A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1) Mặt nón tròn xoay
+ Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0 < β < 90$^0$. Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).
+ Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.
2) Hình nón tròn xoay
+ Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
+ Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
+ Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.
3) Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có:
+ Diện tích xung quanh: Sxq = π.r.l
+ Diện tích đáy (hình tròn): Str = π.r$^2$
+ Diện tích toàn phần hình tròn: S = Str + Sxq
+ Thể tích khối nón: Vnón = $\frac{1}{3}$Str.h = $\frac{1}{3}$π.r2.h.
4) Tính chất:
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→Thiết diện là tam giác cân.
+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol.
B – BÀI TẬP
Câu 1: Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra:
A. Một hình trụ
B. Một hình nón
C. Một hình nón cụt
D. Hai hình nón
Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là :
A. $\pi {a^2}$
B. 2$\pi {a^2}$
C. $\frac{1}{2}\pi {a^2}$
D. $\frac{3}{4}\pi {a^2}$
Chọn đáp án C.
Câu 3: Một hình nón có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó:
A. $5\pi \sqrt {41} $
B. $25\pi \sqrt {41} $
C. $75\pi \sqrt {41} $
D. $125\pi \sqrt {41} $
Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = \pi r\ell = 125\pi \sqrt {41} \,c{m^2}$
Chọn đáp án D.
Câu 4: Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a, biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là:
A. ${a^3}\pi \sqrt 3 $
B. $\frac{{2\sqrt 3 \pi {a^3}}}{9}$
C. $\frac{{{a^3}\pi \sqrt 3 }}{{24}}$
D. $\frac{{3{a^3}\pi }}{8}$
Chọn đáp án C.
Câu 5: Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay xung quang trục AA’. Diện tích S là:
A. $\pi {b^2}$
B. $\pi {b^2}\sqrt 2 $
C. $\pi {b^2}\sqrt 3 $
D. $\pi {b^2}\sqrt 6 $
Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy $SC = a\sqrt 6 $. Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:
A. $\frac{{4\pi {a^3}}}{3}$
B. $\frac{{{a^3}\pi \sqrt 2 }}{6}$
C. $\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}$
D. $\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{6}$
Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có thể tích là:
$V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi A{C^2}.SA = \frac{1}{3}\pi .2{a^2}.2a = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}$.
Chọn đáp án A.
Câu 7: Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90$^0$. Cắt hình nón bằng mặt phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (P) và mặt đáy hình nón bằng 60$^0$. Khi đó diện tích thiết diện là :
A. $\frac{{\pi \sqrt 2 {a^2}}}{3}$
B. $\frac{{\pi \sqrt 3 }}{2}{a^2}$
C. $\frac{{2\pi }}{3}{a^2}$
D. $\frac{{3\pi }}{2}{a^2}$
Suy luận được OA=OS=$\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$; SI=$\frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$; OI=$\frac{{a\sqrt 6 }}{6}$; AI=$\frac{a}{{\sqrt 3 }}$; AB=$\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$;
${S_{td}} = \pi \frac{{\sqrt 2 {a^2}}}{3}$
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành ?
A. Một
B. Hai
C. Ba
D. Không có hình nón nào
Chọn đáp án B.
Câu 9: Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 900. Thể tích của khối nón xác định bởi hình nón trên:
A. $\frac{{\pi {h^3}}}{3}$
B. $\frac{{\sqrt 6 \pi {h^3}}}{3}$
C. $\frac{{2\pi {h^3}}}{3}$
D. $2\pi {h^3}$
Thể tích khối nón là : $V = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}h = \frac{{\pi {h^3}}}{3}$
Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và $\widehat {SAO} = {30^0};\,\widehat {SAB} = {60^0}.$ Tính diện tích xung quanh hình nón ?
A. $4\pi \sqrt 3 $
B. $\frac{{3\pi \sqrt 2 }}{4}$
C. $2\pi \sqrt 3 $
D. $3\pi \sqrt 2 $
Lại có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{AO = SA.\cos SAO = SA.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\
{AI = SA.\cos SAI = \frac{{SA}}{2}}
\end{array}} \right.$
Từ đó ta có $\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$. Mặt khác $\frac{{AI}}{{AO}} = \cos IAO \Rightarrow \sin IAO = \frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{2}{{OA}} \Rightarrow OA = \sqrt 6 $
Mà $SA = \frac{{OA}}{{\cos 30}} = \sqrt 6 .\frac{2}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 2 $
Diện tích xung quanh cần tính là: ${S_{xq}} = \pi .OA.SA = 4\pi \sqrt 3 $
Chọn đáp án A.
1) Mặt nón tròn xoay
+ Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.
2) Hình nón tròn xoay
+ Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
+ Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.
3) Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có:
+ Diện tích xung quanh: Sxq = π.r.l
+ Diện tích đáy (hình tròn): Str = π.r$^2$
+ Diện tích toàn phần hình tròn: S = Str + Sxq
+ Thể tích khối nón: Vnón = $\frac{1}{3}$Str.h = $\frac{1}{3}$π.r2.h.
4) Tính chất:
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→Thiết diện là tam giác cân.
+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol.
