Một số phương pháp tìm nguyên hàm (buổi 1)

[Doremon]

Trong chương trình Toán trung học phổ thông bài toán nguyên hàm là không thể thiếu trong chương trình học chính thức trên nhà trường cũng như luyện thi đại học. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… về sau. Nhằm giúp các em có thêm những cách giải nhanh - hiệu quả, ở đây tôi xin đưa phương pháp giải nguyên hàm để các em tham khảo. Phương pháp thường sử dụng:

• PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
  
• PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
  
• PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
  
• PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
  
• PHƯƠNG PHÁP 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ

I. PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Ví dụ 1. Tìm các nguyên hàm:

• $I = \int {{x^8}dx = \frac{1}{9}{x^9} + C} $

• $I = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}}} = \int {{x^{ - 5}}dx = \frac{1}{{ - 5 + 1}}{x^{ - 5 + 1}} + C = } } - \frac{1}{4}{x^{ - 4}} + C$

• $I = \int {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}dx = \int {\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} + C} } $

• $I = \int {\frac{{dx}}{{2x}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C} $

• $I = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}d\left( {2x} \right)} = {e^{2x}} + C$

• $I = \int {{e^{4x}}dx} = \frac{1}{4}\int {{e^{4x}}d\left( {4x} \right)} = \frac{1}{4}{e^{4x + C}}$

• $I = \int {\cos 2xdx = } \frac{1}{2}\int {\cos 2xd\left( {2x} \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + C} $

• $I = \int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\int {\sin 2xd\left( {2x} \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + C} } $

• $I = \int {x.{e^{{x^2}}}dx = \frac{1}{2}\int {{e^{{x^2}}}d\left( {{x^2}} \right) = \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C} } $

• $I = \int {\tan xdx} = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx = - \int {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}}} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C$

• $I = \int {\cot x = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx = \int {\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} = \ln\left| {\sin x} \right| + C} } $

• $I = \int {\tan 2xdx = \int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}dx = - \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {\cos 2x} \right)}}{{\cos 2x}} = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C} } } $

• $I = \int {\cot 2xdx = \int {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {\sin 2x} \right)}}{{\sin 2x}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\sin 2x} \right| + C} } } $

• $I = \int {{{\sin }^2}x.\cos xdx = \int {{{\sin }^2}xd\left( {\sin x} \right) = \frac{1}{3}{{\sin }^3}x + C} } $

• $I = \int {{{\cos }^2}x.\sin xdx = - \int {{{\cos }^2}xd\left( {\cos x} \right) = - \frac{1}{3}{{\cos }^3}x + C} } $

• $I = \int {\sin x.{{\cos }^4}xdx = - \int {{{\cos }^4}xd\left( {\cos x} \right)} = - \frac{1}{5}{{\cos }^5}x + C} $

• $I = \int {\cos x.{{\sin }^4}xdx = \int {{{\sin }^4}xd\left( {\sin x} \right) = \frac{1}{5}{{\sin }^5}x + C} } $

• $I = \int {\left( {1 - 3{{\sin }^2}x} \right)\cos xdx = \int {\left( {1 - 3{{\sin }^2}x} \right)d\left( {\sin x} \right)} } $
$ = \int {d\left( {\sin x} \right) - \int {3{{\sin }^2}xdx = } } \sin x - {\sin ^3}x + C$

• $I = \int {{{\cos }^3}xdx = \int {{{\cos }^2}x.\cos xdx = \int {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right).\cos xdx} } } $
$ = \int {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)d\left( {\sin x} \right) = \sin x - \frac{1}{3}{{\sin }^3}x + C} $

• $I = \int {{{\sin }^3}x} dx = \int {{{\sin }^2}x.\sin xdx = - \int {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)d\left( {\cos x} \right)} } = \frac{1}{3}{\cos ^3}x - \cos x + C$

• $I = \int {{{\sin }^2}xdx = \int {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} } dx = \frac{1}{2}\int {dx - \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C} } $

• $I = \int {{{\cos }^2}xdx = \int {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} } = \frac{1}{2}\int {dx + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C} } $

• $I = \int {{{\sin }^2}2xdx = \int {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}dx} } = \frac{1}{2}\int {dx} - \frac{1}{2}\int {\cos 4xdx} = \frac{x}{2} - \frac{1}{8}\sin 4x + C$

• $I = \int {{{\cos }^2}2xdx = \int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} } = \frac{1}{2}\int {dx + \frac{1}{2}\int {\cos 4xdx} } = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C$

• $I = \int {{{\tan }^2}xdx = \int {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx = \int {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} } } = \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} - \int {dx} } = \tan x - x + C$

• $I = \int {{{\cot }^2}xdx} = \int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \int {\frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} - \int {dx} = - \cot x - x + C$

Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm:
Trong Ví dụ này cần chú ý: $d\left( {\tan x} \right) = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx$

• ${B_1} = \int {{{\tan }^3}xdx = \int {\left( {{{\tan }^3}x + \tan x - \tan x} \right)dx = \int {\left[ {\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) - \tan x} \right]dx} } } $
$ = \int {\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx - \int {\tan xdx} = \int {\tan xd\left( {\tan x} \right) - \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} } } $
$ = \frac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C$

