Phương pháp giải toán: Vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\left| ax+b \right|$ ta làm như sau:
+ Cách 1: Vẽ $\left( {{C}_{1}} \right)$ là đường thẳng $y=ax+b$ với phần đồ thị sao cho hoành độ $x$ thỏa mãn $ax+b≥0.$ Vẽ $\left( {{C}_{2}} \right)$ là đường thẳng $y=-ax-b$ lấy phần đồ thị sao cho $ax+b<0$. Khi đó $\left( C \right)$ là hợp của hai đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$.
+ Cách 2: Vẽ đường thẳng $y=ax+b$ và $y=-ax-b$ rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành, phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là $\left( C \right)$.
Chú ý:
Biết trước đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ khi đó đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right):y=f\left( \left| x \right| \right)$ là gồm phần:
+ Giữ nguyên đồ thị $\left( C \right)$ ở bên phải trục tung.
+ Lấy đối xứng đồ thị $\left( C \right)$ ở bên trái trục tung qua trục tung.
Biết trước đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ khi đó đồ thị $\left( {{C}_{2}} \right):y=\left| f\left( x \right) \right|$ là gồm phần:
+ Giữ nguyên đồ thị $\left( C \right)$ ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng đồ thị $\left( C \right)$ ở dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ 7. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \left\{ \begin{array}{l}
2x\: khi\:x \ge 0\\
– x\: khi\:x < 0
\end{array} \right.$
b) $y = \left| { – 3x + 3} \right|.$
a) Với $x\ge 0$ đồ thị hàm số $y=2x$ là phần đường thẳng đi qua hai điểm $O\left( 0;0 \right)$, $A\left( 1;2 \right)$ nằm bên phải của đường thẳng $x=0$.
Với $x<0$ đồ thị hàm số $y=-x$ là phần đường thẳng đi qua hai điểm $B\left( -1;1 \right)$, $C\left( -2;2 \right)$ nằm bên trái của đường thẳng $x=0$.
b) Vẽ hai đường thẳng $y=-3x+3$ và $y=3x-3$ và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành.
Ví dụ 8. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \left| x \right| – 2.$
b) $y = \left| {\left| x \right| – 2} \right|.$
a)
Cách 1: Ta có $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 2\:khi\:x \ge 0}\\
{ – x – 2\:khi\:x < 0}
\end{array}} \right.$
Vẽ đường thẳng $y=x-2$ đi qua hai điểm $\text{A}\left( 0;-2 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$ và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung.
Vẽ đường thẳng $y=-x-2$ đi qua hai điểm $A\left( 0;-2 \right)$, $C\left( -2;0 \right)$ và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.
Cách 2: Đường thẳng $d:y=x-2$ đi qua $\text{A}\left( 0;-2 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$. Khi đó đồ thị của hàm số $y=\left| x \right|-2$ là phần đường thẳng $d$ nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.
b) Đồ thị $y=\left| \left| x \right|-2 \right|$ là gồm phần:
+ Giữ nguyên đồ thị hàm số $y=\left| x \right|-2$ ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số $y=\left| x \right|-2$ ở phía dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
Ví dụ 9. Cho đồ thị $(C):$ $y = 3\left| {x – 2} \right| – \left| {2x – 6} \right|.$
a) Vẽ đồ thị $(C).$
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với $x \in \left[ { – 3;4} \right].$
a) Ta có $y = \left\{ \begin{array}{l}
x\:khi\:x \ge 3\\
5x – 12\:khi\:2 < x < 3\\
– x\:khi\:x \le 2
\end{array} \right.$
Vẽ đường thẳng $y=x$ đi qua hai điểm $O\left( 0;0 \right)$, $A\left( 1;1 \right)$ và lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng $x=3.$
Vẽ đường thẳng $y=5x-12$ đi qua hai điểm $B\left( 3;3 \right)$, $C\left( 2;-2 \right)$ và lấy phần đường thẳng nằm giữa của hai đường thẳng $x=2$, $x=3$.
