Cơ bản Tổng hợp dao động điều hòa

[Tăng Giáp]

I. CỞ SỞ LÝ THUYẾT
1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x$_1$ = A$_1$cos(ωt + φ$_1$) và x$_2$ = A$_2$cos(ωt + φ$_2$) được một dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x = Acos(ωt + φ). Với:

• Biên độ của dao động tổng hợp: A$_2$ = A$_1$2 + A$_2$2 + 2A$_1$A$_2$cos(φ$_2$ - φ$_1$)
• Pha ban đầu của dao động tổng hợp: $\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}$

+ Khi 2 dao động cùng pha: Δφ = 2kπ → A = A$_1$ + A$_2$
+ Khi 2 dao động ngược pha: Δφ = (2k + 1)π → A = | A$_1$ – A$_2$ |
→ |A$_1$ - A$_2$| ≤ A ≤ A$_1$ + A$_2$
2. Khi biết một dao động thành phần x$_1$ = A$_1$cos(ωt + φ$_1$) và dao động tổng hợp x = Acos(ωt + φ) thì dao động thành phần còn ℓại ℓà x$_2$ = A$_2$cos(ωt + φ$_2$).
Trong đó:
$A_2^2 = {A^2} + A_1^2 - 2A{A_1}c{\rm{os}}(\varphi - {\varphi _1})$;
$\tan {\varphi _2} = \frac{{A\sin \varphi - {A_1}\sin {\varphi _1}}}{{Ac{\rm{os}}\varphi - {A_1}c{\rm{os}}{\varphi _1}}}$
3. Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
x$_1$ = A$_1$cos(ωt + φ$_1$);
x$_2$ = A$_2$cos(ωt + φ$_2$)
… thì dao động tổng hợp cũng ℓà dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
x = Acos(ωt + φ). Chiếu ℓên trục Ox và trục Oy ⊥ Ox .
Ta được:
$\left. \begin{array}{l}
{A_x} = Ac{\rm{os}}\varphi = {A_1}c{\rm{os}}{\varphi _1} + {A_2}c{\rm{os}}{\varphi _2} + ...\\
{A_y} = A\sin \varphi = {A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2} + ...
\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = \sqrt {A_x^2 + A_y^2} \\
\tan \varphi = \frac{{{A_y}}}{{{A_x}}}
\end{array} \right.$

II. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Hai dao động điều hào cùng phương, cùng tần số và cùng biên độ a, độ lệch pha của hai dao động là ∆φ. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động

giải​

${A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = 2{a^2}\left( {1 + \cos \Delta \varphi } \right) = 2{a^2}.2{\cos ^2}\frac{{\Delta \varphi }}{2} \to A = 2a\left| {\cos \frac{{\Delta \varphi }}{2}} \right|$

Ví dụ 2. Vật có khối lượng m = 0,5 kg của con lắc lò xo nằm ngang, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số 4π rad/s, x$_1$ = A$_1$cos(ωt + π/6) cm, x$_2$ = 4sin(ωt – π/3) cm. Biết độ lớn cực đại tác dụng lên vật trong quá trình vật dao động là 2,4 N. Biên độ của dao động thứ nhất là

Giải​

+ Lực đàn hồi: F = kA = mω2A→ 2,4 = 0,5.(4π)2.A → A = 0,03 m = 3 cm
+ Ta có: x$_2$ = 4sin(ωt – π/3) cm = 4cos(ωt – 5π/6) cm
+ Ta thấy Δφ = π/6 + 5π/6 = π → hai dao động ngược pha nhau
+ Biên độ dao động tổng hợp là A = |A$_1$ – A$_2$| → A$_1$ = 3 + 4 = 7 cm

Ví dụ 3. Phương trình tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tấn số có phương trình x = 3cos(πt – 5π/6) cm. Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x$_1$ = 5cos(πt + π/6) cm. Dao động thứ hai có phương tình li độ là

giải​

x = x$_1$ + x$_2$ → x$_2$ = x – x$_2$ = 8cos(πt – 5π/6) cm

Ví dụ 4. Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x$_1$ = 9cos(πt + π/3) cm và x$_2$ = A$_2$cos(πt – π/2) cm. Phương trình dao động tổng hơp của hai dao động thành phần là x = 9cos(πt + φ). Biên độ dao động A$_2$ là
giải
${A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}c{\rm{os}}\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) \to {A_2} = 9\sqrt 3 cm$

