Dạng 1: Bất phương trình mũ cơ bản
a) ${a^{f(x)}} > b$
Vậy bất phương trình có nghiệm: $S = \left( { - \infty ;\frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}} \right]$
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: $\frac{{{3^{x - 1}} - 1}}{{{3^{x + 1}} + 1}} < 3{\rm{ }}$
Giải$\frac{{{3^{x - 1}} - 1}}{{{3^{x + 1}} + 1}} < 3{\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{{{3^x}}}{3} - 1 < 3.\left( {{{3.3}^x} + 1} \right) \Leftrightarrow {3^x} - 3 < {27.3^x} + 9 \Leftrightarrow {26.3^x} > - 12 \Leftrightarrow {3^x} > - \frac{6}{{13}},\forall x \in R$
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = ( - ∞; + ∞)
Dạng 2: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số
a)${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\,khi\,\,a > 1\\
f(x) < g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.$
b) ${a^{f(x)}} < {a^{g(x)}} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) < g(x)\,khi\,\,a > 1\\f(x) > g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Ví dụ 1:Giải bất phương trình: ${\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^{\frac{x}{2}}} > {9^{x - 2}}$
Giải${\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^{\frac{x}{2}}} > {9^{x - 2}} \Leftrightarrow {3^{\frac{x}{4}}} > {3^{2x - 4}} \Leftrightarrow \frac{x}{4} > 2x - 4 \Leftrightarrow x > 8x - 16 \Leftrightarrow x < \frac{{16}}{7}$
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = (- ∞; 16/7)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}$ (1)
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2$
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = [-1;2]
Dạng 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${5^x} + {5^{2 - x}} < 26{\rm{ }}$
Đặt $t = {5^x} > 0$
Ta có: $ \Leftrightarrow {t^2} - 26t + 25 < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 25 \Leftrightarrow 1 < {5^x} < 25 \Leftrightarrow {5^0} < {5^x} < {5^2} \Leftrightarrow 0 < x < 2$
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = (0;2)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0$
Giải${{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }} \Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {10.3^x} + 3 \le 0$ (1)
Đặt $t = {3^x} > 0$.
Ta có: (1) $ \Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1$
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = [-1;1]
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ${5.4^x} + {2.25^x} - {7.10^x} > 0{\rm{ (*)}}$
Đặt $t = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > 0$.
Ta có: (**)$ \Leftrightarrow 2{t^2} - 7t + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < t < 1\\
t > \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} < 1\\{\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 0\\x > 1\end{array} \right.$
Vậy bất phương trình có nghiệm: $S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
Bài Tập Tự Rèn Luyện
a) ${a^{f(x)}} > b$
- $b \le 0$ phương trình vô số nghiệm.
- b > 0 thì bất phương trình:
${a^{f(x)}} > b \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f(x) > {\log _a}b\,\,khi\,\,a > 0\\
f(x) < {\log _a}b\,\,khi\,0 < a < 1
\end{array} \right.$
- $b \le 0$ bất phương trình vô nghiệm.
- b > 0 thì bất phương trình:
${a^{f(x)}} < b \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f(x) < {\log _a}b\,\,khi\,\,a > 1\\
f(x) > {\log _a}b\,\,khi\,0 < a < 1
\end{array} \right.$
Giải
${3^{2x - 1}} \le 2 \Leftrightarrow 2x - 1 \le {\log _3}2 \Leftrightarrow x \le \frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}$Vậy bất phương trình có nghiệm: $S = \left( { - \infty ;\frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}} \right]$
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: $\frac{{{3^{x - 1}} - 1}}{{{3^{x + 1}} + 1}} < 3{\rm{ }}$
Giải
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = ( - ∞; + ∞)
Dạng 2: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số
a)${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\,khi\,\,a > 1\\
f(x) < g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.$
b) ${a^{f(x)}} < {a^{g(x)}} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) < g(x)\,khi\,\,a > 1\\f(x) > g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Ví dụ 1:Giải bất phương trình: ${\left( {\sqrt {\rm{3}} } \right)^{\frac{x}{2}}} > {9^{x - 2}}$
Giải
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = (- ∞; 16/7)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{ - {x^2} + 3}}$ (1)
Giải
Ta có: $\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right) = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{ - 1}}$Phương trình (1) $ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2$
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = [-1;2]
Dạng 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${5^x} + {5^{2 - x}} < 26{\rm{ }}$
Giải
${5^x} + {5^{2 - x}} < 26{\rm{ }} \Leftrightarrow {5^x} + \frac{{25}}{{{5^x}}} - 26 < 0 \Leftrightarrow {\left( {{5^x}} \right)^2} - {26.5^x} + 25 < 0$ (1)Đặt $t = {5^x} > 0$
Ta có: $ \Leftrightarrow {t^2} - 26t + 25 < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 25 \Leftrightarrow 1 < {5^x} < 25 \Leftrightarrow {5^0} < {5^x} < {5^2} \Leftrightarrow 0 < x < 2$
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = (0;2)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0$
Giải
Đặt $t = {3^x} > 0$.
Ta có: (1) $ \Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1$
Vậy bất phương trình có nghiệm: S = [-1;1]
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ${5.4^x} + {2.25^x} - {7.10^x} > 0{\rm{ (*)}}$
Giải
Chia (*) hai vế cho ${4^x} > 0$ ta được: $5 + 2.{\left[ {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^x}} \right]^2} - 7.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > 0$ (**)Đặt $t = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > 0$.
Ta có: (**)$ \Leftrightarrow 2{t^2} - 7t + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < t < 1\\
t > \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} < 1\\{\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} > \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < 0\\x > 1\end{array} \right.$
Vậy bất phương trình có nghiệm: $S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
Bài Tập Tự Rèn Luyện
- ${16^{x - 4}} \ge 8$
- ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x + 5}} < 9$
- ${9^x} \le {3^{\frac{6}{{x + 2}}}}$
- ${4^{{x^2} - x + 6}} > 1$
- ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{4{x^2} - 15x + 4}} < {2^{3x - 4}}$
- ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{4{x^2} - 15x + 13}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{4 - 3x}}$
- ${5^{{x^2} - 7x + 12}} \le 1$
- ${2^{x - 1}} > {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^x}$
- ${2^{x + 2}}{.5^{x + 2}} \le {2^{3x}}{.5^{3x}}$
- ${25^{x - 1}} \ge 125$
- ${2^{2x + 6}} + {2^{2x + 7}} > 17$
- ${\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{x - 1}} \ge {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - {x^2} + 3}}$
- ${5^{2x - 3}} - {2.5^{x - 2}} \le 3$
- ${4^{\frac{1}{x} - 1}} > {2^{\frac{1}{x} - 2}} + 3$
- ${5.4^x} + {2.25^x} \le {7.10^x}$
- ${16^{\frac{{x + 10}}{{x - 10}}}} \le 0,{125.8^{\frac{{x + 5}}{{x - 15}}}}$
- ${3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 \le 0$
- ${6.9^x} - {13.6^x} + {6.4^x} \ge 0$
- ${(\sqrt {2 - \sqrt 3 } )^x} + {(\sqrt {2 + \sqrt 3 } )^x} < 4$
- ${\log _2}\left( {x + 3} \right) > 1 + {\log _2}\left( {x - 1} \right)$
- ${2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} > 16\sqrt 2 $
- ${2.2^{2x}} - {9.14^x} + {7.7^{2x}} \ge 0$
- $2{\log _8}(x - 2) + {\log _{\frac{1}{8}}}(x - 3) \ge \frac{2}{3}$
Chỉnh sửa cuối:
