Nâng cao Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích

[tạ tâm đắc]

Bạn có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc.

A. \(15\pi c{m^3}\)
B. \(60\pi c{m^3}\)
C. \(60c{m^3}\)
D. \(70c{m^3}\)

 

[taanhthutl]

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 (m/s) thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc \( - a\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết ô tô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( {3;4} \right)\)
B. \(\left( {4;5} \right)\)
C. \(\left( {5;6} \right)\)
D. \(\left( {6;7} \right)\)

 

[Ramsey999]

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \(y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|,\)\(x = - 1.\).
A. \(S = \frac{{107}}{6}.\)
B. \(S = \frac{{109}}{6}.\)
C. \(S = \frac{{109}}{7}.\)
D. \(S = \frac{{109}}{8}.\)

 

[rangsuzirconia10]

Cho hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đồ thị như hình vữ bên. Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính bởi công thức nào sau đây?

A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)} dx\)
C. \(V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\)
D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)}^2}} dx\)

 

[rangxanh99]

Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + m,\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right),\) với m là tham số thực. Giả sử \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi \({S_1};{S_2};{S_3}\) là diện tích các miền gạch chéo như hình vẽ. Tìm m để \({S_1} + {S_2} = {S_3}.\)

A. \(m = - \frac{5}{2}\)
B. \(m = - \frac{5}{4}\)
C. \(m = \frac{5}{2}\)
D. \(m = \frac{5}{4}\)

 

[vetnang082015]

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: Parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 2\), tiếp tuyến của (P) tại \(M\left( {3;5} \right)\) và trục Oy. Tính diện tích của hình (H).
A. 18 (đvdt)
B. 9 (đvdt)
C. 15(đvdt)
D. 12(đvdt)

 

[xinchaoae12ab]

Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox, hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) quanh trục Ox.
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\)
B. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d{\rm{x}}} .\)
C. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)
D. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)

 

[decal in tem nhan]

Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 3m. Chiều cao \(SO = 6m\) (SO vuông góc với mặt đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi \({c_1},{c_2},{c_3},{c_4},{c_5},{c_6}\) nằm trên các parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO và một lục giác đều và khi (P) đi qua trung điểm của SO thì lục giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích không gian bên trong cái lều (H) đó.

A. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
B. \(\frac{{96\sqrt 3 }}{5}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
C. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{4}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)
D. \(\frac{{135\sqrt 3 }}{8}\,\,\left( {{m^3}} \right).\)

 

[denamokiep2846]

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \({f'}\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;6} \right]\) như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right).\)
B. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).\)
C. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right).\)
D. \(\mathop {ma{\rm{x}}}\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right).\)

 

[denchieusang247]

Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao cho bốn cạnh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quay trục Ox.

A. \(\frac{{5\pi }}{{48}}{a^3}\)
B. \(\frac{{5\pi }}{{16}}{a^3}\)
C. \(\frac{\pi }{6}{a^3}\)
D. \(\frac{\pi }{8}{a^3}\)

 

[dentrangtrimacani]

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {a;\sqrt a } \right)\), với \(a > 0\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm a.
A. \(a = 9\)
B. \(a = 4\)
C. \(a = \frac{1}{2}\)
D. \(a = 3\)

 

[Bá thắng]

Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là \(2\sqrt 2 \). Tính thể tích chuông?

A. \(6\pi \)
B. \(12\pi \)
C. \(2{\pi ^3}\)
D. \(16\pi \)

 

[Bá thắng]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = a{{\rm{x}}^3}\,\,\left( {a > 0} \right),\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = k\,\,\left( {k > 0} \right)\) bằng \(\frac{{17{\rm{a}}}}{4}.\) Tìm k.
A. \(k = 1.\)
B. \(k = \frac{1}{4}.\)
C. \(k = \frac{1}{2}.\)
D. \(k = 2.\)

 

[baaobaao101095]

Cho mặt phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = x - 2\)và trục hoành. Tìm công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình (H) quay quanh trục hoành.

A. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
B. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} + \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
C. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^4 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)
D. \(V = \pi \left[ {\int\limits_0^2 {xdx} - \int\limits_0^4 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx} } \right]\)

 

[chacavungtau2017]

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng \(4\sqrt 5 \left( m \right)\). Trên đó người thiết kế hai phần để tròng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường trong (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng 4m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 200.000 đồng/1m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A. 3.895.000 đồng
B. 1.948.000 đồng
C. 2.388.000 đồng
D. 1.194.000 đồng

 

[chaoaenhe]

Một ô tô đang chuyển động đều với vân tốc \(a\left( {m/s} \right)\) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 5t + a\left( {m/s} \right)\), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi vận tốc ban đầu a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 (m).
A. 10 (m/s)
B. 20 (m/s)
C. 40 (m/s)
D. 25 (m/s)

 

[CHAT]

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = 1,y = \frac{1}{9}\left( {6{x^2} - {x^4}} \right).\)
A. \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{5}\)
B. \(S = \sqrt 3 \)
C. \(S = \frac{{4\sqrt 3 }}{{15}}\)
D. \(S = \frac{{16\sqrt 3 }}{{15}}\)

 

[chan chan]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\); tiệm cận ngang và hai đường thẳng \(x = 3;x = e + 2\) được tính bằng công thức nào sau đây?
A. \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}dx} \)
B. \(S = \int\limits_3^{e + 2} {\frac{5}{{x - 2}}dx} \)
C. \(S = \left. {\ln \left| {x - 2} \right|} \right|_3^{e + 2}\)
D. \(S = 5 - e\)

 

[chatvanchat99]

Thể tích V của vật tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 - {x^2},y = 0\) quay quanh trục Ox có kết quả là \(V = \frac{{a\pi }}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{Z};b \ne 0;\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính a + b
A. 27
B. 25
C. 31
D. 11

 

[Châu chấu]

Để trang trí tòa nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có cạnh là 2dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol (P) cách các cạnh lục giác là 3dm và nằm phía ngoài lục giác; 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường (P) đó. Hãy tính diện tích hình trên (kể cả lục giác).
A. \(8\sqrt 3 + 24\left( {d{m^2}} \right)\)
B. \(8\sqrt 3 + 12\left( {d{m^2}} \right)\)
C. \(6\sqrt 3 + 12\left( {d{m^2}} \right)\)
D. \(6\sqrt 3 + 24\left( {d{m^2}} \right)\)