H
Huy Hoàng
Guest
VẤN ĐỀ 1:VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để biểu diễn một véc tơ qua các véc tơ khác ,chứng minh một đẳng thức véc tơ,chứng minh hai véc tơ vuông góc hay ba véc tơ đồng phẳng …,ta sử dụng các quy tắc :ba điểm,hình bình hành,trung tuyến,trung điểm,trọng tâm tam giác,trọng tâm tứ diện,đường chéo hình hộp.
CÁC QUI TẮC CẦN NHỚ
1) Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, M bất kỳ, ta có: $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} $
2) Qui tắc hiệu 2 vectơ: Cho ba điểm A, B, M bất kỳ, ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} $
3) Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $
4) Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} $
5) Qui tắc trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, M tuỳ ý.
Ta có: $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0;\,\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $
6) Qui tắc trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, M tuỳ ý. Ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0;\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} $
7) Qui tắc trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, M tuỳ ý. Ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0;\,\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} $
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Chứng minh rằng:
1. Ta có
$\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {AS} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \\
b)\,2\left( {\overrightarrow {SO} - \overrightarrow {BA} - SC} \right) = \overrightarrow {DB} \\
c)\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow {SB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {SD}
\end{array}$
2. Tìm điểm G sao cho $\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow O $
Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD,G là trọng tâm tam giác BCD,I là trung điểm AG,M là điểm bất kỳ.Chứng minh rằng: $\begin{array}{l}
a)\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 3\overrightarrow {MG} \\
b)3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow O
\end{array}$
a/ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AC'} $ b/$\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {BB'} $ c/$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow 0 $
2/Cho hình bình hành ABCD .Gọi S là một điểm nằm ngòai mp chứa HBH CMR : $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $
3/ Cho tứ diện ABCD.Gọi M&Nlà trung điểm AB&CD.CMR: a/ $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} $ ) b/ $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} )$
4/ Cho tứ diện ABCD.Hãy xác địnhhai đỉnh E&F sao cho:a/$\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} $ ;b/$\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} $
5/ Cho tứ diện ABCD.Gọi M&Nlà trung điểm AC&BD.Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là điểm bất kỳ .CMR: a/$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow O $
b/ $\overrightarrow {PI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} )$
6/ Cho lăng trụ ABC. $A'B'C'$ có $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a $;$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {b;} \overrightarrow {AC} = \overrightarrow c $.Hãy biểu thị các vecto $\overrightarrow {B'C} \& \overrightarrow {BC'} $ qua các vecto $\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow c .$
7/Cho tam giác ABC. Lấy S nằm ngoài mp(ABC). Trên đoạn SA lấy M sao cho $\overrightarrow {MS} = - 2\overrightarrow {MA} $ và trên BC lấy N sao cho $\overrightarrow {NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} $ . CMR ba vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {SC} $ đồng phẳng
VẤN ĐỀ 2. TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để tính góc giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian ta có thể áp dụng một trong hai cách sau:
• Tìm một góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng a,b;đưa vào một tam giác,sử dụng các hệ thức trong tam giác (đặc biệt là định lý cosin)
• Lấy các vec tơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v $ cùng phương với a,b ,biểu diễn $\overrightarrow u ;\overrightarrow v $ qua các vec tơ đã biết,tính $\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )$ rồi suy ra góc (a,b).
B.Ví dụ:
VD 1:Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a$\sqrt 2 $. Tính góc giữa
a) 2 vectơ $\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {SC} $
b) 2 đường thẳng AB và SC
VD 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; cho SA=a và SA (ABCD) . Tìm góc tạo bởi đường thẳng SB & CD
VẤN ĐỀ 3.CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng một trong hai cách sau:
• Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
• Chứng minh a//b ,b vuông góc với (P).
Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BC và BD,tam giác BCD vuông tại C.kẻ BE vuông góc với AC,EF vuông góc với AC (F thuộc AD).Chứng minh:
a)CD$ \bot $ (ABC). b)BE$ \bot $ (ACD). c)EF$ \bot $ (ABC).
Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD vuông góc từng đôi một.Gọi H là trực tâm tam giác BCD,chứng minh AH $ \bot $ (BCD).
Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD,SA $ \bot $ (ABCD).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,SC.Chứng minh: a)BD$ \bot $ (SAC). b)MN$ \bot $ (SAB). c) CD$ \bot $ (SAD).
VẤN ĐỀ 4:CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta có thể áp dụng một trong các cách sau:
• Chứng minh góc giữa a và b bằng 900.
• Chứng minh a vuông góc với mặt phẳng chứa b.
• Chứng minh a song song với c, c vuông góc với b.
• Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
• Sử dụng định lý PITAGO đảo
B.VÍ DỤ:
VD1:Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}$. CMR: SA$ \bot $BC, SB$ \bot $AC, SC $ \bot $ AB
VD2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B, AD = 2AB = 2BC.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh BI$ \bot $SC và CI$ \bot $SD.
VD3. Cho hình chóp S.ABC có SA$ \bot $ (ABC), AB = AC, I là trung điểm của BC, AH$ \bot $SI. Chứng minh:
a) BC$ \bot $AH. b) AH$ \bot $SB.
VẤN ĐỀ 5. XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P),ta xác định a/ là hình chiếu của a trên (P).
*Chọn điểm M trên a,tìm hình chiếu H của M trên (P).
*Tìm giao điểm N của a và (P).
*NH chính là a/.
Để tính góc MNH ta dùng hệ thức trong tam giác vuông MHN
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang vuông tại A&B ,SA vuông góc với đáy,AD=2BC=2AB=2a,SA=$a\sqrt 3 $.Tính góc giữa:
a)các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD).
b)SB,SC với mặt bên (SAD).
Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ ,ABC là tam giác vuông cân,AB=BC=a;B/A=B/B=B/C=a.Tính góc giữa B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC).
Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC,tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,cạnh AB=a,AD=$a\sqrt 2 $.Tính góc giữa:
a)DB và (ABC). b)CD và (ABD). c)AC và (ABD).
VẤN ĐỀ 6:XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Cách thường dùng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
*xác định giao tuyến ∆ của (P) và (Q).
*Trên (P) tìm AI$ \bot $ ∆,trên (Q) tìm BI$ \bot $∆.
*$\widehat {AIB}$ là góc cần tìm (còn gọi là góc phẳng của nhị diện ((P),(Q)).
Cách chứng minh hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau:
*Chứng minh góc giữa chúng bằng 900
*Chứng minh (P) chứa một đường thẳng vuông góc với (Q).
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với AC và AB,ABC là tam giác đều cạnh a,AD $ = a\sqrt 3 $.Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a)(BAD) và (CAD). b)(ABC) và (DBC). c)(ADC) và (BDC).
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,góc ABC=600,SA vuông góc với đáy ,SA$ = a\sqrt 3 $.Tính góc giữa các mặt phẳng:
a)(SBC) và (ABCD). b)(SBD) và (ABCD). c)(SBC) và (SCD).
VẤN ĐỀ 7: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
A PHƯƠNG PHÁP :
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ^ (Q).
• Chứng minh $\left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = {90^0}$
B Ví dụ:
1. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a$\sqrt 6 $. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
2. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của DBCD, đường cao DK của DACD.
a) Chứng minh: AB ^ (BCD) b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH ^ (ADC).
3. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ^ (ABCD).
a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
c) Gọi BE, DF là hai đường cao của DSBD. CMR: (ACF) ^ (SBC), (AEF) ^ (SAC). HD: b) 900.
VẤN ĐỀ 8. KHOẢNG CÁCH
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ,giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song ,giữa hai đường thẳng chéo nhau,trước hết ta phải xác định được các đoạn thẳng thỏa mãn tính chất của các loại khoảng cách.
a)Khoảng cách từ điểm M tới mp(P):
-Các định đoạn MH vuông góc với (P) tại H.
-Đôi khi có thể chuyển việc tính khoảng cách từ điểm M tới mp(P) sang việc tính khoảng cách từ một điểm N thuộc mp (Q) qua M và song song với (P),tới mp(P).
b)Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a.
xác định đoạn MH vuông góc (P) với điểm M bất kỳ thuộc a.
c)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:Tìm ra đoạn vuông góc chung của a và b (nếu đã có sẳn)
Cách 2:Chọn mp(P) chứa b và song song với a (muốn vậy (P) phải chứa a/ //a)Khoảng cách giữa a và (P) chính là khoảng cách giữa a và b.
