A. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có tập xác định $D.$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số chẵn nếu với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và $f\left( x \right)=f\left( x \right).$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số lẻ nếu với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và $f\left( x \right)=-f\left( x \right).$
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
3. Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D.$
• $f$ là hàm số chẵn $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \forall x\in D\Rightarrow -x\in D \\
& f(-x)=f(x) \\
\end{align} \right.$
• $f$ là hàm số lẻ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \forall x\in D\Rightarrow -x\in D \\
& f(-x)=-f(x) \\
\end{align} \right.$
Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
• Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
• Bước 2. Kiểm tra:
+ Nếu $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D$ thì chuyển qua bước 3.
+ Nếu tồn tại ${{x}_{0}}\in D$ mà $-{{x}_{0}}\notin D$ thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
• Bước 3. Xác định $f\left( -x \right)$ và so sánh với $f\left( x \right):$
+ Nếu $f\left( -x \right)$ = $f\left( x \right)$ thì kết luận hàm số là chẵn.
+ Nếu $f\left( -x \right)$ = $-f\left( x \right)$ thì kết luận hàm số là lẻ.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f(x)=3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x}.$
b) $f(x)={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
c) $f\left( x \right)=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}.$
d) $f(x)=\sqrt{2+x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}.$
a) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)$ $=3{{\left( -x \right)}^{3}}+2\sqrt[3]{-x}$ $=-\left( 3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x} \right)$ $=-f(x).$
Do đó $f(x)=3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x}$ là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)$ $={{\left( -x \right)}^{4}}+\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1}$ $={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=f(x).$
Do đó $f(x)={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ là hàm số chẵn.
c) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x+5\ge 0 \\
5-x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -5 \\
x\le 5 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -5\le x\le 5.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -5;5 \right].$
Với mọi $x\in \left[ -5;5 \right]$ ta có $-x\in \left[ -5;5 \right]$ và $f(-x)$ $=\sqrt{\left( -x \right)+5}+\sqrt{5-\left( -x \right)}$ $=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$ $=f(x).$
Do đó $f\left( x \right)=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$ là hàm số chẵn.
d) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
2+x\ge 0 \\
2-x>0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -2 \\
x<2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -2\le x<2.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -2;2 \right).$
Ta có ${{x}_{0}}=-2\in \left[ -2;2 \right)$ nhưng $-{{x}_{0}}=2\notin \left[ -2;2 \right).$
Vậy hàm số $f(x)=\sqrt{2+x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}$ không chẵn và không lẻ.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f(x)={{x}^{4}}-4x+2.$
b) $f\left( x \right)=\left| \left| x+2 \right|-\left| x-2 \right| \right|.$
c) $f(x)=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1.$
d) $f(x)=\left\{ \begin{matrix}
-1\:khi\:x<0 \\
0\:khi\:x=0 \\
1\:khi\:x>0 \\
\end{matrix} \right.$
a) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}.$
Ta có $f\left( -1 \right)=7$, $f\left( 1 \right)=-1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
f\left( -1 \right)\ne f\left( 1 \right) \\
f\left( -1 \right)\ne -f\left( 1 \right) \\
\end{matrix} \right.$
Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)=\left| \left| \left( -x \right)+2 \right|-\left| \left( -x \right)-2 \right| \right|$ $=\left| \left| x-2 \right|-\left| x+2 \right| \right|.$
Suy ra $f\left( -x \right)=f\left( x \right).$
Do đó $f\left( x \right)=\left| \left| x+2 \right|-\left| x-2 \right| \right|$ là hàm số chẵn.
c) Ta có $\sqrt{{{x}^{2}}+1}>\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\ge x$ $\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x\ne 0$ với mọi $x.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}.$
Mặt khác $\sqrt{{{x}^{2}}+1}>\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\ge -x$ $\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x\ne 0$, do đó $f(x)=\frac{{{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}-2{{x}^{2}}-1$ $=2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)$ $=2\left( -x \right)\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1}$ $=-2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=-f\left( x \right).$
Do đó $f(x)=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1$ là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}.$
Dễ thấy với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}.$
Với mọi $x>0$ ta có $-x<0$ suy ra $f\left( -x \right)=-1$, $f\left( x \right)=1$ $\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right).$
Với mọi $x<0$ ta có $-x>0$ suy ra $f\left( -x \right)=1$, $f\left( x \right)=-1$ $\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right).$
Và $f\left( -0 \right)=-f\left( 0 \right)=0.$
Do đó với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $f\left( -x \right)=-f\left( x \right).$
Vậy hàm số $f(x)=\left\{ \begin{matrix}
-1\:khi\:x<0 \\
0\:khi\:x=0 \\
1\:khi\:x>0 \\
\end{matrix} \right.$ là hàm số lẻ.
