Phương trình lượng giác dạng $a\sin x + b\cos x = c$, trong đó $a, b, c \in R$ và ${a^2} + {b^2} \ne 0$ được gọi là phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$.
Cách giải: Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
• Bước 1: Kiểm tra:
+ Nếu ${a^2} + {b^2} < {c^2}$ thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$ khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2.
• Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, ta được:
$\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x$ $ = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Vì ${\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1$ nên tồn tại góc $\alpha $ sao cho $\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha $ và $\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha .$
Khi đó phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có dạng $\sin x.\cos \alpha + \sin \alpha .\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Đây là phương trình lượng giác cơ bản của $sin$ mà ta đã biết cách giải.
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
• Bước 1: Với $\cos \frac{x}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi $ $(k \in Z).$ thử vào phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ xem có là nghiệm hay không?
• Bước 2: Với $\cos \frac{x}{2} \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi $ $(k \in Z).$
Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ suy ra $\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$, $\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}.$
Khi đó phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có dạng: $a\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b\frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c$ $ \Leftrightarrow (c + b){t^2} – 2at + c – b = 0.$
• Bước 3: Giải phương trình bậc hai ẩn $t$ sau đó giải tìm $x.$
Dạng đặc biệt:
• $\sin x + \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k \in Z).$
• $\sin x – \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k \in Z).$
Ví dụ 3: Giải phương trình $(1 + \sqrt 3 )\sin x + (1 – \sqrt 3 )\cos x = 2.$
Cách 1: Thực hiện phép biến đổi:
PT $ \Leftrightarrow (\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }})\sin x + (\frac{{1 – \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }})\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
Đặt $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \cos \alpha $, $\frac{{1 – \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \sin \alpha .$
Phương trình đã cho sẽ được viết thành $\sin x.\cos \alpha + \sin \alpha .\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \sin \frac{\pi }{4}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \alpha = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x + \alpha = \pi – \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} – \alpha + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} – \alpha + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:
$(\sin x + \cos x) + \sqrt 3 (\sin x – \cos x) = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) – \sqrt 6 \cos (x + \frac{\pi }{4}) = 2$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin (x + \frac{\pi }{4}) – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos (x + \frac{\pi }{4}) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4})\cos \frac{\pi }{3} – \cos (x + \frac{\pi }{4})\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
$ \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}) = \sin \frac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x – \frac{\pi }{{12}} = \pi – \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Đối với phương trình dạng $a\sin P(x) + b\cos Q(x)$ $ = c\sin Q(x) + d\cos P(x)$ trong đó $a, b, c, d ∈ R$ thoả mãn ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2} > 0$ và $P(x)$, $Q(x)$ không đồng thời là các hàm hằng số. Bằng phép chia cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ ta có: PT $ \Leftrightarrow \sin \left[ {P(x) + \alpha } \right] = \sin \left[ {Q(x) + \beta } \right]$ (hoặc $\cos \left[ {P(x) + \alpha } \right] = \cos \left[ {Q(x) + \beta } \right]$).
Ví dụ 4: Giải phương trình: $\cos 7x – \sin 5x = \sqrt 3 (\cos 5x – \sin 7x).$
PT ⇔ $\cos 7x + \sqrt 3 \sin 7x = \sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 7x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 7x$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x + \frac{1}{2}\sin 5x$
$ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\cos 7x + \sin \frac{\pi }{3}\sin 7x$ $ = \cos \frac{\pi }{6}\cos 5x + \sin \frac{\pi }{6}\sin 5x$
$ \Leftrightarrow \cos (7x – \frac{\pi }{3}) = \cos (5x – \frac{\pi }{6})$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{6}
\end{array} \right.$ $(k ∈ Z).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $ \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{6}
\end{array} \right.$ $(k ∈ Z).$
Cách giải: Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
• Bước 1: Kiểm tra:
+ Nếu ${a^2} + {b^2} < {c^2}$ thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$ khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2.
• Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, ta được:
$\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x$ $ = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Vì ${\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1$ nên tồn tại góc $\alpha $ sao cho $\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha $ và $\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha .$
Khi đó phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có dạng $\sin x.\cos \alpha + \sin \alpha .\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
Đây là phương trình lượng giác cơ bản của $sin$ mà ta đã biết cách giải.
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
• Bước 1: Với $\cos \frac{x}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi $ $(k \in Z).$ thử vào phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ xem có là nghiệm hay không?
• Bước 2: Với $\cos \frac{x}{2} \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi $ $(k \in Z).$
Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ suy ra $\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$, $\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}.$
Khi đó phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có dạng: $a\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b\frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c$ $ \Leftrightarrow (c + b){t^2} – 2at + c – b = 0.$
• Bước 3: Giải phương trình bậc hai ẩn $t$ sau đó giải tìm $x.$
Dạng đặc biệt:
• $\sin x + \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k \in Z).$
• $\sin x – \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k \in Z).$
Ví dụ 3: Giải phương trình $(1 + \sqrt 3 )\sin x + (1 – \sqrt 3 )\cos x = 2.$
Cách 1: Thực hiện phép biến đổi:
PT $ \Leftrightarrow (\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }})\sin x + (\frac{{1 – \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }})\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
Đặt $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \cos \alpha $, $\frac{{1 – \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \sin \alpha .$
Phương trình đã cho sẽ được viết thành $\sin x.\cos \alpha + \sin \alpha .\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \sin \frac{\pi }{4}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \alpha = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x + \alpha = \pi – \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} – \alpha + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} – \alpha + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:
$(\sin x + \cos x) + \sqrt 3 (\sin x – \cos x) = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) – \sqrt 6 \cos (x + \frac{\pi }{4}) = 2$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin (x + \frac{\pi }{4}) – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos (x + \frac{\pi }{4}) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4})\cos \frac{\pi }{3} – \cos (x + \frac{\pi }{4})\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
$ \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}) = \sin \frac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x – \frac{\pi }{{12}} = \pi – \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Đối với phương trình dạng $a\sin P(x) + b\cos Q(x)$ $ = c\sin Q(x) + d\cos P(x)$ trong đó $a, b, c, d ∈ R$ thoả mãn ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2} > 0$ và $P(x)$, $Q(x)$ không đồng thời là các hàm hằng số. Bằng phép chia cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ ta có: PT $ \Leftrightarrow \sin \left[ {P(x) + \alpha } \right] = \sin \left[ {Q(x) + \beta } \right]$ (hoặc $\cos \left[ {P(x) + \alpha } \right] = \cos \left[ {Q(x) + \beta } \right]$).
Ví dụ 4: Giải phương trình: $\cos 7x – \sin 5x = \sqrt 3 (\cos 5x – \sin 7x).$
PT ⇔ $\cos 7x + \sqrt 3 \sin 7x = \sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 7x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 7x$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x + \frac{1}{2}\sin 5x$
$ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\cos 7x + \sin \frac{\pi }{3}\sin 7x$ $ = \cos \frac{\pi }{6}\cos 5x + \sin \frac{\pi }{6}\sin 5x$
$ \Leftrightarrow \cos (7x – \frac{\pi }{3}) = \cos (5x – \frac{\pi }{6})$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{6}
\end{array} \right.$ $(k ∈ Z).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $ \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{6}
\end{array} \right.$ $(k ∈ Z).$
