Phương trình lượng giác hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng $\tan x$ và $cotx$ là phương trình có dạng ${p_k}\sum\limits_{k = 1}^n {({{\tan }^k}x + {\alpha ^k}{{\cot }^k}x)} $ $ + q(\tan x \pm \alpha \cot x) + r = 0$ $(\alpha > 0; k \ge 2).$
Cách giải:
• Bước 1: Đặt ẩn phụ $\left[ \begin{array}{l}
t = \tan x + \alpha \cot x \left( {|t| \le 2\sqrt 2 } \right)\\
t = \tan x – \alpha \cot x \left( {t \in R} \right)
\end{array} \right.$ đưa phương trình đã cho về dạng đại số $F(t) = 0.$
• Bước 2: Giải phương trình $F(t) = 0$ và loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán.
• Bước 3: Với nghiệm $t$ tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm $x.$
Ví dụ 8: Giải phương trình: ${\tan ^3}x – {\cot ^3}x – 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x)$ $ – 3(\tan x – \cot x) + 10 = 0.$
Phương trình $ \Leftrightarrow {\tan ^3}x – {\cot ^3}x – 3\tan x.\cot x(tanx – cotx)$ $ – 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x – 2) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow {(\tan x – \cot x)^3}$ $ – 3(\tan x – \cot x) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x – \cot x = – 1\\
\tan x – \cot x = 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cot 2x = \frac{1}{2} = \cot 2\alpha \\
\cot 2x = – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k\frac{\pi }{2}\\
x = – \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right. \left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k\frac{\pi }{2}\\
x = – \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right. \left( {k \in Z} \right)$ với $\cot 2\alpha = \frac{1}{2}.$
Cách giải:
• Bước 1: Đặt ẩn phụ $\left[ \begin{array}{l}
t = \tan x + \alpha \cot x \left( {|t| \le 2\sqrt 2 } \right)\\
t = \tan x – \alpha \cot x \left( {t \in R} \right)
\end{array} \right.$ đưa phương trình đã cho về dạng đại số $F(t) = 0.$
• Bước 2: Giải phương trình $F(t) = 0$ và loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán.
• Bước 3: Với nghiệm $t$ tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm $x.$
Ví dụ 8: Giải phương trình: ${\tan ^3}x – {\cot ^3}x – 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x)$ $ – 3(\tan x – \cot x) + 10 = 0.$
Phương trình $ \Leftrightarrow {\tan ^3}x – {\cot ^3}x – 3\tan x.\cot x(tanx – cotx)$ $ – 3({\tan ^2}x + {\cot ^2}x – 2) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow {(\tan x – \cot x)^3}$ $ – 3(\tan x – \cot x) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x – \cot x = – 1\\
\tan x – \cot x = 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cot 2x = \frac{1}{2} = \cot 2\alpha \\
\cot 2x = – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k\frac{\pi }{2}\\
x = – \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right. \left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k\frac{\pi }{2}\\
x = – \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}
\end{array} \right. \left( {k \in Z} \right)$ với $\cot 2\alpha = \frac{1}{2}.$
