1/ Mặt trụ tròn xoay
Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và ℓ song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng ℓ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
Đường thẳng Δ được gọi là trục.
Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh.
Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.
2/ Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
Đường thẳng AB được gọi là trục.
Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.
Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BCđược gọi là 2 đáy của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:
Diện tích xung quanh của hình trụ: ${S_{xq}}$ = 2πrh
Diện tích toàn phần của hình trụ: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}$
Thể tích khối trụ: V = Bh = πr$^2$h
4/ Tính chất:
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng $\frac{{2r}}{{\sin \varphi }}$, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0 < φ < 90$^0$.
Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.
+ Nếu k < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh → thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu k = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu k > r thì mp(α) không cắt mặt trụ.
5/ Một số thí dụ
Thí dụ 1. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai bán kính đáy OA và O’B’ lần lượt nằm trên hai đáy, sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng 30$^0$. Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục của khối trụ đó.
a/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ trên.
b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ
Giải
a/ Tính diện tích của thiết diện.
Từ một đáy của khối trụ, ta vẽ hai bán kính OA, OB sao cho $\widehat {AOB} = {30^0}$. Gọi A’, O’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, O, B trên mặt đáy còn lại. Ta có: OA và O’B’ tạo với nhau một góc 30$^0$. Thiết diện là hình chữ nhật ABB’A’ có:
$\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos {30^0} = 100\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\\
\Rightarrow AB = 10\sqrt {2 - \sqrt 3 } \left( {cm} \right)\end{array}$
.
Mặt khác, ta có:
$AA' = BB' = OO' = 20\left( {cm} \right) \Rightarrow {S_{ABB'A'}} = AB.BB' = 10\sqrt {2 - \sqrt 3 } .20 = 200\sqrt {2 - \sqrt 3 } \left( {c{m^2}} \right)$.
b/ Diện tích xung quanh của hình trụ.
${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .OA.OO' = 2\pi .10.20 = 400\pi \left( {c{m^2}} \right)$
Diện tích toàn phần hình trụ: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 400\pi + 2\pi {10^2} = 600\pi \left( {c{m^2}} \right)$.
Thể tích khối trụ: $V = B.h = \pi {r^2}h = \pi {.10^2}.20 = 2000\pi \left( {c{m^3}} \right)$.
Thí dụ 2. Một khối trụ có bán kính đáy bằng và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
b/ Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho.
c/ Gọi V là thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ và V’ là thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số V:V’.
a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ.
Vì thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông nên ℓ = h = 2r.
Do đó, diện tích xung quanh của khối trụ đó là: ${S_{xq}} = 2\pi rl = 4\pi {r^2}$.
b/ Tính thể tích của hình lăng trụ
Gọi ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ.
Ta có, hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn đáy.
Do đó, AB = r√2 và thể tích khối lăng trụ là:
$V = {S_{ABCD}}.AA' = {\left( {r\sqrt 2 } \right)^2}.2r = 4{r^3}\left( {dvtt} \right)$.
c/ Tìm tỉ số: $\frac{V}{{V'}} = \frac{{4{r^3}}}{{Bh}} = \frac{{4{r^3}}}{{\pi {r^2}.2r}} = \frac{2}{\pi }$.
Thí dụ 3. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45$^0$. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khối trụ.
* Đặt R = OA, h = OO’.
* Trong ΔIOM vuông cân tại I nên: $OM = OI = \frac{{\sqrt 2 }}{2}IM \Rightarrow \frac{h}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{2} \Leftrightarrow h = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a$
.
* Ta có:
$\begin{array}{l}
{R^2} = O{A^2} + A{M^2} + M{O^2}\\
= {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{8} = \frac{{3{a^2}}}{8}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
V = \pi {R^2}h = \pi \frac{{3{a^2}}}{8}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\\
{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$
.
Thí dụ 4. Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằng , khối trụ nào có thể tích lớn nhất ?
* Ta có: S = 2πR$^2$ + 2πRh. Ta cần tìm R và h để V = πR$^2$h có giá trị lớn nhất.
