Nâng cao Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích

[châu minh nhựt]

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 4{\rm{x}},\,\,y = 0\) quanh trục Ox.
A. \(\frac{{512}}{{15}}\pi .\)
B. \(\frac{{2548}}{{15}}\pi .\)
C. \(\frac{{15872}}{{15}}\pi .\)
D. \(\frac{{32}}{3}\pi .\)

 

[cacere]

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right):y = {2^x},\left( d \right):y = - x + a\) và trụ Oy. Biết rằng (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ bằng 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi (H) khi nó quay quanh trục Ox.
A. \(V = \left( {\frac{{19}}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
B. \(V = \left( {\frac{{19}}{3} + \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
C. \(V = \left( {\frac{{35}}{3} - \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)
D. \(V = \left( {\frac{{35}}{3} + \frac{3}{{\ln 4}}} \right)\pi .\)

 

[Cẩm Dung 66]

Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol đi qua gốc tọa độ và hai đoạn thẳng AC và BC như hình vẽ bên.

A. \(S = \frac{{25}}{6}.\)
B. \(S = \frac{{20}}{3}.\)
C. \(S = \frac{{10}}{3}.\)
D. \(S = 9.\)

 

[Nam Phạm]

Người ta dự định xây một cây cầu có hình Parabol để bắc qua song rộng 480m. Bề dày của khối bê tông làm mặt cầu là 30cm chiều rộng của mặt cầu là 5m điểm tiếp giáp giữa mặt cầu với mặt đường cách bờ sông 5m, điểm cao nhất của khối bê tông làm mặt cầu so với mặt đường là 2m. Thể tích theo m3 của khối bê tông làm mặt cầu nằm trong khoảng nào?
A. (210;220)
B. (96;110)
C. (490;500)
D. (510;520)

 

[saigonso2007]

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = g\left( x \right) = xf\left( {{x^2}} \right)\) có đồ thị trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) như hình vẽ bên. Biết phần diện tích miền được tô màu là \(S = \frac{5}{2},\) tính tích phân \(I = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} .\)

A. \(I = \frac{5}{2}.\)
B. \(I = \frac{5}{4}.\)
C. \(I = 10.\)
D. \(I = 5.\)

 

[salova]

Trong đợt hội trại "Khi tôi 18" được tổ chức tại THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100.000 đồng cho một m2 bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

A. 615.000 đồng.
B. 450.000 đồng.
C. 451.000 đồng.
D. 616.000 đồng.

 

[samhoang071014]

Cho hình thang (H) giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{x},x = \frac{1}{2},x = 2\) và trục hoành. Đường thẳng \(x = k\left( {\frac{1}{2} < k < 2} \right)\) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả các giá trị thực của k để S1 = 3S2.

A. \(k = \sqrt 2 .\)
B. \(k = 1.\)
C. \(k = \frac{7}{5}.\)
D. \(k = \sqrt 3 .\)

 

[samsam02]

Ông An xây dựng sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ.
Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một parabol có đỉnh I.
Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/m2 và phần còn lại được trồng cỏ nhân tạo với giá 90 nghìn đồng/m2.
Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?

A. 165 triệu đồng.
B. 195 triệu đồng.
C. 135 triệu đồng.
D. 151 triệu đồng.

 

[sang vo]

Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng \(\frac{3}{4}\) chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi \(2,90\,c{m^3}/\)phút. Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi \(8\pi \,cm\)(xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

A. 8cm
B. 12cm
C. 9cm
D. 10cm

 

[Phạm Chí Năng]

Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đường cong \(\left( C \right):y = {x^3} - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 4.\)
A. \(S = 32\)
B. \(S = 32\pi \)
C. \(S = 40\)
D. \(S = 40\pi \)

 

[Phạm Hoàng Cường]

Hình (H) được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường \(\left( {{C_1}} \right):y = \left| x \right| + \sqrt {16 - {x^2}} ,\) \(\left( {{C_2}} \right):y = \left| x \right| - \sqrt {25 - {x^2}} \) và hai đoạn thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x\) với \(x \in \left[ {4;5} \right],\left( {{d_2}} \right):y = - x\) với \(x \in \left[ { - 5; - 4} \right]\). Tính diện tích S của hình (H).