Vẽ đường thẳng $y=-x$ đi qua hai điểm $O\left( 0;0 \right)$, $D\left( -1;-1 \right)$ và lấy phần đường thẳng bên trái của đường thẳng $x=2.$
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
$\underset{\left[ -3;4 \right]}{\mathop{\text{max}}}y=4$ khi và chỉ khi $x=4.$
$\underset{\left[ -3;4 \right]}{\mathop{\min y}}=-2$ khi và chỉ khi $x=2.$
+ Cách 1: Vẽ $\left( {{C}_{1}} \right)$ là đường thẳng $y=ax+b$ với phần đồ thị sao cho hoành độ $x$ thỏa mãn $ax+b≥0.$ Vẽ $\left( {{C}_{2}} \right)$ là đường thẳng $y=-ax-b$ lấy phần đồ thị sao cho $ax+b<0$. Khi đó $\left( C \right)$ là hợp của hai đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$.
+ Cách 2: Vẽ đường thẳng $y=ax+b$ và $y=-ax-b$ rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành, phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là $\left( C \right)$.
Chú ý:
Biết trước đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ khi đó đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right):y=f\left( \left| x \right| \right)$ là gồm phần:
+ Giữ nguyên đồ thị $\left( C \right)$ ở bên phải trục tung.
+ Lấy đối xứng đồ thị $\left( C \right)$ ở bên trái trục tung qua trục tung.
Biết trước đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ khi đó đồ thị $\left( {{C}_{2}} \right):y=\left| f\left( x \right) \right|$ là gồm phần:
+ Giữ nguyên đồ thị $\left( C \right)$ ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng đồ thị $\left( C \right)$ ở dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ 7. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \left\{ \begin{array}{l}
2x\: khi\:x \ge 0\\
– x\: khi\:x < 0
\end{array} \right.$
b) $y = \left| { – 3x + 3} \right|.$
a) Với $x\ge 0$ đồ thị hàm số $y=2x$ là phần đường thẳng đi qua hai điểm $O\left( 0;0 \right)$, $A\left( 1;2 \right)$ nằm bên phải của đường thẳng $x=0$.
Với $x<0$ đồ thị hàm số $y=-x$ là phần đường thẳng đi qua hai điểm $B\left( -1;1 \right)$, $C\left( -2;2 \right)$ nằm bên trái của đường thẳng $x=0$.
b) Vẽ hai đường thẳng $y=-3x+3$ và $y=3x-3$ và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành.
Ví dụ 8. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \left| x \right| – 2.$
b) $y = \left| {\left| x \right| – 2} \right|.$
a)
Cách 1: Ta có $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – 2\:khi\:x \ge 0}\\
{ – x – 2\:khi\:x < 0}
\end{array}} \right.$
Vẽ đường thẳng $y=x-2$ đi qua hai điểm $\text{A}\left( 0;-2 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$ và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung.
Vẽ đường thẳng $y=-x-2$ đi qua hai điểm $A\left( 0;-2 \right)$, $C\left( -2;0 \right)$ và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.
Cách 2: Đường thẳng $d:y=x-2$ đi qua $\text{A}\left( 0;-2 \right)$, $B\left( 2;0 \right)$. Khi đó đồ thị của hàm số $y=\left| x \right|-2$ là phần đường thẳng $d$ nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.
b) Đồ thị $y=\left| \left| x \right|-2 \right|$ là gồm phần:
+ Giữ nguyên đồ thị hàm số $y=\left| x \right|-2$ ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số $y=\left| x \right|-2$ ở phía dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
Ví dụ 9. Cho đồ thị $(C):$ $y = 3\left| {x – 2} \right| – \left| {2x – 6} \right|.$
a) Vẽ đồ thị $(C).$
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với $x \in \left[ { – 3;4} \right].$
a) Ta có $y = \left\{ \begin{array}{l}
x\:khi\:x \ge 3\\
5x – 12\:khi\:2 < x < 3\\
– x\:khi\:x \le 2
\end{array} \right.$
Vẽ đường thẳng $y=x$ đi qua hai điểm $O\left( 0;0 \right)$, $A\left( 1;1 \right)$ và lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng $x=3.$
Vẽ đường thẳng $y=5x-12$ đi qua hai điểm $B\left( 3;3 \right)$, $C\left( 2;-2 \right)$ và lấy phần đường thẳng nằm giữa của hai đường thẳng $x=2$, $x=3$.
Vẽ đường thẳng $y=-x$ đi qua hai điểm $O\left( 0;0 \right)$, $D\left( -1;-1 \right)$ và lấy phần đường thẳng bên trái của đường thẳng $x=2.$
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
$\underset{\left[ -3;4 \right]}{\mathop{\text{max}}}y=4$ khi và chỉ khi $x=4.$
$\underset{\left[ -3;4 \right]}{\mathop{\min y}}=-2$ khi và chỉ khi $x=2.$
