VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Quy tắc:
1. Tìm TXĐ của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ: Chứng minh rằng:
a) f(x) = cos(2x) – 2x + 3 nghịch biến trên R.
b) f(x) = x + cos$^2$x đồng biến trên R.
Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi $x \in \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm nghịch biến trên R.
b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in Z$
NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi $x \in \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm đồng biến trên R.
VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Ta có: f’(x) = - x$^2$ + 4x + 2a + 1, Δ = 2a + 5
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi $f'(x) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta \le 0\Leftrightarrow a \le - \frac{5}{2}$.
Ví dụ 2:Với giá trị nào của m, hàm số $f(x) = m{x^3} - 3{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 3$ nghịch biến trên R ?
Ta có: $f'(x) = 3m{x^2} - 6x + m – 2$
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi $f'(x) = 3m{x^2} - 6x + m - 2 \le 0,\forall x \in R$
• m = 0, khi đó f’(x) = $ - 6x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{3}$: không thỏa $\forall x \in R$.
• m ≠ 0 , khi đó $f'(x) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta = 9 - 3m(m - 2) \le 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 3{m^2} + 6m + 9 \le 0\end{array} \right. →\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \le - 1\,\,v\,\,m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 1$
Vậy, với m ≤ - 1 thì thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 3:Với giá trị nào của m, hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ - 3{x^2} + mx - 2}}{{2x - 1}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
GiảiTXĐ: $D = R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$
Đạo hàm: $f'(x) = \frac{{ - 6{x^2} + 6x + 4 - m}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $f'(x) \le 0,\forall x \ne \frac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x + 4 - m \le 0,\forall x \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow \Delta ' = 9 + 6(4 - m) \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{11}}{2}$
Ví dụ 4: Định m để hàm số $y = \frac{{mx + 1}}{{x + m}}$ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
GiảiTXĐ: D = R\{-m}
Đạo hàm: $y' = \frac{{{m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi $y' > 0,\forall x \ne - m \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow m < - 1\,\,v\,\,m > 1$
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + \frac{1}{3}$ đồng biến trên [2; + ∞).
Hàm số đồng trên $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} $
$ \leftrightarrow m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + 2x - 6 \ge 2 \to m \ge \frac{{6 - 2x}}{{{x^2} - 2x + 3}};\,\forall x \ge 2$ (vì x$^2$ – 2x + 3 > 0)
Bài toán trở thành:
Tìm m để hàm số $f\left( x \right) = \frac{{6 - 2x}}{{{x^2} - 2x + 3}} \le m;\,\forall x \ge 2$
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 12x + 6}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^2}}};\,f'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 6 = 0 \leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 6 $
Ta cần có: $\underbrace {\max }_{{\rm{[}}2; + \infty )}f\left( x \right) \le m \leftrightarrow m \ge \frac{2}{3}$.
Quy tắc:
1. Tìm TXĐ của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ: Chứng minh rằng:
a) f(x) = cos(2x) – 2x + 3 nghịch biến trên R.
b) f(x) = x + cos$^2$x đồng biến trên R.
Giải
a) Ta có: f’(x) = - 2(sin2x + 1) ≤ 0, ∀x ∈ R và f’(x) = 0 ↔ sin2x = - 1 ↔ x = - π/4 + kπ, k ∈ ZHàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi $x \in \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm nghịch biến trên R.
b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in Z$
NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi $x \in \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm đồng biến trên R.
VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
- Nếu f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ K thì f(x) đồng biến trên K.
- Nếu f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ K thì f(x) nghịch biến trên K.
- $f(x) \ge 0,\,\,\forall x \in R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
- $f(x) \le 0,\,\,\forall x \in R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$
- B1. Tính đạo hàm f’(x,m).
- B2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K ↔ f’(x,m) ≥ 0, ∀x ∈ K ↔ m ≥ g(x), ∀x ∈ K (m ≤ g(x))
- B3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Giải:
TXĐ: RTa có: f’(x) = - x$^2$ + 4x + 2a + 1, Δ = 2a + 5
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi $f'(x) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta \le 0\Leftrightarrow a \le - \frac{5}{2}$.
Ví dụ 2:Với giá trị nào của m, hàm số $f(x) = m{x^3} - 3{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 3$ nghịch biến trên R ?
Giải
TXĐ: RTa có: $f'(x) = 3m{x^2} - 6x + m – 2$
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi $f'(x) = 3m{x^2} - 6x + m - 2 \le 0,\forall x \in R$
• m = 0, khi đó f’(x) = $ - 6x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{3}$: không thỏa $\forall x \in R$.
• m ≠ 0 , khi đó $f'(x) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta = 9 - 3m(m - 2) \le 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 3{m^2} + 6m + 9 \le 0\end{array} \right. →\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \le - 1\,\,v\,\,m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 1$
Vậy, với m ≤ - 1 thì thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 3:Với giá trị nào của m, hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ - 3{x^2} + mx - 2}}{{2x - 1}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải
Đạo hàm: $f'(x) = \frac{{ - 6{x^2} + 6x + 4 - m}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $f'(x) \le 0,\forall x \ne \frac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x + 4 - m \le 0,\forall x \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow \Delta ' = 9 + 6(4 - m) \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{11}}{2}$
Ví dụ 4: Định m để hàm số $y = \frac{{mx + 1}}{{x + m}}$ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải
Đạo hàm: $y' = \frac{{{m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi $y' > 0,\forall x \ne - m \Leftrightarrow {m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow m < - 1\,\,v\,\,m > 1$
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + \frac{1}{3}$ đồng biến trên [2; + ∞).
Giải
Ta có: $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \Rightarrow {x^2} - 2x = {t^2} – 2$Hàm số đồng trên $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} $
$ \leftrightarrow m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + 2x - 6 \ge 2 \to m \ge \frac{{6 - 2x}}{{{x^2} - 2x + 3}};\,\forall x \ge 2$ (vì x$^2$ – 2x + 3 > 0)
Bài toán trở thành:
Tìm m để hàm số $f\left( x \right) = \frac{{6 - 2x}}{{{x^2} - 2x + 3}} \le m;\,\forall x \ge 2$
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 12x + 6}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^2}}};\,f'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 6 = 0 \leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 6 $
Ta cần có: $\underbrace {\max }_{{\rm{[}}2; + \infty )}f\left( x \right) \le m \leftrightarrow m \ge \frac{2}{3}$.
Chỉnh sửa cuối:
