Phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$ là phương trình có dạng $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$, trong đó $a, b, c, d ∈ R.$
Cách giải:
Cách 1: Chia từng vế của phương trình cho một trong ba hạng tử ${\sin ^2}x$, ${\cos ^2}x$ hoặc $\sin x.\cos x$. Chẳng hạn nếu chia cho ${\cos ^2}x$ ta làm theo các bước sau:
• Bước 1: Kiểm tra: $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ xem nó có phải là nghiệm của phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$ hay không?
• Bước 2: Với $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế cho ${\cos ^2}x$ lúc đó phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$ trở thành: $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)$ $ \Leftrightarrow (a – d){\tan ^2}x + b\tan x + c – d = 0.$
Đây là phương trình bậc hai theo $tan$ đã trình bày cách giải ở phần 1.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc ${\sin ^2}x = \frac{{1 – \cos 2x}}{2}$, ${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$, $\sin x.\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}$ đưa phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$ về phương trình $b\sin 2x + (c – a)\cos 2x = d – c – a.$
Đây là phương trình bậc nhất đối với $sin$ và $cos$ đã trình bày cách giải ở phần 2.
Mở rộng: Đối với phương trình đẳng cấp bậc $n (n ≥ 3) $ với dạng tổng quát: $A({\sin ^n}x, {\cos ^n}x, {\sin ^k}x{\cos ^h}x) = 0$ trong đó $k + h = n$, $k, h, n \in N$, khi đó ta cũng làm theo 2 bước:
• Bước 1: Kiểm tra xem $\cos x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không?
• Bước 2: Nếu $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình trên cho ${\cos ^n}x$ ta sẽ được phương trình bậc $n$ theo $\tan $. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 5: Giải phương trình $2\sqrt 3 {\cos ^2}x + 6\sin x.\cos x = 3 + \sqrt 3 .$
Cách 1:
+ Thử với $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ vào phương trình đã cho, ta có: $0 = 3 + \sqrt 3 $ (vô lý). Vậy $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ không là nghiệm của phương trình.
+ Với $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$, ta được: $2\sqrt 3 + 6\tan x = (3 + \sqrt 3 )(1 + {\tan ^2}x)$ $ \Leftrightarrow (3 + \sqrt 3 ){\tan ^2}x – 6\tan x + 3 – \sqrt 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\tan x = \frac{{3 – \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} = \tan \alpha
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Cách 2:
PT $ \Leftrightarrow \sqrt 3 (1 + \cos 2x) + 3\sin 2x = 3 + \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = \sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $ \Leftrightarrow \cos (2x – \frac{\pi }{3}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x – \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x – \frac{\pi }{3} = – \frac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right. \left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 6: Giải phương trình $\frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}} = 1 + \sin 2x .$
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne 0\\
\tan x = – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x \ne – \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Biến đổi phương trình $\frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}} = 1 + \sin 2x$ về dạng:
$\frac{{\cos x – \sin x}}{{\cos x + \sin x}} = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow \cos x – \sin x = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^3}$
Chia cả hai vế của phương trình $\cos x – \sin x = {\left( {_{}\cos x + \sin x} \right)^3}$ cho ${\cos ^3}x \ne 0$, ta được: $1 + {\tan ^2}x – \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\tan x$ $ = {\left( {1 + \tan x} \right)^3}$
$ \Leftrightarrow {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + 2\tan x = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 2} \right)\tan x = 0$ $ \Leftrightarrow \tan x = 0$ $ \Leftrightarrow x = k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ (phương trình ${\tan ^2}x + \tan x + 2 = 0$ vô nghiệm).
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x = k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Cách giải:
Cách 1: Chia từng vế của phương trình cho một trong ba hạng tử ${\sin ^2}x$, ${\cos ^2}x$ hoặc $\sin x.\cos x$. Chẳng hạn nếu chia cho ${\cos ^2}x$ ta làm theo các bước sau:
• Bước 1: Kiểm tra: $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ xem nó có phải là nghiệm của phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$ hay không?
• Bước 2: Với $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế cho ${\cos ^2}x$ lúc đó phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$ trở thành: $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)$ $ \Leftrightarrow (a – d){\tan ^2}x + b\tan x + c – d = 0.$
Đây là phương trình bậc hai theo $tan$ đã trình bày cách giải ở phần 1.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc ${\sin ^2}x = \frac{{1 – \cos 2x}}{2}$, ${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$, $\sin x.\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}$ đưa phương trình $a{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x = d$ về phương trình $b\sin 2x + (c – a)\cos 2x = d – c – a.$
Đây là phương trình bậc nhất đối với $sin$ và $cos$ đã trình bày cách giải ở phần 2.
Mở rộng: Đối với phương trình đẳng cấp bậc $n (n ≥ 3) $ với dạng tổng quát: $A({\sin ^n}x, {\cos ^n}x, {\sin ^k}x{\cos ^h}x) = 0$ trong đó $k + h = n$, $k, h, n \in N$, khi đó ta cũng làm theo 2 bước:
• Bước 1: Kiểm tra xem $\cos x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình hay không?
• Bước 2: Nếu $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình trên cho ${\cos ^n}x$ ta sẽ được phương trình bậc $n$ theo $\tan $. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 5: Giải phương trình $2\sqrt 3 {\cos ^2}x + 6\sin x.\cos x = 3 + \sqrt 3 .$
Cách 1:
+ Thử với $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ vào phương trình đã cho, ta có: $0 = 3 + \sqrt 3 $ (vô lý). Vậy $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ không là nghiệm của phương trình.
+ Với $\cos x \ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$, ta được: $2\sqrt 3 + 6\tan x = (3 + \sqrt 3 )(1 + {\tan ^2}x)$ $ \Leftrightarrow (3 + \sqrt 3 ){\tan ^2}x – 6\tan x + 3 – \sqrt 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\tan x = \frac{{3 – \sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} = \tan \alpha
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Cách 2:
PT $ \Leftrightarrow \sqrt 3 (1 + \cos 2x) + 3\sin 2x = 3 + \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = \sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $ \Leftrightarrow \cos (2x – \frac{\pi }{3}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x – \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x – \frac{\pi }{3} = – \frac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right. \left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 6: Giải phương trình $\frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}} = 1 + \sin 2x .$
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x \ne 0\\
\tan x = – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x \ne – \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Biến đổi phương trình $\frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}} = 1 + \sin 2x$ về dạng:
$\frac{{\cos x – \sin x}}{{\cos x + \sin x}} = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^2}$
$ \Leftrightarrow \cos x – \sin x = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^3}$
Chia cả hai vế của phương trình $\cos x – \sin x = {\left( {_{}\cos x + \sin x} \right)^3}$ cho ${\cos ^3}x \ne 0$, ta được: $1 + {\tan ^2}x – \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\tan x$ $ = {\left( {1 + \tan x} \right)^3}$
$ \Leftrightarrow {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + 2\tan x = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 2} \right)\tan x = 0$ $ \Leftrightarrow \tan x = 0$ $ \Leftrightarrow x = k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ (phương trình ${\tan ^2}x + \tan x + 2 = 0$ vô nghiệm).
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x = k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
