Ví dụ 4. Vẽ đồ thị của hàm số sau:
a) $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 2\:khi\:x \ge 2}\\
{ – {x^2} + 2x\:khi\:x < 2}
\end{array}} \right.$
b) $y = \left| {{x^2} – x – 2} \right|.$
a) Đồ thị hàm số $y=\left\{ \begin{matrix}
x-2\:khi\:x\ge 2 \\
-{{x}^{2}}+2x\:khi\:x<2 \\
\end{matrix} \right.$ gồm:
+ Đường thẳng $y=x-2$ đi qua $\text{A}\left( 2;0 \right)$, $B\left( 0;-2 \right)$ và lấy phần nằm bên phải của đường thẳng $x=2.$
+ Parabol $y=-{{x}^{2}}+2x$ có đỉnh $I\left( 1;2 \right)$, trục đối xứng $x=1$, đi qua các điểm $O\left( 0;0 \right)$, $C\left( 2;0 \right)$ và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng $x=2.$
b) Vẽ parabol $\left( P \right)$ của đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-x-2$ có đỉnh $I\left( \frac{1}{2};-\frac{5}{4} \right)$, trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$, đi qua các điểm $A\left( -1;0 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$, $C\left( 0;-2 \right)$, $D\left( 1;-2 \right)$.
Khi đó đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{2}}-x-2 \right|$ gồm phần parabol $\left( P \right)$ nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của $\left( P \right)$ nằm dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ 5. Vẽ đồ thị của hàm số sau:
a) $y = {x^2} – 3\left| x \right| + 2.$
b) $y = \left| {{x^2} – 3\left| x \right| + 2} \right|.$
c) $y = {x^2} – 3\left| x \right| + 3.$
d) $y = \left| {{x^2} – 4x – 3\left| {x – 2} \right| + 6} \right| – 1.$
a) Vẽ đồ thị hàm số $\left( P \right):y={{x}^{2}}-3x+2$ có đỉnh $I\left( \frac{3}{2};-\frac{1}{4} \right)$, trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$, đi qua các điểm $A\left( 1;0 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$, $C\left( 0;2 \right)$, $D\left( 3;2 \right)$ và có phần bề lõm hướng lên trên.
Khi đó đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-3\left| x \right|+2$ là $\left( {{P}_{1}} \right)$ gồm phần bên phải trục tung của $\left( P \right)$ và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung.
b) Đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{2}}-3\left| x \right|+2 \right|$ là $\left( {{P}_{2}} \right)$ gồm phần phía trên trục hoành của $\left( {{P}_{1}} \right)$ và phần đối xứng của $\left( {{P}_{1}} \right)$ nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.
c) Đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-3\left| x \right|+3$ là $\left( {{P}_{3}} \right)$ có được từ việc tịnh tiến $\left( {{P}_{1}} \right)$ đi một đơn vị lên phía trên song song với trục tung.
d) Ta có: $y = \left| {{x^2} – 4x – 3\left| {x – 2} \right| + 6} \right| – 1$ $ = \left| {{{\left( {x – 2} \right)}^2} – 3\left| {x – 2} \right| + 2} \right| – 1.$
Do đó tịnh tiến $\left( {{P}_{2}} \right)$ sang phải đi hai đơn vị song song với trục hoành ta được đồ thị hàm số $y=\left| {{\left( x-2 \right)}^{2}}-3\left| x-2 \right|+2 \right|$, tiếp tục tịnh tiến xuống dưới một đơn vị song song với trục tung ta được đồ thị hàm số $y=\left| {{\left( x-2 \right)}^{2}}-3\left| x-2 \right|+2 \right|-1.$
a) $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 2\:khi\:x \ge 2}\\
{ – {x^2} + 2x\:khi\:x < 2}
\end{array}} \right.$
b) $y = \left| {{x^2} – x – 2} \right|.$
a) Đồ thị hàm số $y=\left\{ \begin{matrix}
x-2\:khi\:x\ge 2 \\
-{{x}^{2}}+2x\:khi\:x<2 \\
\end{matrix} \right.$ gồm:
+ Đường thẳng $y=x-2$ đi qua $\text{A}\left( 2;0 \right)$, $B\left( 0;-2 \right)$ và lấy phần nằm bên phải của đường thẳng $x=2.$
+ Parabol $y=-{{x}^{2}}+2x$ có đỉnh $I\left( 1;2 \right)$, trục đối xứng $x=1$, đi qua các điểm $O\left( 0;0 \right)$, $C\left( 2;0 \right)$ và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng $x=2.$
b) Vẽ parabol $\left( P \right)$ của đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-x-2$ có đỉnh $I\left( \frac{1}{2};-\frac{5}{4} \right)$, trục đối xứng $x=\frac{1}{2}$, đi qua các điểm $A\left( -1;0 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$, $C\left( 0;-2 \right)$, $D\left( 1;-2 \right)$.
Khi đó đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{2}}-x-2 \right|$ gồm phần parabol $\left( P \right)$ nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của $\left( P \right)$ nằm dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ 5. Vẽ đồ thị của hàm số sau:
a) $y = {x^2} – 3\left| x \right| + 2.$
b) $y = \left| {{x^2} – 3\left| x \right| + 2} \right|.$
c) $y = {x^2} – 3\left| x \right| + 3.$
d) $y = \left| {{x^2} – 4x – 3\left| {x – 2} \right| + 6} \right| – 1.$
a) Vẽ đồ thị hàm số $\left( P \right):y={{x}^{2}}-3x+2$ có đỉnh $I\left( \frac{3}{2};-\frac{1}{4} \right)$, trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$, đi qua các điểm $A\left( 1;0 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$, $C\left( 0;2 \right)$, $D\left( 3;2 \right)$ và có phần bề lõm hướng lên trên.
Khi đó đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-3\left| x \right|+2$ là $\left( {{P}_{1}} \right)$ gồm phần bên phải trục tung của $\left( P \right)$ và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung.
b) Đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{2}}-3\left| x \right|+2 \right|$ là $\left( {{P}_{2}} \right)$ gồm phần phía trên trục hoành của $\left( {{P}_{1}} \right)$ và phần đối xứng của $\left( {{P}_{1}} \right)$ nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.
c) Đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-3\left| x \right|+3$ là $\left( {{P}_{3}} \right)$ có được từ việc tịnh tiến $\left( {{P}_{1}} \right)$ đi một đơn vị lên phía trên song song với trục tung.
d) Ta có: $y = \left| {{x^2} – 4x – 3\left| {x – 2} \right| + 6} \right| – 1$ $ = \left| {{{\left( {x – 2} \right)}^2} – 3\left| {x – 2} \right| + 2} \right| – 1.$
Do đó tịnh tiến $\left( {{P}_{2}} \right)$ sang phải đi hai đơn vị song song với trục hoành ta được đồ thị hàm số $y=\left| {{\left( x-2 \right)}^{2}}-3\left| x-2 \right|+2 \right|$, tiếp tục tịnh tiến xuống dưới một đơn vị song song với trục tung ta được đồ thị hàm số $y=\left| {{\left( x-2 \right)}^{2}}-3\left| x-2 \right|+2 \right|-1.$