Cách 3:Chọn hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau lần lượt chứa b và a.
Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa a và b.
B,Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với AB và AC,tam giác ABC vuông ở B,SA=AC=a,góc BAC=600.Tính khoảng cách: a)Từ A tới (SBC). b)Từ B tới (SAC).
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính khoảng cách giữa: a)SA và BC. b)SD và BC. c)SC và BD.
Ví dụ 3:Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: SC và BD.
Ví d? 4:Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui.
b) Chứng minh SC ^ (BHK), HK ^ (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
HD: c) Gọi E = AH Ç BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1/ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, góc B =600 , SB=AB=a ;SB $ \bot $ (ABC). Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của B lên SA & SC.
a/ CM AC$ \bot $ (SAB)
b/CM SC $ \bot $ (BHK)
c/ CM ∆ BHK vuông
d/Tính góc tạo bởi SA và (BHK)
e/ Tính diện tích tam giác BHK
2/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; cho SA=a và SA$ \bot $ (ABCD) . Gọi H&K là hình chiếu vuông góc của A lên SB & SD
a/ CM BD $ \bot $ (SAC)
b/ CM SC$ \bot $ (AHK) tại M
c/ Tìm góc tạo bởi đường thẳng SB & CD
d / Tìm góc tạo bởi đường thẳng SA và ( AHK)
e/ Tìm diện tích thiết diện tạo bởi (AHK) và hình chopS.ABCD
3/ Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a$\sqrt 3 $, mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a$\sqrt 5 $.
a) Chứng minh: SA ^ (ABCD) và tính SA .
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng
CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK ^ (SBC), AL ^ (SCD
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
d/ Tìm góc tạo bởi đường thẳng SB & CD
e/ Tìm góc tạo bởi đường thẳng SC và ( ABCD)
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, cho SA=AB=BC= a ; AD= 2a ;
SA $ \bot $(ABCD).
a/ CM BC$ \bot $ (SAB)
b/CM SC$ \bot $CD
c/ Tìm góc tạo bởi AD & SC
d/ Tìm góc tạo bởi SC & (ABCD)
e/ Gọi (P) đi qua AD và vuông góc góc SB tại M và cắt SC tại N . Tìm diện tích thiết diện tạo bởi mp(P) và hình chóp S.ABCD
5/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , $\angle $BAD = 600. SC =a, SC vuông góc
với mặt phẳng đáy .
a)Chứng minh (SBD) ^ (SAC)
b)Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD)
c)Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD)
d)Tính khoảng cách giữa đường thẳng BD và đường thẳng SA.
e)Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm C và vuông góc với SA.Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (P).Tính diện tích của thiết diện theo a.
6/ Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a.
a) Chứng minh (SAD) vuông góc với (SDC) và (SAC) vuông góc với (SCB).
b) Gọi φ là góc giữa hai mp(SBC) và (ABCD), tính tanφ.
c) Gọi (α) là mp qua SD và vuông góc với (SAC).
Hãy xác định (α) và thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α). Tính diện tích của thiết diện.
7/ Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân tạiB và AC = 2a, cạnh SA vuông góc với mp(ABC) và SA= a.
a) Chứng minh mp(SAB) vuông góc với mp(SBC).
b)Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
c)Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
8/ Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy = cạnh bên = a . Gọi I,J là trung điểm BC và BB’
a)Chứng minh rằng BC’ ^ (AIJ) b)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác AIJ
9/ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc A = 60o , A’A = A’B = A’D = a $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
a)Tính chiều cao lăng trụ
b)Chứng minh rằng hai mặt chéo của lăng trụ vuông góc nhau
c)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD)
d)Tính diện tích tam giác A’BD cà diện tích toàn phần của lăng trụ
10/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a)Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau
b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’
c)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (D’AC) và (ABCD)
d)Tính diện tích tam giác D’AC
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để biểu diễn một véc tơ qua các véc tơ khác ,chứng minh một đẳng thức véc tơ,chứng minh hai véc tơ vuông góc hay ba véc tơ đồng phẳng …,ta sử dụng các quy tắc :ba điểm,hình bình hành,trung tuyến,trung điểm,trọng tâm tam giác,trọng tâm tứ diện,đường chéo hình hộp.
CÁC QUI TẮC CẦN NHỚ
1) Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, M bất kỳ, ta có: $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} $
2) Qui tắc hiệu 2 vectơ: Cho ba điểm A, B, M bất kỳ, ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} $
3) Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $
4) Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} $
5) Qui tắc trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, M tuỳ ý.
Ta có: $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0;\,\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $
6) Qui tắc trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, M tuỳ ý. Ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0;\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} $
7) Qui tắc trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, M tuỳ ý. Ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0;\,\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} $
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Chứng minh rằng:
1. Ta có
$\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {AS} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \\
b)\,2\left( {\overrightarrow {SO} - \overrightarrow {BA} - SC} \right) = \overrightarrow {DB} \\
c)\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow {SB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {SD}
\end{array}$
2. Tìm điểm G sao cho $\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow O $
Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD,G là trọng tâm tam giác BCD,I là trung điểm AG,M là điểm bất kỳ.Chứng minh rằng: $\begin{array}{l}
a)\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 3\overrightarrow {MG} \\
b)3\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow O
\end{array}$
BÀI TẬP LÀM THÊM:
1/ Cho hình hộp ABCD. $A'B'C'D'$ .Chứng minh rằng:a/ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AC'} $ b/$\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {BB'} $ c/$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow 0 $
2/Cho hình bình hành ABCD .Gọi S là một điểm nằm ngòai mp chứa HBH CMR : $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $
3/ Cho tứ diện ABCD.Gọi M&Nlà trung điểm AB&CD.CMR: a/ $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} $ ) b/ $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} )$
4/ Cho tứ diện ABCD.Hãy xác địnhhai đỉnh E&F sao cho:a/$\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} $ ;b/$\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} $
5/ Cho tứ diện ABCD.Gọi M&Nlà trung điểm AC&BD.Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là điểm bất kỳ .CMR: a/$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow O $
b/ $\overrightarrow {PI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} )$
6/ Cho lăng trụ ABC. $A'B'C'$ có $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a $;$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {b;} \overrightarrow {AC} = \overrightarrow c $.Hãy biểu thị các vecto $\overrightarrow {B'C} \& \overrightarrow {BC'} $ qua các vecto $\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow c .$
7/Cho tam giác ABC. Lấy S nằm ngoài mp(ABC). Trên đoạn SA lấy M sao cho $\overrightarrow {MS} = - 2\overrightarrow {MA} $ và trên BC lấy N sao cho $\overrightarrow {NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} $ . CMR ba vecto $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {SC} $ đồng phẳng
VẤN ĐỀ 2. TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để tính góc giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian ta có thể áp dụng một trong hai cách sau:
• Tìm một góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng a,b;đưa vào một tam giác,sử dụng các hệ thức trong tam giác (đặc biệt là định lý cosin)
• Lấy các vec tơ $\overrightarrow u ;\overrightarrow v $ cùng phương với a,b ,biểu diễn $\overrightarrow u ;\overrightarrow v $ qua các vec tơ đã biết,tính $\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v )$ rồi suy ra góc (a,b).
B.Ví dụ:
VD 1:Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a$\sqrt 2 $. Tính góc giữa
a) 2 vectơ $\overrightarrow {AB} \,;\,\overrightarrow {SC} $
b) 2 đường thẳng AB và SC
VD 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; cho SA=a và SA (ABCD) . Tìm góc tạo bởi đường thẳng SB & CD
VẤN ĐỀ 3.CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng một trong hai cách sau:
• Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
• Chứng minh a//b ,b vuông góc với (P).
Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BC và BD,tam giác BCD vuông tại C.kẻ BE vuông góc với AC,EF vuông góc với AC (F thuộc AD).Chứng minh:
a)CD$ \bot $ (ABC). b)BE$ \bot $ (ACD). c)EF$ \bot $ (ABC).
Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD vuông góc từng đôi một.Gọi H là trực tâm tam giác BCD,chứng minh AH $ \bot $ (BCD).
Ví dụ 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD,SA $ \bot $ (ABCD).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,SC.Chứng minh: a)BD$ \bot $ (SAC). b)MN$ \bot $ (SAB). c) CD$ \bot $ (SAD).