* Theo trên, ta có:
$\begin{array}{l}
S = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh \leftrightarrow \frac{S}{{2\pi }} = {R^2} + \frac{V}{{\pi R}} = {R^2} + \frac{V}{{2\pi R}} + \frac{V}{{2\pi R}}{\rm{ }}\mathop \ge \limits^{cô si} {\rm{ }}3.\sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\\
\Rightarrow 27\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}} \le {\left( {\frac{S}{{2\pi }}} \right)^3} \Leftrightarrow V \le \sqrt {\frac{{{S^3}}}{{54\pi }}}
\end{array}$
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${R^2} = \frac{V}{{2\pi R}} = \frac{{\pi {R^2}h}}{{2\pi R}} = \frac{{Rh}}{2}\,$ hay h = 2R.
Khi đó $S = 6\pi {R^2}{\rm{ }} \to {\rm{ }}R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} $.
* Vậy khối trụ có thể tích lớn nhất là khối trụ có $R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} $ và $h = 2.\sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} $.
Thí dụ 5. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (O,R) và (O’, R). Biết rằng tồn tại dây cung AB của đường tròn (O) sao cho ΔO’AB đều và mp(O’AB) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn (O) một góc 60$^0$. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
* Giả sử OH = x. Khi đó: 0 < x < R và $OO' = x\tan {60^0} = x\sqrt 3 $.
* Xét ΔOAH, ta có: $A{H^2} = {R^2} - {x^2}$.
* Vì ΔO’AB đều nên: $O'A = AB = 2AH = 2\sqrt {{R^2} - {x^2}} {\rm{ }}\left( 1 \right)$.
* Mặt khác, ΔAOO’ vuông tại O nên:
$AO{'^2} = OO{'^2} + {R^2} = 3{x^2} + {R^2}{\rm{ }}\left( 2 \right)$.
* Từ
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow 4\left( {{R^2} - {x^2}} \right) = 3{x^2} + {R^2} \Rightarrow {x^2} = \frac{{3{R^2}}}{7}\\
\Rightarrow h = OO' = x\sqrt 3 = \frac{{3R\sqrt 7 }}{7}
\end{array}$
.
* Vậy, nếu kí hiệu S là diện tích xung quanh và V là thể tích của hình trụ thì, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
S = 2\pi Rh = \frac{{6\pi {R^2}\sqrt 7 }}{7}\\
V = \pi {R^2}h = \frac{{3\pi {R^3}\sqrt 7 }}{7}
\end{array} \right.$
6/ Bài tập rèn luyện
Bài 1. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH, ta được một hình trụ tròn xoay.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
b/ Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói trên.
Bài 2. Một khối trụ có bán kính đáy bằng Rvà có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a/ Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.
b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ).
Bài 3. Một hình trụ có bán kính đáy là 20cm, chiều cao là 30 cm.
a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c/ Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc giữa đường thẳng ABvà trục của hình trụ bằng 60$^0$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
Bài 4 . Một khối trụ có bán kính đáy bằng 10 cm và chiều cao bằng $10\sqrt 3 \left( {cm} \right)$. Gọi A, B lần lượt là hai điểm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc được tạo thành giữa 2 đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 30$^0$.
a/ Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
b/ Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và qua B.
c/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.
Bài 5. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O vàO’, có bán kính r và có đường cao h = r√2. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a/ Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện này.
b/ Gọi mp(α) đi qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mp(α).
c/ Chứng minh rằng mp(α) tiếp xúc với mặt trụ trục OO’ có bán kính bằng $\frac{{r\sqrt 2 }}{2}$ dọc theo 1 đường sinh.
Bài 6. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 30 cm và có chiều cao h = 30cm.
a/ Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
b/ Một đoạn thẳng có chiều dài 60 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.
Bài 7. Hình chóp tam giác đều S.ABCD có SA = SB = SC = a và góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng β.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp.
b/ Các mặt bên SAB, SBC, SCD cắt hình trụ theo những giao tuyến như thế nào?
Bài 8. Một hình trụ có thiết diện qua trụ là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4π.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
b/ Một mp(α) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABA$_1$B$_1$. Biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung 120$^0$. Tính diện tích của thiết diện này.
Bài 9. Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF. A’B’C’D’E’F’ có cạnh đáy bằng a, chiều cao h.
a/ Tính diện tích xung quanh và thể thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
b/ Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ.
Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, cạnh bên bằng 2,5a và chiều cao hình lăng trụ là h.
a/ Chứng minh rằng có một hình trụ nội tiếp được trong hình lăng trụ đã cho.
b/ Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đó.
Bài 11. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a.Tính thể khối tứ diện OO’AB.
Bài 12. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45$^0$.Tính diện tích và thể tích của hình trụ đó.