A. \(\frac{{41}}{4}\)
B. \(\frac{{41\pi }}{4}\)
C. \(\frac{{41\pi }}{2}\)
D. \(\frac{{41}}{2}\)

 

[phạm hồng thanh]

Khuân viên của một trường học có dạng là hình chữ nhật có kích thước 20m và 10m. Nhà trường thuê người tiến hành trồng cỏ và lát đá để tạo mĩ quan cho cổng trường. Cỏ được trồng theo hình elip nội tiếp hình chữ nhật, phần đất trống còn lại lát đá. Biết kinh phí trồng cỏ 500.000 đồng/1\({m^2}\)và lát đá 300.000 đồng/1\({m^2}.\)Hỏi tổng số tiền nhà trường bỏ ra để cải tạo khuân viên? (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

A. 91.426.000(đồng).
B. 78.539.000 (đồng).
C. 78.540.000 (đồng).
D. 91.416.000 (đồng).

 

[Phạm Quốc Bảo]

Người ta dự định trồng hoa trang trí trên một mảnh đất hình tròn bằng hai loại hoa hồng và hoa lan. Phần hoa hồng trồng trong hình elip cùng tâm với hình tròn, phần còn lại trồng hoa lan (như hình vẽ). Biết rằng phần đất elip có độ dài trục lớn bằng 8m và trục bé bằng 6m. Tính diện tích trồng hoa lan.

A. \(16\pi \,\,({m^2})\)
B. \(4\pi ({m^2})\)
C. \(6\pi \,\,({m^2})\)
D. \(10\pi \,\,({m^2})\)

 

[Phạm Quốc Bảo]

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x + 1,\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 3.\)
A. \(S = \frac{{64}}{3}.\)
B. \(S = \frac{{56}}{3}.\)
C. \(S = \frac{{37}}{3}.\)
D. \(S = 21.\)

 

[Hiền Lành]

Gọi S là số đo diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = 2{x^2} + 3x + 1,\,\,y = {x^2} - x - 2\). Tính \(\cos \left( {\frac{\pi }{S}} \right)?\)
A. 0
B. \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

 

[Hien1209]

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x\ln x,\,\,y = 0,\,\,x = e\) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng \(\frac{\pi }{a}\left( {b\,{e^3} - 2} \right)\). Tìm a và b.
A. \(a = 27;\,\,b = 5\)
B. \(a = 26;\,\,b = 6\)
C. \(a = 24;\,\,b = 5\)
D. \(a = 27;\,\,b = 6\)

 

[Hiennhan]

Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = a\) và \(x = b\) quay xung quanh trục \(Ox\) tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)
C. \(V = \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} .\)
D. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} .\)

 

[Hà Minh Đức]

Trong trung tâm công viên có một khuôn viên hình elíp có độ dài trục lớn bằng 16m, độ dài trục bé bằng 10m. Giữa khuôn viên là một đài phun nước hình tròn có đướng kính 8m, phần còn lại của khuôn viên người ta thả cá. Số cá thả vào khuôn viên đó gần nhất với số nào dưới đây, biết rằng mật độ thả cá là 5 con trên \(1{m^2}\)mặt nước.
A. 376
B. 378
C. 377
D. 375

 

[Hạ Vy]

Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và Ox xung quanh trục Ox.

A. \(\frac{{16\pi }}{{15}}.\)
B. \(\frac{{16\pi }}{5}.\)
C. \(\frac{{12\pi }}{{15}}.\)
D. \(\frac{{4\pi }}{3}.\)

 

[Hạ Vy]

Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bên là:

A. \(\frac{{22}}{3}.\)
B. 2
C. \(\frac{{22}}{3}.\)
D. \(\frac{{10}}{3}.\)