Dạng I. Đưa về dạng cơ bản
${\log _a}M = {\log _a}N \Leftrightarrow M = N$${\log _a}M = {\log _a}N \Leftrightarrow M = N$
và ${\log _a}f(x) = b \Rightarrow f(x) = {a^b}$
Ví dụ 1: Giải phương trình sau : ${\log _2}x + {\log _2}(x + 3) = {\log _2}4$
Giải${\log _2}x + {\log _2}(x + 3) = {\log _2}4$ (1)
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0$
Do đó phương trình $(1) \Leftrightarrow {\log _2}x(x + 3) = {\log _2}4 \Leftrightarrow x(x + 3) = 4$
$\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4{\rm{ (loai)}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : ${\log _2}x + {\log _2}{x^2} = {\log _2}9x$
Giải${\log _2}x + {\log _2}{x^2} = {\log _2}9x$ (1)
Điều kiện: x > 0
Phương trình $(1) \Leftrightarrow {\log _2}x + 2{\log _2}x = {\log _2}9 + {\log _2}x \Leftrightarrow 2{\log _2}x = {\log _2}9$
$ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{1}{2}{\log _2}9 \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}3 \Leftrightarrow x = 3$
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
Dạng 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : $\log _2^2x + 2{\log _2}\sqrt x - 2 = 0$
Giải$\log _2^2x + 2{\log _2}\sqrt x - 2 = 0$ (1)
Điều kiện: x > 0
Phương trình ${\rm{(1)}} \Leftrightarrow \log _2^2x + {\log _2}x - 2 = 0$
Đặt $t = {\log _2}x$
Lúc đó: $\log _2^2x + {\log _2}x - 2 = 0 \Leftrightarrow {{\rm{t}}^{\rm{2}}} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\t = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\x = \frac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 và x = 1/4
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : $1 + {\log _2}(x - 1) = {\log _{x - 1}}4$
Giải$1 + {\log _2}(x - 1) = {\log _{x - 1}}4$ (1)
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.{\rm{ (*)}}$
Phương trình $(1) \Leftrightarrow 1 + {\log _2}(x - 1) = \frac{{{{\log }_2}4}}{{{{\log }_2}(x - 1)}} \Leftrightarrow 1 + {\log _2}(x - 1) = \frac{2}{{{{\log }_2}(x - 1)}}$
$ \Leftrightarrow {\left[ {{{\log }_2}(x - 1)} \right]^2} + {\log _2}(x - 1) - 2 = 0$ (2)
Đặt $t = {\log _2}(x - 1)$
Lúc đó: phương trình (2) $ \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}(x - 1) = 1\\{\log _2}(x - 1) = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\x - 1 = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{5}{4}\end{array} \right.$ thỏa (*)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3, x = 5/4
Dạng 3: Mũ hóa hai vế:
Ví dụ: $\log _3^{}({3^x} - 8) = 2 – x$
$\begin{array}{l}\log _3^{}({3^x} - 8) = 2 - x \Leftrightarrow {3^{\log _3^{}({3^x} - 8)}} = {3^{2 - x}} \Leftrightarrow {3^x} - 8 = {3^{2 - x}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - {8.3^x} - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = - 1(loai)\\{3^x} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow {3^x} = {3^2} \Leftrightarrow x = 2\end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Dạng 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x$_0$ (a;b) sao cho f(x$_0$) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x$_0$ (a;b) sao cho f(x$_0$) = g(x$_0$) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ: Giải các phương trình sau : ${\log _2}x + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) = 2$
Giải${\log _2}x + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) = 2$ (1)
Điều kiện: x > 0
Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình (*) vì ${\log _2}2 + {\log _5}\left( {2.2 + 1} \right) = 2$
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, hàm số $y = {\log _2}x,y = {\log _5}\left( {2x + 1} \right)$ đều có các cơ số lớn hơn 1 nên các hàm số đó đồng biến.