Đường thẳng Δ được gọi là trục.
Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh.
Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.
2/ Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
Đường thẳng AB được gọi là trục.
Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.
Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BCđược gọi là 2 đáy của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:
Diện tích xung quanh của hình trụ: ${S_{xq}}$ = 2πrh
Diện tích toàn phần của hình trụ: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}$
Thể tích khối trụ: V = Bh = πr$^2$h
4/ Tính chất:
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng $\frac{{2r}}{{\sin \varphi }}$, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0 < φ < 90$^0$.
Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.
+ Nếu k < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh → thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu k = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu k > r thì mp(α) không cắt mặt trụ.
5/ Một số thí dụ
Thí dụ 1. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai bán kính đáy OA và O’B’ lần lượt nằm trên hai đáy, sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng 30$^0$. Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục của khối trụ đó.
a/ Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ trên.
b/ Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ
Giải
a/ Tính diện tích của thiết diện.
$\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos {30^0} = 100\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\\
\Rightarrow AB = 10\sqrt {2 - \sqrt 3 } \left( {cm} \right)\end{array}$
.
Mặt khác, ta có:
$AA' = BB' = OO' = 20\left( {cm} \right) \Rightarrow {S_{ABB'A'}} = AB.BB' = 10\sqrt {2 - \sqrt 3 } .20 = 200\sqrt {2 - \sqrt 3 } \left( {c{m^2}} \right)$.
b/ Diện tích xung quanh của hình trụ.
${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .OA.OO' = 2\pi .10.20 = 400\pi \left( {c{m^2}} \right)$
Diện tích toàn phần hình trụ: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 400\pi + 2\pi {10^2} = 600\pi \left( {c{m^2}} \right)$.
Thể tích khối trụ: $V = B.h = \pi {r^2}h = \pi {.10^2}.20 = 2000\pi \left( {c{m^3}} \right)$.
Thí dụ 2. Một khối trụ có bán kính đáy bằng và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
b/ Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho.
c/ Gọi V là thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ và V’ là thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số V:V’.
Giải
a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ.
Do đó, diện tích xung quanh của khối trụ đó là: ${S_{xq}} = 2\pi rl = 4\pi {r^2}$.
b/ Tính thể tích của hình lăng trụ
Gọi ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ.
Ta có, hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn đáy.
Do đó, AB = r√2 và thể tích khối lăng trụ là:
$V = {S_{ABCD}}.AA' = {\left( {r\sqrt 2 } \right)^2}.2r = 4{r^3}\left( {dvtt} \right)$.
c/ Tìm tỉ số: $\frac{V}{{V'}} = \frac{{4{r^3}}}{{Bh}} = \frac{{4{r^3}}}{{\pi {r^2}.2r}} = \frac{2}{\pi }$.
Thí dụ 3. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45$^0$. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khối trụ.
Giải
* Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó: OM$\bot$ DC và O’N$\bot$DC. Giả sử I là giao điểm của MN và OO’.* Đặt R = OA, h = OO’.
* Trong ΔIOM vuông cân tại I nên: $OM = OI = \frac{{\sqrt 2 }}{2}IM \Rightarrow \frac{h}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{2} \Leftrightarrow h = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a$
.
* Ta có:
$\begin{array}{l}
{R^2} = O{A^2} + A{M^2} + M{O^2}\\
= {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{8} = \frac{{3{a^2}}}{8}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
V = \pi {R^2}h = \pi \frac{{3{a^2}}}{8}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\\
{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi \frac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$
.
Thí dụ 4. Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằng , khối trụ nào có thể tích lớn nhất ?
giải
* Kí hiệu R là bán kính đáy,h là độ dài đường cao của khối trụ.
* Ta có: S = 2πR$^2$ + 2πRh. Ta cần tìm R và h để V = πR$^2$h có giá trị lớn nhất.
* Theo trên, ta có:
$\begin{array}{l}
S = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh \leftrightarrow \frac{S}{{2\pi }} = {R^2} + \frac{V}{{\pi R}} = {R^2} + \frac{V}{{2\pi R}} + \frac{V}{{2\pi R}}{\rm{ }}\mathop \ge \limits^{cô si} {\rm{ }}3.\sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\\
\Rightarrow 27\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}} \le {\left( {\frac{S}{{2\pi }}} \right)^3} \Leftrightarrow V \le \sqrt {\frac{{{S^3}}}{{54\pi }}}
\end{array}$
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${R^2} = \frac{V}{{2\pi R}} = \frac{{\pi {R^2}h}}{{2\pi R}} = \frac{{Rh}}{2}\,$ hay h = 2R.