Ví dụ 3. Tìm $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)+\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ là hàm số chẵn.
Điều kiện xác định: $\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne m.$
Giả sử hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn suy ra $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện $\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne m.$
Ta có $f\left( -x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}.$
Suy ra $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$ $⇔ \frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ $=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)+\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ $\Leftrightarrow 2\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x=0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định $\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2=0$ $\Leftrightarrow m=\pm 1.$
+ Với $m=1$ ta có hàm số là $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}.$
Điều kiện xác định: $\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne 1\Leftrightarrow x\ne 0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.$
Dễ thấy với mọi $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ ta có $-x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và $f\left( -x \right)=f\left( x \right).$
Do đó $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}$ là hàm số chẵn.
+ Với $m=-1$ ta có hàm số là $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}.$
Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$
Dễ thấy với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f\left( -x \right)=f\left( x \right).$
Do đó $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}$ là hàm số chẵn.
Vậy $m=\pm 1$ là giá trị cần tìm.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Đề bài
Bài toán 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+5x}{{{x}^{2}}+4}.$
b) $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}-1}.$
c) $f\left( x \right)=\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}.$
d) $f\left( x \right)=\frac{x-5}{x-1}.$
e) $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1.$
f) $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}.$
g) $f(x)=\frac{\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|}{\left| 2x-1 \right|+\left| 2x+1 \right|}.$
h) $f(x)=\frac{\left| x+2 \right|+\left| x-2 \right|}{\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|}$
Bài toán 2. Tìm $m$ để hàm số: $y=f\left( x \right)$ $=\frac{x\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2m-1}{x-2m+1}$ là hàm số chẵn.
Bài toán 3. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$ có cùng tập xác định $D$. Chứng minh rằng:
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Bài toán 4.
a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng: $y={{x}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{x}^{2}}+(m+3)x+m-3.$
b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: $y={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1.$
Bài toán 5. Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: $y={{x}^{2}}+\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}$.
2. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Hàm số lẻ.
b) Hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số là $D=\left[ -1;1 \right]$ nên $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $f\left( -x \right)$ $=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}$ $=-f\left( x \right)$, $\forall x\in D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có $x=-1\in D$ nhưng $-x=1\notin D.$
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
e) Tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$.
Ta có $f\left( 1 \right)=2$, $f\left( -1 \right)=6.$
Suy ra $f\left( -1 \right)\ne f\left( 1 \right)$, $f\left( -1 \right)\ne -f\left( 1 \right).$
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
f) Tập xác định của hàm số là $D=\left( -\infty -1 \right)\cup \left( -1;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$ nên $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $f\left( -x \right)$ $=\frac{{{\left( -x \right)}^{3}}}{\left| -x \right|-1}$ $=-\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}$ $=-f\left( x \right)$, $\forall x\in D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
g) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$ nên $ \forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $f(-x)$ $=\frac{\left| -x-1 \right|+\left| -x+1 \right|}{\left| -2x-1 \right|+\left| -2x+1 \right|}$ $=f\left( x \right)$, $\forall x\in D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
h) Điều kiện xác định: $\left| x-1 \right|\ne \left| x+1 \right|$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x-1\ne x+1 \\
x-1\ne -\left( x+1 \right) \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ne 0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, do đó $ \forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $f(-x)=\frac{\left| -x+2 \right|+\left| -x-2 \right|}{\left| -x-1 \right|-\left| -x+1 \right|}$ $=-f\left( x \right)$, $\forall x\in D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài toán 2. Đáp số $m = \frac{1}{2}.$
Bài toán 3.
a) Ta có hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ có tập xác định $\text{D}$.
Do hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$ lẻ nên $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D$ và $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$, $g\left( -x \right)=-g\left( x \right)$ suy ra $y\left( -x \right)=f\left( -x \right)+g\left( -x \right)$ $=-\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]$ $=-y\left( x \right).$
Suy ra hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ chẵn, $y=g\left( x \right)$ lẻ.
