Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác

[Doremon]

• Phương trình dạng : a.f$^2$(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Và a, b, c là các hệ số a ≠ 0.
• Cách giải: + Đặt t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì |t| ≤ 1)
+ Giải phương trình at$^2$ + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
+ Giải phương trình f(x) = t.
Ví dụ 1: Giải phương trình: $\frac{{2\cos 4x + 6co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}x + 1 + 3\cos 2x}}{{\cos x}} = 0$ (1)

Giải​

Điều kiện: $x \ne \frac{\pi }{2} + m\pi $.
(1) $ \leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) + 3(1 + \cos 2x + 1 + 3\cos 2x = 0$
$\leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 3\cos 2x + 1 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.$
Họ x = kπ/2 thỏa ĐK khi k = 2h → x = hπ
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: $x = h\pi \;;\;x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \;;\quad h,k \in Z$

Ví dụ 2: Giải phương trình : $\frac{{1 - \cos x(2\cos x + 1) - \sqrt 2 \sin x}}{{1 - \cos x}} = 1$

Giải​

Điều kiện: $\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne m2\pi $
(2) $\Leftrightarrow 1 - 2{\cos ^2}x - \cos x - \sqrt 2 \sin x = 1 - \cos x \Leftrightarrow - 2(1 - {\sin ^2}x) - \sqrt 2 \sin x = 0$
$\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sqrt 2 \sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\quad \vee \quad \sin x = \sqrt 2 $ (loại)
$\sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi\end{array} \right.$ (2)

Ví dụ 3 Giải phương trình lượng giác: (3)
Điều kiện: x ≠ mπ
$\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow 3\cos 2x - 2 = - 3(1 - \cos x)\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\\\Leftrightarrow 3\cos 2x - 2 = - 3(1 - \cos x)\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}\\\Leftrightarrow 3\cos x - 2 = - \frac{{3{{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}} \Leftrightarrow 6{\cos ^2}x + \cos x - 2 = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = -\frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pm \arccos ( - \frac{2}{3}) + k2\pi\end{array} \right.\end{array}$

Ví dụ 4: Giải phương trình: ${\sin ^6}x + co{s^6}x = 2co{s^2}x – 1$ (4)

Giải​

+Biến đổi: $\begin{array}{l}{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {({\cos ^2}x)^3} = \\= {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x = \\= \frac{3}{4}{\cos ^2}2x + \frac{1}{4}\end{array}$
(4) $\Leftrightarrow \frac{3}{4}{\cos ^2}2x + \frac{1}{4} = \cos 2x \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 4\cos 2x + 1 = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = \frac{1}{3}\end{array} \right. Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{3} + k2\pi\end{array} \right.$


Ví dụ 5: Tìm các nghiệm trên khoảng (0; π) của phương trình :
$7\left( {\frac{{\sin 3x - \cos 3x}}{{2\sin 2x - 1}} - cosx} \right) = 4 - \cos 2x$ (5)

Giải ​

PT(5):
Điều kiện: sinx $\ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{{5\pi }}{{12}} + m2\pi \\x \ne \frac{\pi }{{12}} + m2\pi\end{array} \right.$
+Ta có
$\begin{array}{l}\sin 3x - \cos 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x - 4{\cos ^3}x + 3\cos x\\
= 3(\sin x + \cos x) - 4(\sin x + \cos x)(1 - \sin x\cos x)\backslash \\ = (\sin x + \cos x)(4\sin x\cos x - 1) = (\sin x + \cos x)(2\sin 2x - 1)\\ \Rightarrow \frac{{\sin 3x - \cos3x}}{{2\sin 2x - 1}} = \sin x + \cos x\end{array}$

$\begin{array}{l}\left( 5 \right) \Leftrightarrow 7(\sin x + \cos x - \cos x) = 4 - \cos 2x \Leftrightarrow 7\sin x = 4 - (1 - 2{\sin ^2}x)\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 7\sin x + 3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\; \vee \sin x = 3\left( {loai} \right)\\ \leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$

*Chọn nghiệm trên khoảng (0; π) ta được hai nghiệm của phương trình là: x = π/6; x = 5π/6