• ${B_2} = \int {{{\tan }^4}xdx} = \int {\left( {{{\tan }^4}x + {{\tan }^2}x - {{\tan }^2}x} \right)dx = \int {{{\tan }^2}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx - \int {{{\tan }^2}xdx} } } $
$ = \int {{{\tan }^2}xd\left( {\tan x} \right) - \left( {\tan x - x} \right) + C} = \frac{1}{3}{\tan ^3}x - \tan x + x + C$

• ${B_3} = \int {{{\tan }^5}xdx = \int {\left( {{{\tan }^5}x + {{\tan }^3}x - {{\tan }^3}x - \tan x + \tan x} \right)dx} } $
$ = \int {{{\tan }^3}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx - \int {\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx + \int {\tan xdx} } } $
$ = \int {{{\tan }^3}xd\left( {\tan x} \right) - \int {\tan xd\left( {\tan x} \right) + \int {\tan xdx = \frac{1}{4}{{\tan }^4}x - \frac{1}{2}{{\tan }^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C} } } $

• ${B_4} = \int {{{\tan }^6}xdx} = \int {\left( {{{\tan }^6}x + {{\tan }^4}x - {{\tan }^4}x - {{\tan }^2}x + {{\tan }^2}x} \right)dx} $
$ = \int {{{\tan }^4}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx - \int {{{\tan }^2}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx + \int {{{\tan }^2}x} } } dx$
$ = \int {{{\tan }^4}xd\left( {\tan x} \right) - \int {{{\tan }^2}xd\left( {\tan x} \right) + \int {{{\tan }^2}xdx} } } $
$ = \frac{1}{5}{\tan ^5}x - \frac{1}{3}{\tan ^3}x + \tan x - x + C$

• ${B_5} = \int {{{\tan }^7}xdx = \int {\left( {{{\tan }^7}x + {{\tan }^5}x - {{\tan }^5}x - {{\tan }^3}x + {{\tan }^3}x + \tan x - \tan x} \right)dx} } $
$ = \int {{{\tan }^5}x\left( {{{\tan }^2} + 1} \right)dx - \int {{{\tan }^3}x\left( {{{\tan }^2} + 1} \right)dx} + \int {\tan x\left( {{{\tan }^2} + 1} \right)dx - \int {\tan xdx} } } $
$ = \int {{{\tan }^5}xd\left( {\tan x} \right) - \int {{{\tan }^3}xd\left( {\tan x} \right) + \int {\tan xd\left( {\tan x} \right) - \int {\tan xdx} } } } $
$ = \frac{1}{6}{\tan ^6}x - \frac{1}{4}{\tan ^4}x + \frac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C$

Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm:

• $I = \int {\frac{{dx}}{{4{x^2} - 4x + 1}} = } \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}} = - \frac{1}{2}.{\left( {2x - 1} \right)^{ - 1}} + C$

• $I = \int {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}dx} = \int {\frac{{d\left( {\sin x - \cos x} \right)}}{{\sin x - \cos x}}} = \ln \left| {\sin x - \cos x} \right| + C$

• $I = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + 1}}} = \int {\frac{{d\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}}} = \ln \left| {{e^x} + 1} \right| + C$

• $I = \int {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}dx} = \int {\frac{{d\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} = \ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C$

• $I = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{\sqrt {{e^{2x}} + 4{e^x} + 4} }}} = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{\sqrt {{{\left( {{e^x} + 2} \right)}^2}} }}} = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + 2}}} = \int {\frac{{d\left( {{e^x} + 2} \right)}}{{{e^x} + 2}}} = \ln \left| {{e^x} + 2} \right| + C$

• $I = \int {\frac{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}} dx = \int {\frac{{\cos 2x + \left( {\cos x + \cos 3x} \right)}}{{\sin 2x + \left( {\sin x + \sin 3x} \right)}}dx} $
$ = \int {\frac{{\cos 2x + 2\cos 2x\cos x}}{{\sin 2x + 2\sin 2x\cos x}}dx} = \int {\frac{{\cos 2x\left( {1 + 2\cos x} \right)}}{{\sin 2x\left( {1 + 2\cos x} \right)}}dx} $
$ = \int {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {\sin 2x} \right)}}{{\sin 2x}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\sin 2x} \right| + C} } $

 

[xemercedes]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {5x - 2} \right)\).
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } 5\sin \left( {5x - 2} \right) + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{5}\sin \left( {5x - 2} \right) + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } - 5\sin \left( {5x - 2} \right) + C\)

 

[toan2kbv]

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3x + 1}}\) là:
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \left( {3x + 1} \right)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{3x + 1}} + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{4}\left( {3x + 1} \right)\sqrt[3]{{3x + 1}} + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \sqrt[3]{{3x + 1}} + C\)

 

[toandaithanh1]

Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng \(N'\left( x \right) = \frac{{2000}}{{1 + x}}\) và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Tìm số lượng vi khuẩn vào ngày thứ 12.
A. 10130
B. 5130
C. 5154
D. 10129

 