Câu 5. Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số x$_1$2 = 2cos(2πt + π/3), x$_2$3 = 2√3cos(2πt +5π/6), x$_1$3 = 2cos(2πt + π). Biên độ dao động của thành phần thứ 2?

giải​

$2{x_2} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_2} + {x_3}} \right) - \left( {{x_1} - {x_3}} \right) \to {x_2} = \frac{{{x_{12}} + {x_{23}} - {x_{13}}}}{2} = \sqrt 3 \left( {cm} \right)$

Câu 6. Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x$_1$ = 6cos(10t + π/3) cm và x$_2$ = 8cos(10t – π/6)cm. Lúc li độ dao động của vật x$_2$ = 8 cm thì li độ của thành phần x$_1$ lúc đó

giải​

+ x$_2$ = 8cm suy ra 8 = 8cos(10t + π/3 - π/2) → sin(10t + π/3) = 1 và cos(10t + π/3) = 0
+ x$_1$ = 6cos(10t + π/3) = 0 và v’ = - 60 sin(10t + π/3) = - 60 cm/s < 0

Câu 7. Một vật khối lượng m = 100g gắn vào lò xo lý tưởng. Vật này thực hiện dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có các phương trình dao động là x$_1$ = 5sin(10t + π)cm và x$_2$ = 10cos(10t – π/3)cm. Giá trị cực đại của lực tổng hợp tác dụng lên vật là

giải​

$\begin{array}{l}{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = 75 \to A = 5\sqrt 3 \left( {cm} \right)\\
{\omega ^2} = \frac{k}{m} \to k = {\omega ^2}.m = 10\left( {\frac{N}{m}} \right)\end{array}$
Giá trị cực đại của lực tổng hợp tác dụng lên vật là Fmax = k.|A| = 10.5√3.10$^{-2}$ = 0,5√3 N

Câu 8. Một vật thực hiện hai dao động tổng hợp điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x$_1$ = 4cos(2πt) cm và x$_2$ = 4cos(2πt + π/2) cm. Cho π2 = 10. Gia tốc của vật ở thời điểm t = 1s là

giải​

+ Phương trình dao động tổng hợp là x = 4√2cos(2πt + π/4) cm
+ Biểu thức gia tốc là a = - 160√2cos(2πt + π/4) cm/s$^2$
+ Tại thời điểm t = 1s thì a = - 160cm/s$^2$

Câu 9. Dao động của một chất điểm có khối lượng 100 g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x$_1$ = 5cos10t và x$_2$ = 10cos10t (x$_1$ và x$_2$ tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng của chất điểm bằng

giải​

$A = {A_1} + {A_2} = 15cm \to W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}.{A^2} = \frac{1}{2}.0,{1.10^2}.0,{15^2} = 0,115J$

Câu 10. Một con lắc lò xo tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số ω = 5√2 rad/s, có độ lệch pha π/2 rad. Biên độ của hai dao động thành phần là A$_1$ = 4cm và A$_2$. Biết độ lớn vận tốc của hai dao động tại thời điểm động năng bằng thế năng 40cm/s. Biên độ thành phần A$_2$ bằng

giải​

${{\rm{W = }}{{\rm{W}}_d}{\rm{ + }}{{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}k{x^2} = 2\left( {\frac{1}{2}m{v^2}} \right) \to \frac{1}{2}k{A^2} = 2\left( {\frac{1}{2}m{v^2}} \right) \to {A^2} = \frac{{2{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \to A = \frac{{\sqrt 2 .v}}{\omega } = 8cm}$
${{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}.\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) \to A_2^2 = {A^2} - A_1^2 = {8^2} - {4^2} \to {A_2} = 4\sqrt 3 cm}$