+ Với x > 2, ta có:
${\log _2}x > {\log _2}2 = 1$ (2)
${\log _5}\left( {2x + 1} \right) > {\log _5}\left( {2.2 + 1} \right) = 1$ (3)
Lấy (2) + (3): ${\log _2}x + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) > 2$
Suy ra, phương trình (1) vô nghiệm khi x > 2
+ Với 0 < x < 2, ta có:
${\log _2}x < {\log _2}2 = 1$ (4)
${\log _5}\left( {2x + 1} \right) < {\log _5}\left( {2.2 + 1} \right) = 1$ (5)
Lấy (4) + (5): ${\log _2}x + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) < 2$
Suy ra, phương trình (1) vô nghiệm khi 0 < x < 2
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
${\log _a}M = {\log _a}N \Leftrightarrow M = N$${\log _a}M = {\log _a}N \Leftrightarrow M = N$
và ${\log _a}f(x) = b \Rightarrow f(x) = {a^b}$
Ví dụ 1: Giải phương trình sau : ${\log _2}x + {\log _2}(x + 3) = {\log _2}4$
Giải
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0$
Do đó phương trình $(1) \Leftrightarrow {\log _2}x(x + 3) = {\log _2}4 \Leftrightarrow x(x + 3) = 4$
$\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4{\rm{ (loai)}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : ${\log _2}x + {\log _2}{x^2} = {\log _2}9x$
Giải
Điều kiện: x > 0
Phương trình $(1) \Leftrightarrow {\log _2}x + 2{\log _2}x = {\log _2}9 + {\log _2}x \Leftrightarrow 2{\log _2}x = {\log _2}9$
$ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{1}{2}{\log _2}9 \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}3 \Leftrightarrow x = 3$
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
Dạng 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : $\log _2^2x + 2{\log _2}\sqrt x - 2 = 0$
Giải
Điều kiện: x > 0
Phương trình ${\rm{(1)}} \Leftrightarrow \log _2^2x + {\log _2}x - 2 = 0$
Đặt $t = {\log _2}x$
Lúc đó: $\log _2^2x + {\log _2}x - 2 = 0 \Leftrightarrow {{\rm{t}}^{\rm{2}}} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\t = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\x = \frac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 và x = 1/4
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : $1 + {\log _2}(x - 1) = {\log _{x - 1}}4$
Giải
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.{\rm{ (*)}}$
Phương trình $(1) \Leftrightarrow 1 + {\log _2}(x - 1) = \frac{{{{\log }_2}4}}{{{{\log }_2}(x - 1)}} \Leftrightarrow 1 + {\log _2}(x - 1) = \frac{2}{{{{\log }_2}(x - 1)}}$
$ \Leftrightarrow {\left[ {{{\log }_2}(x - 1)} \right]^2} + {\log _2}(x - 1) - 2 = 0$ (2)
Đặt $t = {\log _2}(x - 1)$
Lúc đó: phương trình (2) $ \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}(x - 1) = 1\\{\log _2}(x - 1) = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\x - 1 = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{5}{4}\end{array} \right.$ thỏa (*)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3, x = 5/4
Dạng 3: Mũ hóa hai vế:
Ví dụ: $\log _3^{}({3^x} - 8) = 2 – x$
Giải
Điều kiện: ${3^x} - 8 > 0$$\begin{array}{l}\log _3^{}({3^x} - 8) = 2 - x \Leftrightarrow {3^{\log _3^{}({3^x} - 8)}} = {3^{2 - x}} \Leftrightarrow {3^x} - 8 = {3^{2 - x}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - {8.3^x} - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = - 1(loai)\\{3^x} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow {3^x} = {3^2} \Leftrightarrow x = 2\end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
Dạng 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x$_0$ (a;b) sao cho f(x$_0$) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x$_0$ (a;b) sao cho f(x$_0$) = g(x$_0$) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ: Giải các phương trình sau : ${\log _2}x + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) = 2$
Giải
Điều kiện: x > 0
Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình (*) vì ${\log _2}2 + {\log _5}\left( {2.2 + 1} \right) = 2$
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, hàm số $y = {\log _2}x,y = {\log _5}\left( {2x + 1} \right)$ đều có các cơ số lớn hơn 1 nên các hàm số đó đồng biến.
+ Với x > 2, ta có:
${\log _2}x > {\log _2}2 = 1$ (2)
${\log _5}\left( {2x + 1} \right) > {\log _5}\left( {2.2 + 1} \right) = 1$ (3)
Lấy (2) + (3): ${\log _2}x + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) > 2$
Suy ra, phương trình (1) vô nghiệm khi x > 2
+ Với 0 < x < 2, ta có:
${\log _2}x < {\log _2}2 = 1$ (4)
${\log _5}\left( {2x + 1} \right) < {\log _5}\left( {2.2 + 1} \right) = 1$ (5)
Lấy (4) + (5): ${\log _2}x + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) < 2$
Suy ra, phương trình (1) vô nghiệm khi 0 < x < 2
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
Chỉnh sửa cuối:
