol $\left( P \right):$ $y = a{x^2} + bx + c$, $a \ne 0$ biết:
a) $\left( P \right)$ đi qua $A(2;3)$ có đỉnh $I(1;2).$
b) $c=2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( 3;-4 \right)$ và có trục đối xứng là $x=-\frac{3}{2}$.
c) Hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{2}$ và nhận giá trị bằng $1$ khi $x=1$.
d) $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ và $P$ sao cho $\Delta INP$ có diện tích bằng $1$ biết hoành độ điểm $P$ nhỏ hơn $3$.
a) Ta có:
$A\in \left( P \right)$ nên $3=4a+2b+c.$
Parabol $\left( P \right)$ có đỉnh $I(1;2)$ nên $-\frac{b}{2a}=1$ $\Leftrightarrow 2a+b=0.$
$I\in \left( P \right)$ suy ra $2=a+b+c.$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& 4a+2b+c=3 \\
& 2a+b=0 \\
& a+b+c=2 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& a=1 \\
& b=-2 \\
& c=3 \\
\end{align} \right.$
Vậy parabol $\left( P \right)$ cần tìm là $y={{x}^{2}}-2x+3.$
b) Ta có $c = 2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( {3; – 4} \right)$ nên $ – 4 = 9a + 3b + 2$ $ \Leftrightarrow 3a + b = – 2.$
$\left( P \right)$ có trục đối xứng là $x = – \frac{3}{2}$ nên $ – \frac{b}{{2a}} = – \frac{3}{2}$ $ \Leftrightarrow b = 3a.$
Từ đó suy ra: $a = – \frac{1}{3}$ và $b = – 1.$
Vậy parabol $\left( P \right)$ cần tìm là $y = – \frac{1}{3}{x^2} – x + 2.$
c) Hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$ khi $x=\frac{1}{2}$ nên ta có: $-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow a+b=0$, $\frac{3}{4}=a{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+b\left( \frac{1}{2} \right)+c$ $\Leftrightarrow a+2b+4c=3$ và $a>0.$
Hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ nhận giá trị bằng $1$ khi $x=1$ nên $a+b+c=1.$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& a+b=0 \\
& a+2b+4c=3 \\
& a+b+c=1 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& a=1 \\
& b=-1 \\
& c=1 \\
\end{align} \right.$
Vậy parabol $\left( P \right)$ cần tìm là $y={{x}^{2}}-x+1.$
d) Vì $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ nên $3=16a+4b+c$ $(1).$
Mặt khác $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ suy ra $0=9a+3b+c$ $(2)$, $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $P$ nên $P\left( t;0 \right)$, $t<3.$
Theo định lý Viét ta có $\left\{ \begin{matrix}
t+3=-\frac{b}{a} \\
3t=\frac{c}{a} \\
\end{matrix} \right.$
Ta có ${{S}_{\Delta IBC}}=\frac{1}{2}IH.NP$ với $H$ là hình chiếu của $I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$ lên trục hoành.
Do $IH=\left| -\frac{\Delta }{4a} \right|$, $NP=3-t$ nên ${{S}_{\Delta INP}}=1$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| -\frac{\Delta }{4a} \right|.\left( 3-t \right)=1$ $\Leftrightarrow \left( 3-t \right)\left| {{\left( \frac{b}{2a} \right)}^{2}}-\frac{c}{a} \right|=\left| \frac{2}{a} \right|$ $\Leftrightarrow \left( 3-t \right)\left| {{\frac{\left( t+3 \right)}{4}}^{2}}-3t \right|=\left| \frac{2}{a} \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( 3-t \right)}^{3}}=\frac{8}{\left| a \right|}$ $(3).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $7a+b=3$ $\Leftrightarrow b=3-7a$ suy ra $t+3=-\frac{3-7a}{a}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{a}=\frac{4-t}{3}.$
Thay vào $(3)$ ta có ${{\left( 3-t \right)}^{3}}=\frac{8\left( 4-t \right)}{3}$ $\Leftrightarrow 3{{t}^{3}}-27{{t}^{2}}+73t-49=0$ $\Leftrightarrow t=1.$
Suy ra $a=1$ $\Rightarrow b=-4$ $\Rightarrow c=3.$
Vậy parabol $\left( P \right)$ cần tìm là $y={{x}^{2}}-4x+3.$