B – BÀI TẬP
Câu 1: Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra:
B. Một hình nón
C. Một hình nón cụt
D. Hai hình nón
Giải
Gọi O là giao điểm của BC và AD. Khi quay hình ABCD quanh BC tức là tam giác vuông OBA quanh OB và tam giác vuông OCD quanh OC. Mỗi hình quay sẽ tạo ra một hình nón nên hình tạo ra sẽ tạo ra 2 hình nón.Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là :
A. $\pi {a^2}$
B. 2$\pi {a^2}$
C. $\frac{1}{2}\pi {a^2}$
D. $\frac{3}{4}\pi {a^2}$
Giải
$r = \frac{a}{2};l = a;{S_{xq}} = \pi rl = \frac{{\pi {a^2}}}{2}$Chọn đáp án C.
Câu 3: Một hình nón có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó:
A. $5\pi \sqrt {41} $
B. $25\pi \sqrt {41} $
C. $75\pi \sqrt {41} $
D. $125\pi \sqrt {41} $
Giải
Đường sinh của hình nón $\ell = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = 5\sqrt {41} \,cm$Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = \pi r\ell = 125\pi \sqrt {41} \,c{m^2}$
Chọn đáp án D.
Câu 4: Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a, biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là:
B. $\frac{{2\sqrt 3 \pi {a^3}}}{9}$
C. $\frac{{{a^3}\pi \sqrt 3 }}{{24}}$
D. $\frac{{3{a^3}\pi }}{8}$
Giải
Bán kính đáy khối nón là $\frac{a}{2}$, chiều cao khối nón là $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$, suy ra $V = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$,Chọn đáp án C.
Câu 5: Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay xung quang trục AA’. Diện tích S là:
A. $\pi {b^2}$
B. $\pi {b^2}\sqrt 2 $
C. $\pi {b^2}\sqrt 3 $
D. $\pi {b^2}\sqrt 6 $
Giải
S = πrℓ với r = b$\sqrt 2 $; ℓ = b$\sqrt 3 $ vậy S = πb$^2$$\sqrt 6 $Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy $SC = a\sqrt 6 $. Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:
B. $\frac{{{a^3}\pi \sqrt 2 }}{6}$
C. $\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}$
D. $\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{6}$
Giải
Ta có ngay $AC = a\sqrt 2 \Rightarrow SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {6{a^2} - 2{a^2}} = 2a$Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có thể tích là:
$V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi A{C^2}.SA = \frac{1}{3}\pi .2{a^2}.2a = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}$.
Chọn đáp án A.
Câu 7: Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90$^0$. Cắt hình nón bằng mặt phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (P) và mặt đáy hình nón bằng 60$^0$. Khi đó diện tích thiết diện là :
A. $\frac{{\pi \sqrt 2 {a^2}}}{3}$
B. $\frac{{\pi \sqrt 3 }}{2}{a^2}$
C. $\frac{{2\pi }}{3}{a^2}$
D. $\frac{{3\pi }}{2}{a^2}$
Giải
Gọi S là đỉnh hình nón,O là tâm đường tròn đáy; I là trung điểm AB , Góc tạo bởi mp thiết diện và đáy là góc SIO.Suy luận được OA=OS=$\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$; SI=$\frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$; OI=$\frac{{a\sqrt 6 }}{6}$; AI=$\frac{a}{{\sqrt 3 }}$; AB=$\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$;
${S_{td}} = \pi \frac{{\sqrt 2 {a^2}}}{3}$
Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành ?
A. Một
B. Hai
C. Ba
D. Không có hình nón nào
Giải
Khi quay ta được hình như bên cạnh, hình này được tạo thành từ hai hình nón.Chọn đáp án B.
Câu 9: Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 900. Thể tích của khối nón xác định bởi hình nón trên:
A. $\frac{{\pi {h^3}}}{3}$
B. $\frac{{\sqrt 6 \pi {h^3}}}{3}$
C. $\frac{{2\pi {h^3}}}{3}$
D. $2\pi {h^3}$
Giải
Do góc ở đỉnh của hình nón bằng 900 nên thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân. Suy ra bán kính đáy của hình nón là R = hThể tích khối nón là : $V = \frac{1}{3}\pi {{\rm{R}}^2}h = \frac{{\pi {h^3}}}{3}$
Chọn đáp án A.
Câu 10: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và $\widehat {SAO} = {30^0};\,\widehat {SAB} = {60^0}.$ Tính diện tích xung quanh hình nón ?
A. $4\pi \sqrt 3 $
B. $\frac{{3\pi \sqrt 2 }}{4}$
C. $2\pi \sqrt 3 $
D. $3\pi \sqrt 2 $
Giải
Gọi I là trung điểm của AB thì OI ⊥ AB; SI ⊥ AB; OI = 2Lại có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{AO = SA.\cos SAO = SA.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\
{AI = SA.\cos SAI = \frac{{SA}}{2}}
\end{array}} \right.$
Từ đó ta có $\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$. Mặt khác $\frac{{AI}}{{AO}} = \cos IAO \Rightarrow \sin IAO = \frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{2}{{OA}} \Rightarrow OA = \sqrt 6 $
Mà $SA = \frac{{OA}}{{\cos 30}} = \sqrt 6 .\frac{2}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 2 $
Diện tích xung quanh cần tính là: ${S_{xq}} = \pi .OA.SA = 4\pi \sqrt 3 $
Chọn đáp án A.