Khi đó $S = 6\pi {R^2}{\rm{ }} \to {\rm{ }}R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} $.
* Vậy khối trụ có thể tích lớn nhất là khối trụ có $R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} $ và $h = 2.\sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} $.
Thí dụ 5. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (O,R) và (O’, R). Biết rằng tồn tại dây cung AB của đường tròn (O) sao cho ΔO’AB đều và mp(O’AB) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn (O) một góc 60$^0$. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
Giải
* Ta có: OO’ $\bot$ (OAB). Gọi H là trung điểm của AB thì OH $\bot$ AB, O’H $\bot$ AB → $\widehat {OHO'} = {60^0}$* Giả sử OH = x. Khi đó: 0 < x < R và $OO' = x\tan {60^0} = x\sqrt 3 $.
* Xét ΔOAH, ta có: $A{H^2} = {R^2} - {x^2}$.
* Vì ΔO’AB đều nên: $O'A = AB = 2AH = 2\sqrt {{R^2} - {x^2}} {\rm{ }}\left( 1 \right)$.
* Mặt khác, ΔAOO’ vuông tại O nên:
$AO{'^2} = OO{'^2} + {R^2} = 3{x^2} + {R^2}{\rm{ }}\left( 2 \right)$.
* Từ
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow 4\left( {{R^2} - {x^2}} \right) = 3{x^2} + {R^2} \Rightarrow {x^2} = \frac{{3{R^2}}}{7}\\
\Rightarrow h = OO' = x\sqrt 3 = \frac{{3R\sqrt 7 }}{7}
\end{array}$
.
* Vậy, nếu kí hiệu S là diện tích xung quanh và V là thể tích của hình trụ thì, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
S = 2\pi Rh = \frac{{6\pi {R^2}\sqrt 7 }}{7}\\
V = \pi {R^2}h = \frac{{3\pi {R^3}\sqrt 7 }}{7}
\end{array} \right.$
6/ Bài tập rèn luyện
Bài 1. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH, ta được một hình trụ tròn xoay.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
b/ Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói trên.
Bài 2. Một khối trụ có bán kính đáy bằng Rvà có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a/ Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.
b/ Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ).
Bài 3. Một hình trụ có bán kính đáy là 20cm, chiều cao là 30 cm.
a/ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c/ Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc giữa đường thẳng ABvà trục của hình trụ bằng 60$^0$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
Bài 4 . Một khối trụ có bán kính đáy bằng 10 cm và chiều cao bằng $10\sqrt 3 \left( {cm} \right)$. Gọi A, B lần lượt là hai điểm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc được tạo thành giữa 2 đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 30$^0$.
a/ Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
b/ Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và qua B.
c/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.
Bài 5. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O vàO’, có bán kính r và có đường cao h = r√2. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a/ Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện này.
b/ Gọi mp(α) đi qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mp(α).
c/ Chứng minh rằng mp(α) tiếp xúc với mặt trụ trục OO’ có bán kính bằng $\frac{{r\sqrt 2 }}{2}$ dọc theo 1 đường sinh.
Bài 6. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 30 cm và có chiều cao h = 30cm.
a/ Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
b/ Một đoạn thẳng có chiều dài 60 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.
Bài 7. Hình chóp tam giác đều S.ABCD có SA = SB = SC = a và góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng β.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp.
b/ Các mặt bên SAB, SBC, SCD cắt hình trụ theo những giao tuyến như thế nào?
Bài 8. Một hình trụ có thiết diện qua trụ là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4π.
a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
b/ Một mp(α) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABA$_1$B$_1$. Biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung 120$^0$. Tính diện tích của thiết diện này.
Bài 9. Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF. A’B’C’D’E’F’ có cạnh đáy bằng a, chiều cao h.
a/ Tính diện tích xung quanh và thể thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
b/ Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ.
Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, cạnh bên bằng 2,5a và chiều cao hình lăng trụ là h.
a/ Chứng minh rằng có một hình trụ nội tiếp được trong hình lăng trụ đã cho.
b/ Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đó.
Bài 11. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a.Tính thể khối tứ diện OO’AB.
Bài 12. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45$^0$.Tính diện tích và thể tích của hình trụ đó.
Last edited by a moderator:
