Dạng 1. Phương trình cơ bản:
a. ${\log _a}f(x) > b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > {a^b}\,khi\,a > 1\\f(x) < {a^b}\,\,khi\,\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Điều kiện f(x) > 0
b. ${\log _a}f(x) < b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) < {a^b}\,\,khi\,a > 1\\f(x) > {a^b}\,\,khi\,\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Điều kiện f(x) > 0
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${\log _2}(x - 2) > 3$
${\log _2}(x - 2) > 3 \Leftrightarrow x - 2 > {2^3} \Leftrightarrow x > 10$
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: $S = \left( {10; + \infty } \right)$
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${\log _{\frac{1}{2}}}({x^2} + 7x) > 3$
+ ${\log _{\frac{1}{2}}}({x^2} + 7x) > 3 \Leftrightarrow {x^2} + 7x < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} + 7x - \frac{1}{8} < 0$
$ \Leftrightarrow \frac{{ - 7 - \sqrt {\frac{{97}}{2}} }}{2} < x < \frac{{ - 7 + \sqrt {\frac{{97}}{2}} }}{2}$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là:….(Tự giải nhé!)
Dạng 2: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số
a. ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\,khi\,a > 0\\f(x) < g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Điều kiện f(x) > 0, g(x) >0
b. ${\log _a}f(x) < {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\,khi\,a > 0\\f(x) < g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Điều kiện f(x) > 0, g(x) >0
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${\log _2}(x + 5) + {\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) \ge 0$
+ ${\log _2}(x + 5) + {\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) \ge 0 \Leftrightarrow {\log _2}(x + 5) - {\log _2}(3 - x) \ge 0$
$ \Leftrightarrow {\log _2}(x + 5) \ge {\log _2}(3 - x) \Leftrightarrow x + 5 \ge 3 - x \Leftrightarrow x \ge - 1$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: S = [ - 1; 3)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${\log _{0,5}}(x + 1) \le {\log _2}(2 - x)$
+ Lúc đó:
${\log _2}x > \frac{2}{{{{\log }_2}x - 1}} \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t - 2}}{{t - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t > 2\\
- 1 < t < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}x > 2\\
- 1 < {\log _2}x < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 4\\
\frac{1}{2} < x < 2
\end{array} \right.$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : $S = \left[ {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right]$
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ${\log _5}(x + 2) + {\log _5}(x - 2) < {\log _5}(4x + 1)$
+ Lúc đó: ${\log _5}(x + 2) + {\log _5}(x - 2) < {\log _5}(4x + 1)$
$ \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \right] < {\log _5}(4x + 1) \Leftrightarrow {\log _5}({x^2} - 4) < {\log _5}(4x + 1)$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 4 < 4x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 5$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S = (2;5)
Dạng 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x \le 2$
+ Đặt : $t = {\log _{0,5}}x$
+ Lúc đó: $\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x \le 2 \Leftrightarrow {t^2} + t \le 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 1$
$ \Leftrightarrow - 2 \le {\log _{0,5}}x \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le {\left( {0,5} \right)^{ - 2}}\\x \ge 0,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\
x \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là: $S = \left[ {\frac{1}{2};4} \right]$
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${\log _2}x > \frac{2}{{{{\log }_2}x - 1}}$
+ Đặt : $t = {\log _2}x$
+ Lúc đó:
${\log _2}x > \frac{2}{{{{\log }_2}x - 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t - 2}}{{t - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t > 2\\
- 1 < t < 1
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}x > 2\\
- 1 < {\log _2}x < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 4\\
\frac{1}{2} < x < 2
\end{array} \right.$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ${\log ^2}x - 13\log x + 36 > 0$
+ Đặt : t = logx
+ Lúc đó: ${\log ^2}x - 13\log x + 36 > 0 \to {t^2} - 13t + 36 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t < 4\\t > 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x < 4\\\log x > 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < {10^4}\\x > {10^9}\end{array} \right.$
+Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : $S = \left( {0;{{10}^4}} \right) \cup \left( {{{10}^9}; + \infty } \right)$
Bài Tập Rèn Luyện
a. ${\log _a}f(x) > b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > {a^b}\,khi\,a > 1\\f(x) < {a^b}\,\,khi\,\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Điều kiện f(x) > 0
b. ${\log _a}f(x) < b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) < {a^b}\,\,khi\,a > 1\\f(x) > {a^b}\,\,khi\,\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Điều kiện f(x) > 0
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${\log _2}(x - 2) > 3$
Giải
Điều kiện x – 2 > 0 ↔ x = 2${\log _2}(x - 2) > 3 \Leftrightarrow x - 2 > {2^3} \Leftrightarrow x > 10$
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: $S = \left( {10; + \infty } \right)$
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${\log _{\frac{1}{2}}}({x^2} + 7x) > 3$
Giải
+ Điều kiện ${x^2} + 7x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 7\\x > 0\end{array} \right.$+ ${\log _{\frac{1}{2}}}({x^2} + 7x) > 3 \Leftrightarrow {x^2} + 7x < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} + 7x - \frac{1}{8} < 0$
$ \Leftrightarrow \frac{{ - 7 - \sqrt {\frac{{97}}{2}} }}{2} < x < \frac{{ - 7 + \sqrt {\frac{{97}}{2}} }}{2}$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là:….(Tự giải nhé!)
Dạng 2: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số
a. ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\,khi\,a > 0\\f(x) < g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Điều kiện f(x) > 0, g(x) >0
b. ${\log _a}f(x) < {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\,khi\,a > 0\\f(x) < g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.$
Điều kiện f(x) > 0, g(x) >0
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${\log _2}(x + 5) + {\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) \ge 0$
Giải
+ Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 5 > 0\\3 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 < x < 3$+ ${\log _2}(x + 5) + {\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) \ge 0 \Leftrightarrow {\log _2}(x + 5) - {\log _2}(3 - x) \ge 0$
$ \Leftrightarrow {\log _2}(x + 5) \ge {\log _2}(3 - x) \Leftrightarrow x + 5 \ge 3 - x \Leftrightarrow x \ge - 1$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: S = [ - 1; 3)
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${\log _{0,5}}(x + 1) \le {\log _2}(2 - x)$
Giải
+ Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < 2$+ Lúc đó:
${\log _2}x > \frac{2}{{{{\log }_2}x - 1}} \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t - 2}}{{t - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t > 2\\
- 1 < t < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}x > 2\\
- 1 < {\log _2}x < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 4\\
\frac{1}{2} < x < 2
\end{array} \right.$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : $S = \left[ {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right]$
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ${\log _5}(x + 2) + {\log _5}(x - 2) < {\log _5}(4x + 1)$
Giải
+ Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\4x + 1 > 0\\x - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x > - \frac{1}{4}\\x > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2$+ Lúc đó: ${\log _5}(x + 2) + {\log _5}(x - 2) < {\log _5}(4x + 1)$
$ \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \right] < {\log _5}(4x + 1) \Leftrightarrow {\log _5}({x^2} - 4) < {\log _5}(4x + 1)$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 4 < 4x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 5$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S = (2;5)
Dạng 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x \le 2$
Giải
+ Điều kiện: x > 0+ Đặt : $t = {\log _{0,5}}x$
+ Lúc đó: $\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x \le 2 \Leftrightarrow {t^2} + t \le 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 1$
$ \Leftrightarrow - 2 \le {\log _{0,5}}x \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le {\left( {0,5} \right)^{ - 2}}\\x \ge 0,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\
x \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là: $S = \left[ {\frac{1}{2};4} \right]$
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${\log _2}x > \frac{2}{{{{\log }_2}x - 1}}$
Giải
+ Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 2\end{array} \right.$+ Đặt : $t = {\log _2}x$
+ Lúc đó:
${\log _2}x > \frac{2}{{{{\log }_2}x - 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t - 2}}{{t - 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t > 2\\
- 1 < t < 1
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}x > 2\\
- 1 < {\log _2}x < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 4\\
\frac{1}{2} < x < 2
\end{array} \right.$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ${\log ^2}x - 13\log x + 36 > 0$
Giải
+ Điều kiện: x > 0+ Đặt : t = logx
+ Lúc đó: ${\log ^2}x - 13\log x + 36 > 0 \to {t^2} - 13t + 36 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t < 4\\t > 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x < 4\\\log x > 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < {10^4}\\x > {10^9}\end{array} \right.$
+Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : $S = \left( {0;{{10}^4}} \right) \cup \left( {{{10}^9}; + \infty } \right)$
Bài Tập Rèn Luyện
- ${\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{3x - 1}}{{x + 2}} > 1$
- ${\log _4}(x + 7) > {\log _4}(1 - x)$
- ${\log _2}(x + 5) \le {\log _2}(3 - 2x) - 4$
- ${\log _2}({x^2} - 4x - 5) < 4$
- ${\log _5}(26 - {3^x}) > 2\quad $
- ${\log _3}(13 - {4^x}) > 2\quad $
- ${\log _3}x + {\log _9}x + {\log _{27}}x > 11$
- $\frac{1}{{1 - \log x}} + \frac{1}{{\log x}} > 1$
- ${\log _x}2.{\log _{\frac{x}{{16}}}}2 > \frac{1}{{\log {}_2x - 6}}$
- ${\log _8}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) \le 1$
- ${\log _{\sqrt 3 }}\sqrt x + {\log _{\frac{1}{3}}}{x^3} + {\log _3}(3{x^4}) > 3$
- ${\log _2}\left( {x + 3} \right) > 1 + {\log _2}\left( {x - 1} \right)$
- $2{\log _8}(x - 2) + {\log _{\frac{1}{8}}}(x - 3) = \frac{2}{3}$
- ${\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) \le 0$
- ${\log _5}({4^x} + 144) - 4{\log _5}2 > 1 + {\log _5}({2^{x - 2}} + 1)$
- ${\log _{\frac{1}{3}}}\left[ {{{\log }_4}\left( {{x^2} - 5} \right)} \right] > 0$
- ${\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} - 6x + 8} \right) + 2{\log _5}\left( {x - 4} \right) > 0$
- ${\log _5}x + {\log _{25}}x > {\log _{0,2}}\sqrt 3 $
- $\log ({x^2} + 2x - 3) + \log \frac{{x + 3}}{{x - 1}} > 0$
- ${\log _2}\left( {{{4.3}^x} - 6} \right) - {\log _2}\left( {{9^x} - 6} \right) \le 1$
Chỉnh sửa cuối:
