Nâng cao Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích

[Tiểu Bàng Giải]

Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=1-x^2 và đường thẳng y=0 quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{16}}{{15}}\)
B. \(V = \frac{{4}}{{3}}\)
C. \(V = \frac{{16}}{{15}}\pi\)
D. \(V = \frac{{4}}{{3}}\pi\)

 

[tingting1512]

Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\)
A. \(S = \frac{1}{{16}}\)
B. \(S = \frac{1}{{12}}\)
C. \(S = \frac{1}{{8}}\)
D. \(S = \frac{1}{{4}}\)

 

[tiệp]

Cho hình thang cong (H) giới hạn bới các đường y = {e^x},y = 0,x = 0 và x=ln4. Đường thẳng x = k\,(0 < k < \ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S_1,S_2 và như hình vẽ bên. Tìm x=k để S_1=2S_2.

A. \(k = \frac{2}{3}\ln 4\)
B. \(k =ln2\)
C. \(k = ln\frac{8}{3}\)
D. \(k = ln3\)

 

[bomthoithum]

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}},\) trục hoành và các đường thẳng \(x=0;x=2.\)
A. \(S = \frac{{{e^4}}}{4} + \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{3}{4}\)
B. \(S = \frac{{{e^4}}}{4} - \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{3}{4}\)
C. \(S = \frac{{{e^4}}}{4} + \frac{{{e^2}}}{2} + \frac{3}{4}\)
D. \(S = \frac{{{e^4}}}{4} - \frac{{{e^2}}}{2} + \frac{3}{4}\)

 

[Bống Sứt]

Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng N'\left( t \right) = \frac{{7000}}{{t + 2}} và lúc đầu đám vi trùng có 300 000 con. Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng bao nhiêu con?
A. 317394 con
B. 312542 con
C. 307412 con
D. 322142 con

 

[bonghoa]

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành.
A. \(V = \frac{{16\pi }}{{15}}\)
B. \(V = \frac{{136\pi }}{{15}}\)
C. \(V = \frac{{16}}{{15}}\)
D. \(V = \frac{{136 }}{{15}}\)

 

[nam dương]

Một chiếc cổng Parabol cao 16m và 2 chân cổng cách nhau 8m như hình vẽ. Nhà thiết kế xây dựng xây 2 cây cột AD, BC cách nhau 4m (2 cây cột này đối xứng với nhau qua trục đối xứng của Parabol), 2 phần cổng nhỏ ở 2 bên dành cho xe máy và xe đạp qua lại và phần cổng to ở giữa chỉ dành riêng cho xe bus BRT. Tính diện tích phần thiết diện cổng dành cho xe bus BRT đi qua.

A. \(S = \frac{{176}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
B. \(S = \frac{{128}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
C. \(S = \frac{{64}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
D. \(S = \frac{{256}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)

 

[Nam Phạm]

Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^2-1\), trục hoành và đường thẳng x = 2.
A. \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 1} \right|d{\rm{x}}}\)
B. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^2} - 1} \right|d{\rm{x}}}\)
C. \(S = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)d{\rm{x}}} } \right|\)
D. \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 1} \right|d{\rm{x}}}\)

 

[Thạch24]

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=x^2-2x\), trục hoành, trục tung, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{8\pi }}{{15}}\)
B. \(V = \frac{{4\pi }}{3}\)
C. \(V = \frac{{15\pi }}{8}\)
D. \(V = \frac{{7\pi }}{8}\)

 

[denchieusang247]

Cho parapol (P) \(y=x^2\) và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB=2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB.

A. \(S_{max}=\frac{4}{3}\)
B. \(S_{max}=\frac{3}{4}\)
C. \(S_{max}=\frac{2}{3}\)
D. \(S_{max}=\frac{3}{2}\)

 

[chan chan]

Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \(v(t) = 10t - {t^2},\) trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là bao nhiêu?
A. v = 5(m/p)
B. v = 9(m/p)
C. v = 3(m/p)
D. v = 7(m/p)

 

[CHAT]

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},y = 2 - x\) và y = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(S = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 2} \right)dx}\)
B. \(S = \frac{1}{2} + \int\limits_0^1 {{x^3}dx}\)
C. \(S = \left| {\int\limits_0^2 {({x^3} + x - 2)dx} } \right|\)
D. \(S=\int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - (2 - x)} \right|dx}\)

 

[denamokiep2846]

Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=x^2\) và \(y=x\).
A. \(S=\frac{1}{2}\) (đvdt)
B. \(S=\frac{1}{3}\) (đvdt)
C. \(S=\frac{1}{4}\) (đvdt)
D. \(S=\frac{1}{6}\) (đvdt)

 

[Nhật Thương]

Gọi S là diện tích của ban công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới hạn bởi parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0)\) và trục Ox). Tìm S.

A. \(S=\frac{9}{2}\)
B. \(S=1\)
C. \(S=\frac{4}{3}\)
D. \(S=2\)

 

[bonghoa]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - x,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0\) và x=2 được tính bởi công thức nào sau đây?
A. \(\int\limits_0^2 {\left( {x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} .\)
B. \(\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\)
C. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\)
D. \(\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\)

 

[CaimacairQuan12]

Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng \frac{1}{{\sqrt 2 }} và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng \(2\sqrt 2\) và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón \frac{{100}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }} kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?

A. 30kg
B. 40kg
C. 50kg
D. 45kg

 

[saigonso2007]

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) có đồ thị (C). Tìm \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4.
A. \(m=\frac{1}{3}\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=\frac{2}{3}\)
D. \(m=\frac{3}{4}\)

 

[salova]

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 2x + 4\) và \(y = x + 2.\)
A. \(S=\frac{1}{6}\)
B. \(S=\frac{1}{2}\)
C. \(S=\frac{1}{3}\)
D. \(S=\frac{1}{4}\)

 

[samhoang071014]

Ký hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}} ,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 2.\) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành.
A. \(V = \frac{{\pi \left( {2e - 1} \right)}}{{2e}}\)
B. \(V = \frac{{\pi \left( {2e - 3} \right)}}{{2e}}\)
C. \(V = \frac{{\pi \left( {e - 1} \right)}}{{2e}}\)
D. \(V = \frac{{\pi \left( {e - 3} \right)}}{{2e}}\)

 

[samsam02]

Parabol y=\frac{x^2}{2} chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2\sqrt{2}thành hai phần có diện tích là S_1 và S_2 trong đó S_1<S_2. Tìm tỉ số \frac{S_1}{S_2}.
A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{21\pi - 2}}.\)
B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}.\)
C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{12\pi }}.\)
D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{9\pi - 2}}{{3\pi + 2}}.\)