• Bước 1: Đặt điều kiện $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $tan$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\tan x = \tan \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $(k \in Z).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $tan$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \tan \alpha $, ta được: $\tan x = \tan \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\
\tan \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arctan m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
2. $\tan x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .$
3. $\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi .$
Ví dụ 5: Giải phương trình $\tan x = \sqrt 3 .$
Do $\sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{6}$ nên ta có: $\tan x = \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{6}$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 6: Giải phương trình $\tan (\frac{\pi }{5} – x) = 2.$
Điều kiện: $\cos (\frac{\pi }{5} – x) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} – x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ $(k ∈ Z).$
Ta có: $\tan (\frac{\pi }{5} – x) = 2$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} – x = \arctan 2 + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{5} – \arctan 2 – k\pi $ $(k \in Z).$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $ x = \frac{\pi }{5} – \arctan 2 – k\pi $ $(k \in Z).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $tan$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\tan x = \tan \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $(k \in Z).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $tan$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \tan \alpha $, ta được: $\tan x = \tan \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\
\tan \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arctan m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
2. $\tan x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .$
3. $\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi .$
Ví dụ 5: Giải phương trình $\tan x = \sqrt 3 .$
Do $\sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{6}$ nên ta có: $\tan x = \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{6}$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 6: Giải phương trình $\tan (\frac{\pi }{5} – x) = 2.$
Điều kiện: $\cos (\frac{\pi }{5} – x) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} – x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $ $(k ∈ Z).$
Ta có: $\tan (\frac{\pi }{5} – x) = 2$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} – x = \arctan 2 + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{5} – \arctan 2 – k\pi $ $(k \in Z).$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $ x = \frac{\pi }{5} – \arctan 2 – k\pi $ $(k \in Z).$