[toangmg3]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3x + 2}\).
A. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{2}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
B. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{2}{9}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
C. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{1}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + c\)
D. \(\int {f\left( x \right)} = \frac{3}{2}.\frac{1}{{\sqrt {3x + 2} }} + c\)

 

[tobefls]

Tìm nguyên hàm của hàm số: \(f\left( x \right) = {e^x}\cos x\).
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x + \sin x} \right) + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } - {e^x}\sin x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{{{e^x}}}{{\cos x}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right) + C\)

 

[todinhthuc88]

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_1^0 {\left( {{x^2} - {x^3}} \right)} dx\)
B. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx + \int\limits_2^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx\)
C. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx - \int\limits_2^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx\)
D. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)} dx = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} - \int\limits_0^1 {{x^2}dx}\)

 

[chacavungtau2017]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{4{x^3} - 5{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\).
A. \(\int {f(x)} dx = 2{x^2} - 5x + \frac{1}{x} + C\)
B. \(\int {f(x)} dx = {x^2} - 5x + \frac{1}{x} + C\)
C. \(\int {f(x)} dx = 2{x^2} - 5x + \ln \left| x \right| + C\)
D. \(\int {f(x)} dx = 2{x^2} - 5x - \frac{1}{x} + C\)

 

[CHAT]

Một công ty phải gánh chịu nợ gia tăng với tốc độ D(t) đô la mỗi năm, với \(D'\left( t \right) = 90\left( {t + 6} \right)\sqrt {{t^2} + 12t}\) trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ công ty bắt đầy vay nợ. Đến năm thứ tư công ty đã phải chịu 1 610 640 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này?
A. \(D\left( t \right) = 30\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}} + C\)
B. \(D\left( t \right) = 30\sqrt[3]{{{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^2}}} + 1610640\)
C. \(D\left( t \right) = 30\sqrt {{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^3}} + 1595280\)
D. \(D\left( t \right) = 30\sqrt[3]{{{{\left( {{t^2} + 12t} \right)}^2}}} + 1610640\)

 

[chatvanchat99]

Tốc độ thay đổi doanh thu (bằng đô la trên một máy tính) cho việc bán x máy tính là f(x), biết \(f'\left( x \right) = 12{x^5} + 3{x^2} + 2x + 12\). Tìm tổng doanh thu khi bán được mười hai máy tính đầu tiên.
A. 5973984 đô la
B. 1244234 đô la
C. 622117 đô la
D. 2986992 đô la

 

[Châu chấu]

Tìm a biết\(\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + {a^2} - 8} }}dx = \frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C}\).
A. a=1
B. a=2
C. a=3
D. a=4

 

[châu minh nhựt]

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên miền \(D = \left[ {a;b} \right]\) có đồ thị là một đường cong C, người ta có thể tính độ dài C bằng công thức: \(L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} dx}\)
Với thông tin đó, hãy tính độ dài \({L_{(C)}}\) của đường cong C cho bởi \(y = \frac{{{x^2}}}{8} - \ln x\) trên [1;2]
A. \({L_{(C)}} = \frac{3}{8} - \ln 2\)
B. \({L_{(C)}} = \frac{{31}}{{24}} - \ln 4\)
C. \({L_{(C)}} = \frac{3}{8} + \ln 2\)
D. \({L_{(C)}} = \frac{{31}}{{24}} + \ln 4\)

 

[châu minh nhựt]

Gọi h(t) (cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng \(h'(t) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}\) và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tính mực nước ở bồn sau khi bơm được 6 giây. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 2.33 (cm)
B. 5.06 (cm)
C. 2.66 (cm)
D. 3.33 (cm)

 

[Ng Vanh]

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x) = \frac{1}{{2x - 1}}\). Tính f(5) biết f(1)=1.
A. ln 2
B. ln 3
C. ln 2+1
D. ln 3+1

 

[nga]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}\).
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| - \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

 

[Nga0501]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2} - x - 2}}\).
A. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right| + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right| + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right| + C}\)

 

[nga2511]

Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) . Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) và đồ thị hàm số \(y=F(x)\) đi qua \(M\left( {\frac{\pi }{3};0} \right)\) thì \(F(x)\) là hàm số nào sau đây?
A. \(F(x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \cot x\)
B. \(F(x) = \sqrt 3 - \cot x\)
C. \(F(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \cot x\)
D. \(F(x) = - \cot x + C\)

 

[Ngân Trần 123]

Biết rằng \(\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c}\), trong đó a, b, c là các hằng số. Tính tổng a+b.
A. \(a + b = - \frac{1}{{13}}\)
B. \(a + b = - \frac{5}{{13}}\)
C. \(a + b = \frac{5}{{13}}\)
D. \(a + b = \frac{1}{{13}}\)

 

[Ngân Phan]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x(2 + 3{x^2})\).
A. \(\int {f(x)dx = {x^2}\left( {1 + \frac{3}{4}{x^2}} \right) + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}\left( {2x + {x^2}} \right) + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = {x^2}\left( {6x + 2} \right) + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = {x^2} + \frac{3}{4}{x^4}}\)

 

[vianan310]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x\).
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\)