Câu 1:
Tính giá trị biểu thức sau: \(A = 4^{\frac{3}{2}} + 8^{\frac{2}{3}}\)
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
Hướng dẫn
\(A = 4^{\frac{3}{2}} + 8^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} + (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^3 + 2^2 = 12\)
Câu 2:
Tính giá trị biểu thức sau: \(B = \sqrt{(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}}\)
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
Hướng dẫn
Ta có:
\(\\ B = \sqrt{(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}} = \sqrt{\left ( \frac{1}{25} \right )^{ - \frac{3}{2}} - \left ( \frac{1}{8} \right )^{-\frac{2}{3}}} \\ \\ = \sqrt{(5^{-2})^{- \frac{3}{2}} - (2^{-3})^{- \frac{2}{3}}} = \sqrt{5^3 - 2^2} =\sqrt{121} = 11\)
Câu 3:
Đơn giản biểu thức sau:
\(A = \sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}}\)
(Giả sử các biểu thức có nghĩa):
A. \(\frac{\sqrt{a}}{2}\)
B. \(\sqrt{a}\)
C. \(a\)
D. \(3\sqrt{a}\)
Hướng dẫn
Ta có:
\(A = \sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}} = \left ( a^2 . a^{\frac{1}{4}} \right )^{\frac{1}{3}} = \left ( a^{\frac{9}{4}} \right )^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\)
Câu 4:
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = ln(x^2 + 1) + log_{2}(x^2 - x + 1)\)
A. \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
B. \(y' = \frac{x}{x^2 +1} + \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
C. \(y' = \frac{x}{x^2 +1} + \frac{x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
D. \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
Hướng dẫn
\(y = ln(x^2 + 1) + log_{2}(x^2 - x + 1)\) ⇒ \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
Câu 5:
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sqrt[3]{ln^2x}\)
A. \(\frac{1}{3x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
B. \(\frac{1}{5x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
C. \(\frac{2}{x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
D. \(\frac{2}{3x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
Hướng dẫn
\(y = \sqrt[3]{ln^2x}\) ⇒ \(y' = \frac{2.(ln \ x). \frac{1}{x}}{3\sqrt[3]{ln^4 \ x}} = \frac{2}{3x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
Câu 6:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\) .
A. \(\left( {0;2} \right)\)
B. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ {0;2} \right]\)
D. \(( - \infty ;0] \cup [2; + \infty )\)
Hướng dẫn
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\)
\({x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ x > 2 \end{array} \right.\)
Vậy đáp án đúng là B.
Câu 7:
Cho \(a;b > 0;ab \ne 1\) và thỏa mãn \({\log _{ab}}a = 2\). Tính giá trị của \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}\).
A. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=\frac{3}{2}\)
B. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=\frac{3}{4}\)
C. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=3\)
D. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=1\)
Hướng dẫn
Bài này yêu cầu nhớ các công thức biến đổi của hàm logarit:
\({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{1}{2}{\log _{ab}}\frac{a}{b} = \frac{1}{2}{\log _{ab}}\frac{{{a^2}}}{{ab}}\)
\(= \frac{1}{2}.\left( {{{\log }_{ab}}{a^2} - {{\log }_{ab}}ab} \right) = \frac{1}{2}.\left( {2{{\log }_{ab}}a - 1} \right)\)
Do đó, \({\log _{ab}}a = 2\) thì ta có:
\({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{1}{2}.\left( {2.2 - 1} \right) = \frac{3}{2}\)
Vậy đáp án đúng là A.
Câu 8:
Cho \(A = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 6 + {\log _4}81 - {\log _2}27 + {81^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \({\log _A}\left( {626} \right) = 2\)
B. \({616^{{{\log }_A}9}} = 3\)
C. \(A = 313\)
D. \({\log _2}A = 1 + {\log _2}313\)
Hướng dẫn
\(A = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 6 + {\log _4}81 - {\log _2}27 + {81^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}} = {\log _2}6 + {\log _2}9 - {\log _2}27 + {\left( {{3^{{{\log }_3}5}}} \right)^4}\)
\(= {\log _2}\frac{{6.9}}{{27}} + {5^4} = 1 + 625 = 626\)
\(\Rightarrow {\log _2}626 = {\log _2}\left( {2.313} \right) = 1 + {\log _2}313\)
Vậy D là đáp án đúng.
Câu 9:
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \log \left( {2{x^2}} \right)\)
A. \(y' = \frac{{2.\ln 10}}{x}\)
B. \(y' = \frac{2}{{x.\ln 10}}\)
C. \(y' = \frac{1}{{2{x^2}.\ln 10}}\)
D. \(\frac{{\ln 10}}{{2{x^2}}}\)
Hướng dẫn
Ta có \(\left( {{{\log }_a}u} \right) = \frac{{u'}}{{u.{\mathop{\rm lna}\nolimits} }}\). Áp dụng vào hàm số trên ta có \(y' = \frac{{4x}}{{2{x^2}.\ln 10}} = \frac{2}{{x.\ln 10}}\)
=> Đáp án B.
Câu 10:
Tập xác định của hàm số \(y = \log \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\) là ?
A. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(\left( {1;3} \right)\)
D. R\{1}
Hướng dẫn
Ở đây có 2 điều kiện cần đáp ứng:
1. Điều kiện để hàm phân thức có nghĩa.
2. Điều kiện để hàm log xác định.
Vậy ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < 1 \end{array} \right.\)
Đáp án A.
Tính giá trị biểu thức sau: \(A = 4^{\frac{3}{2}} + 8^{\frac{2}{3}}\)
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
Hướng dẫn
\(A = 4^{\frac{3}{2}} + 8^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} + (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^3 + 2^2 = 12\)
Câu 2:
Tính giá trị biểu thức sau: \(B = \sqrt{(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}}\)
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
Hướng dẫn
Ta có:
\(\\ B = \sqrt{(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}}} = \sqrt{\left ( \frac{1}{25} \right )^{ - \frac{3}{2}} - \left ( \frac{1}{8} \right )^{-\frac{2}{3}}} \\ \\ = \sqrt{(5^{-2})^{- \frac{3}{2}} - (2^{-3})^{- \frac{2}{3}}} = \sqrt{5^3 - 2^2} =\sqrt{121} = 11\)
Câu 3:
Đơn giản biểu thức sau:
\(A = \sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}}\)
(Giả sử các biểu thức có nghĩa):
A. \(\frac{\sqrt{a}}{2}\)
B. \(\sqrt{a}\)
C. \(a\)
D. \(3\sqrt{a}\)
Hướng dẫn
Ta có:
\(A = \sqrt[3]{a^2 \sqrt[4]{a}} = \left ( a^2 . a^{\frac{1}{4}} \right )^{\frac{1}{3}} = \left ( a^{\frac{9}{4}} \right )^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\)
Câu 4:
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = ln(x^2 + 1) + log_{2}(x^2 - x + 1)\)
A. \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
B. \(y' = \frac{x}{x^2 +1} + \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
C. \(y' = \frac{x}{x^2 +1} + \frac{x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
D. \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
Hướng dẫn
\(y = ln(x^2 + 1) + log_{2}(x^2 - x + 1)\) ⇒ \(y' = \frac{2x}{x^2 + 1} + \frac{2x - 1}{(x^2 - x + 1) ln2}\)
Câu 5:
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \sqrt[3]{ln^2x}\)
A. \(\frac{1}{3x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
B. \(\frac{1}{5x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
C. \(\frac{2}{x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
D. \(\frac{2}{3x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
Hướng dẫn
\(y = \sqrt[3]{ln^2x}\) ⇒ \(y' = \frac{2.(ln \ x). \frac{1}{x}}{3\sqrt[3]{ln^4 \ x}} = \frac{2}{3x\sqrt[3]{ln \ x}}\)
Câu 6:
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\) .
A. \(\left( {0;2} \right)\)
B. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ {0;2} \right]\)
D. \(( - \infty ;0] \cup [2; + \infty )\)
Hướng dẫn
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\)
\({x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ x > 2 \end{array} \right.\)
Vậy đáp án đúng là B.
Câu 7:
Cho \(a;b > 0;ab \ne 1\) và thỏa mãn \({\log _{ab}}a = 2\). Tính giá trị của \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}\).
A. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=\frac{3}{2}\)
B. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=\frac{3}{4}\)
C. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=3\)
D. \({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}}=1\)
Hướng dẫn
Bài này yêu cầu nhớ các công thức biến đổi của hàm logarit:
\({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{1}{2}{\log _{ab}}\frac{a}{b} = \frac{1}{2}{\log _{ab}}\frac{{{a^2}}}{{ab}}\)
\(= \frac{1}{2}.\left( {{{\log }_{ab}}{a^2} - {{\log }_{ab}}ab} \right) = \frac{1}{2}.\left( {2{{\log }_{ab}}a - 1} \right)\)
Do đó, \({\log _{ab}}a = 2\) thì ta có:
\({\log _{ab}}\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{1}{2}.\left( {2.2 - 1} \right) = \frac{3}{2}\)
Vậy đáp án đúng là A.
Câu 8:
Cho \(A = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 6 + {\log _4}81 - {\log _2}27 + {81^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. \({\log _A}\left( {626} \right) = 2\)
B. \({616^{{{\log }_A}9}} = 3\)
C. \(A = 313\)
D. \({\log _2}A = 1 + {\log _2}313\)
Hướng dẫn
\(A = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt 6 + {\log _4}81 - {\log _2}27 + {81^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}} = {\log _2}6 + {\log _2}9 - {\log _2}27 + {\left( {{3^{{{\log }_3}5}}} \right)^4}\)
\(= {\log _2}\frac{{6.9}}{{27}} + {5^4} = 1 + 625 = 626\)
\(\Rightarrow {\log _2}626 = {\log _2}\left( {2.313} \right) = 1 + {\log _2}313\)
Vậy D là đáp án đúng.
Câu 9:
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \log \left( {2{x^2}} \right)\)
A. \(y' = \frac{{2.\ln 10}}{x}\)
B. \(y' = \frac{2}{{x.\ln 10}}\)
C. \(y' = \frac{1}{{2{x^2}.\ln 10}}\)
D. \(\frac{{\ln 10}}{{2{x^2}}}\)
Hướng dẫn
Ta có \(\left( {{{\log }_a}u} \right) = \frac{{u'}}{{u.{\mathop{\rm lna}\nolimits} }}\). Áp dụng vào hàm số trên ta có \(y' = \frac{{4x}}{{2{x^2}.\ln 10}} = \frac{2}{{x.\ln 10}}\)
=> Đáp án B.
Câu 10:
Tập xác định của hàm số \(y = \log \frac{{x - 3}}{{x - 1}}\) là ?
A. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(\left( {1;3} \right)\)
D. R\{1}
Hướng dẫn
Ở đây có 2 điều kiện cần đáp ứng:
1. Điều kiện để hàm phân thức có nghĩa.
2. Điều kiện để hàm log xác định.
Vậy ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < 1 \end{array} \right.\)
Đáp án A.