VẤN ĐỀ 4:CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta có thể áp dụng một trong các cách sau:
• Chứng minh góc giữa a và b bằng 900.
• Chứng minh a vuông góc với mặt phẳng chứa b.
• Chứng minh a song song với c, c vuông góc với b.
• Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
• Sử dụng định lý PITAGO đảo
B.VÍ DỤ:
VD1:Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}$. CMR: SA$ \bot $BC, SB$ \bot $AC, SC $ \bot $ AB
VD2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B, AD = 2AB = 2BC.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh BI$ \bot $SC và CI$ \bot $SD.
VD3. Cho hình chóp S.ABC có SA$ \bot $ (ABC), AB = AC, I là trung điểm của BC, AH$ \bot $SI. Chứng minh:
a) BC$ \bot $AH. b) AH$ \bot $SB.
VẤN ĐỀ 5. XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P),ta xác định a/ là hình chiếu của a trên (P).
*Chọn điểm M trên a,tìm hình chiếu H của M trên (P).
*Tìm giao điểm N của a và (P).
*NH chính là a/.
Để tính góc MNH ta dùng hệ thức trong tam giác vuông MHN
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình thang vuông tại A&B ,SA vuông góc với đáy,AD=2BC=2AB=2a,SA=$a\sqrt 3 $.Tính góc giữa:
a)các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD).
b)SB,SC với mặt bên (SAD).
Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ ,ABC là tam giác vuông cân,AB=BC=a;B/A=B/B=B/C=a.Tính góc giữa B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC).
Ví dụ 3:Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC,tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,cạnh AB=a,AD=$a\sqrt 2 $.Tính góc giữa:
a)DB và (ABC). b)CD và (ABD). c)AC và (ABD).
VẤN ĐỀ 6:XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
A.PHƯƠNG PHÁP:
Cách thường dùng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
*xác định giao tuyến ∆ của (P) và (Q).
*Trên (P) tìm AI$ \bot $ ∆,trên (Q) tìm BI$ \bot $∆.
*$\widehat {AIB}$ là góc cần tìm (còn gọi là góc phẳng của nhị diện ((P),(Q)).
Cách chứng minh hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau:
*Chứng minh góc giữa chúng bằng 900
*Chứng minh (P) chứa một đường thẳng vuông góc với (Q).
B.Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với AC và AB,ABC là tam giác đều cạnh a,AD $ = a\sqrt 3 $.Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a)(BAD) và (CAD). b)(ABC) và (DBC). c)(ADC) và (BDC).
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,góc ABC=600,SA vuông góc với đáy ,SA$ = a\sqrt 3 $.Tính góc giữa các mặt phẳng:
a)(SBC) và (ABCD). b)(SBD) và (ABCD). c)(SBC) và (SCD).
VẤN ĐỀ 7: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
A PHƯƠNG PHÁP :
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ^ (Q).
• Chứng minh $\left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = {90^0}$
B Ví dụ:
1. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a$\sqrt 6 $. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
2. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của DBCD, đường cao DK của DACD.
a) Chứng minh: AB ^ (BCD) b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH ^ (ADC).
3. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ^ (ABCD).
a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
c) Gọi BE, DF là hai đường cao của DSBD. CMR: (ACF) ^ (SBC), (AEF) ^ (SAC). HD: b) 900.
VẤN ĐỀ 8. KHOẢNG CÁCH
A.PHƯƠNG PHÁP:
Để tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ,giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,giữa hai mặt phẳng song song ,giữa hai đường thẳng chéo nhau,trước hết ta phải xác định được các đoạn thẳng thỏa mãn tính chất của các loại khoảng cách.
a)Khoảng cách từ điểm M tới mp(P):
-Các định đoạn MH vuông góc với (P) tại H.
-Đôi khi có thể chuyển việc tính khoảng cách từ điểm M tới mp(P) sang việc tính khoảng cách từ một điểm N thuộc mp (Q) qua M và song song với (P),tới mp(P).
b)Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a.
xác định đoạn MH vuông góc (P) với điểm M bất kỳ thuộc a.
c)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:Tìm ra đoạn vuông góc chung của a và b (nếu đã có sẳn)
Cách 2:Chọn mp(P) chứa b và song song với a (muốn vậy (P) phải chứa a/ //a)Khoảng cách giữa a và (P) chính là khoảng cách giữa a và b.
Cách 3:Chọn hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau lần lượt chứa b và a.
Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa a và b.
B,Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với AB và AC,tam giác ABC vuông ở B,SA=AC=a,góc BAC=600.Tính khoảng cách: a)Từ A tới (SBC). b)Từ B tới (SAC).
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.SA vuông góc với đáy ,SA=a.Tính khoảng cách giữa: a)SA và BC. b)SD và BC. c)SC và BD.
Ví dụ 3:Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: SC và BD.
Ví d? 4:Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui.
b) Chứng minh SC ^ (BHK), HK ^ (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
HD: c) Gọi E = AH Ç BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1/ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, góc B =600 , SB=AB=a ;SB $ \bot $ (ABC). Gọi H và K là hình chiếu vuông góc của B lên SA & SC.
a/ CM AC$ \bot $ (SAB)
b/CM SC $ \bot $ (BHK)
c/ CM ∆ BHK vuông
d/Tính góc tạo bởi SA và (BHK)
e/ Tính diện tích tam giác BHK
2/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; cho SA=a và SA$ \bot $ (ABCD) . Gọi H&K là hình chiếu vuông góc của A lên SB & SD
a/ CM BD $ \bot $ (SAC)
b/ CM SC$ \bot $ (AHK) tại M
c/ Tìm góc tạo bởi đường thẳng SB & CD
d / Tìm góc tạo bởi đường thẳng SA và ( AHK)
e/ Tìm diện tích thiết diện tạo bởi (AHK) và hình chopS.ABCD
3/ Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a$\sqrt 3 $, mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a$\sqrt 5 $.
a) Chứng minh: SA ^ (ABCD) và tính SA .
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng
CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK ^ (SBC), AL ^ (SCD
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
d/ Tìm góc tạo bởi đường thẳng SB & CD
e/ Tìm góc tạo bởi đường thẳng SC và ( ABCD)
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, cho SA=AB=BC= a ; AD= 2a ;
SA $ \bot $(ABCD).
a/ CM BC$ \bot $ (SAB)
b/CM SC$ \bot $CD
c/ Tìm góc tạo bởi AD & SC
d/ Tìm góc tạo bởi SC & (ABCD)
e/ Gọi (P) đi qua AD và vuông góc góc SB tại M và cắt SC tại N . Tìm diện tích thiết diện tạo bởi mp(P) và hình chóp S.ABCD
5/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , $\angle $BAD = 600. SC =a, SC vuông góc
với mặt phẳng đáy .
a)Chứng minh (SBD) ^ (SAC)
b)Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD)
c)Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD)
d)Tính khoảng cách giữa đường thẳng BD và đường thẳng SA.
e)Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm C và vuông góc với SA.Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (P).Tính diện tích của thiết diện theo a.
6/ Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a.
a) Chứng minh (SAD) vuông góc với (SDC) và (SAC) vuông góc với (SCB).
b) Gọi φ là góc giữa hai mp(SBC) và (ABCD), tính tanφ.
c) Gọi (α) là mp qua SD và vuông góc với (SAC).
Hãy xác định (α) và thiết diện của hình chóp S.ABCD với (α). Tính diện tích của thiết diện.
7/ Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân tạiB và AC = 2a, cạnh SA vuông góc với mp(ABC) và SA= a.
a) Chứng minh mp(SAB) vuông góc với mp(SBC).
b)Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC).
c)Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
8/ Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy = cạnh bên = a . Gọi I,J là trung điểm BC và BB’
a)Chứng minh rằng BC’ ^ (AIJ) b)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác AIJ
9/ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc A = 60o , A’A = A’B = A’D = a $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
a)Tính chiều cao lăng trụ
b)Chứng minh rằng hai mặt chéo của lăng trụ vuông góc nhau
c)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD)
d)Tính diện tích tam giác A’BD cà diện tích toàn phần của lăng trụ
10/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a)Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau
b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’
c)Tính góc j giữa hai mặt phẳng (D’AC) và (ABCD)
d)Tính diện tích tam giác D’AC