Khi đó hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ có tập xác định là $D$ nên $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có $y\left( -x \right)$ $=f\left( -x \right)g\left( -x \right)$ $=f\left( x \right)\left[ -g\left( x \right) \right]$ $=-f\left( x \right)g\left( x \right)$ $=-y\left( x \right).$
Do đó hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ lẻ.
Bài toán 4.
a) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}$, suy ra $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ $\Leftrightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( -x \right)}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{\left( -x \right)}^{2}}+(m+3)\left( -x \right)+m-3$ $ = – \left[ {{x^3} – ({m^2} – 9){x^2} + (m + 3)x + m – 3} \right]$ $ \Leftrightarrow 2({m^2} – 9){x^2} – 2\left( {m – 3} \right) = 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – 9 = 0}\\
{m – 3 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 3.$
b) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}$, suy ra $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn $\Leftrightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( -x \right)}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{\left( -x \right)}^{3}}+{{m}^{2}}-1$ $={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow 2({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}=0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=2 \\
\end{matrix} \right.$
Bài toán 5. Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}.$
Với mọi $x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $y\left( -x \right)$ $={{\left( -x \right)}^{2}}+\sqrt{3-\left( -x \right)}+\sqrt{3+\left( -x \right)}$ $={{x}^{2}}+\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}$ $=y\left( x \right).$
Do đó hàm số $y={{x}^{2}}+\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}$ là hàm số chẵn, nên nhận trục tung làm trục đối xứng.
1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có tập xác định $D.$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số chẵn nếu với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và $f\left( x \right)=f\left( x \right).$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số lẻ nếu với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$ và $f\left( x \right)=-f\left( x \right).$
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
3. Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D.$
• $f$ là hàm số chẵn $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \forall x\in D\Rightarrow -x\in D \\
& f(-x)=f(x) \\
\end{align} \right.$
• $f$ là hàm số lẻ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \forall x\in D\Rightarrow -x\in D \\
& f(-x)=-f(x) \\
\end{align} \right.$
Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
• Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
• Bước 2. Kiểm tra:
+ Nếu $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D$ thì chuyển qua bước 3.
+ Nếu tồn tại ${{x}_{0}}\in D$ mà $-{{x}_{0}}\notin D$ thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
• Bước 3. Xác định $f\left( -x \right)$ và so sánh với $f\left( x \right):$
+ Nếu $f\left( -x \right)$ = $f\left( x \right)$ thì kết luận hàm số là chẵn.
+ Nếu $f\left( -x \right)$ = $-f\left( x \right)$ thì kết luận hàm số là lẻ.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f(x)=3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x}.$
b) $f(x)={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
c) $f\left( x \right)=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}.$
d) $f(x)=\sqrt{2+x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}.$
a) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)$ $=3{{\left( -x \right)}^{3}}+2\sqrt[3]{-x}$ $=-\left( 3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x} \right)$ $=-f(x).$
Do đó $f(x)=3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x}$ là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)$ $={{\left( -x \right)}^{4}}+\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1}$ $={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=f(x).$
Do đó $f(x)={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ là hàm số chẵn.
c) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x+5\ge 0 \\
5-x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -5 \\
x\le 5 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -5\le x\le 5.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -5;5 \right].$
Với mọi $x\in \left[ -5;5 \right]$ ta có $-x\in \left[ -5;5 \right]$ và $f(-x)$ $=\sqrt{\left( -x \right)+5}+\sqrt{5-\left( -x \right)}$ $=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$ $=f(x).$
Do đó $f\left( x \right)=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$ là hàm số chẵn.
d) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
2+x\ge 0 \\
2-x>0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -2 \\
x<2 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow -2\le x<2.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\left[ -2;2 \right).$
Ta có ${{x}_{0}}=-2\in \left[ -2;2 \right)$ nhưng $-{{x}_{0}}=2\notin \left[ -2;2 \right).$
Vậy hàm số $f(x)=\sqrt{2+x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}$ không chẵn và không lẻ.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f(x)={{x}^{4}}-4x+2.$
b) $f\left( x \right)=\left| \left| x+2 \right|-\left| x-2 \right| \right|.$
c) $f(x)=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1.$
d) $f(x)=\left\{ \begin{matrix}
-1\:khi\:x<0 \\
0\:khi\:x=0 \\
1\:khi\:x>0 \\
\end{matrix} \right.$
a) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}.$
Ta có $f\left( -1 \right)=7$, $f\left( 1 \right)=-1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
f\left( -1 \right)\ne f\left( 1 \right) \\
f\left( -1 \right)\ne -f\left( 1 \right) \\
\end{matrix} \right.$
Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)=\left| \left| \left( -x \right)+2 \right|-\left| \left( -x \right)-2 \right| \right|$ $=\left| \left| x-2 \right|-\left| x+2 \right| \right|.$
Suy ra $f\left( -x \right)=f\left( x \right).$
Do đó $f\left( x \right)=\left| \left| x+2 \right|-\left| x-2 \right| \right|$ là hàm số chẵn.
c) Ta có $\sqrt{{{x}^{2}}+1}>\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\ge x$ $\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x\ne 0$ với mọi $x.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}.$
Mặt khác $\sqrt{{{x}^{2}}+1}>\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\ge -x$ $\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x\ne 0$, do đó $f(x)=\frac{{{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}-2{{x}^{2}}-1$ $=2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)$ $=2\left( -x \right)\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1}$ $=-2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=-f\left( x \right).$
Do đó $f(x)=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1$ là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}.$
Dễ thấy với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}.$
Với mọi $x>0$ ta có $-x<0$ suy ra $f\left( -x \right)=-1$, $f\left( x \right)=1$ $\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right).$
Với mọi $x<0$ ta có $-x>0$ suy ra $f\left( -x \right)=1$, $f\left( x \right)=-1$ $\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right).$
Và $f\left( -0 \right)=-f\left( 0 \right)=0.$
Do đó với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $f\left( -x \right)=-f\left( x \right).$
Vậy hàm số $f(x)=\left\{ \begin{matrix}
-1\:khi\:x<0 \\
0\:khi\:x=0 \\
1\:khi\:x>0 \\
\end{matrix} \right.$ là hàm số lẻ.
Ví dụ 3. Tìm $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)+\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ là hàm số chẵn.
Điều kiện xác định: $\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne m.$
Giả sử hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn suy ra $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện $\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne m.$
Ta có $f\left( -x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}.$
Suy ra $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$ $⇔ \frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ $=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)+\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ $\Leftrightarrow 2\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x=0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định $\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2=0$ $\Leftrightarrow m=\pm 1.$
+ Với $m=1$ ta có hàm số là $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}.$
Điều kiện xác định: $\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne 1\Leftrightarrow x\ne 0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.$
Dễ thấy với mọi $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ ta có $-x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và $f\left( -x \right)=f\left( x \right).$
Do đó $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}$ là hàm số chẵn.
+ Với $m=-1$ ta có hàm số là $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}.$
Tập xác định của hàm số: $\text{D}=\mathbb{R}.$
Dễ thấy với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-x\in \mathbb{R}$ và $f\left( -x \right)=f\left( x \right).$
Do đó $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}$ là hàm số chẵn.
Vậy $m=\pm 1$ là giá trị cần tìm.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Đề bài
Bài toán 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+5x}{{{x}^{2}}+4}.$
b) $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}-1}.$
c) $f\left( x \right)=\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}.$
d) $f\left( x \right)=\frac{x-5}{x-1}.$
e) $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1.$
f) $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}.$
g) $f(x)=\frac{\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|}{\left| 2x-1 \right|+\left| 2x+1 \right|}.$
h) $f(x)=\frac{\left| x+2 \right|+\left| x-2 \right|}{\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|}$
Bài toán 2. Tìm $m$ để hàm số: $y=f\left( x \right)$ $=\frac{x\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2m-1}{x-2m+1}$ là hàm số chẵn.
Bài toán 3. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$ có cùng tập xác định $D$. Chứng minh rằng:
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Bài toán 4.
a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng: $y={{x}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{x}^{2}}+(m+3)x+m-3.$
b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: $y={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1.$
Bài toán 5. Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: $y={{x}^{2}}+\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}$.
2. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Hàm số lẻ.
b) Hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số là $D=\left[ -1;1 \right]$ nên $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $f\left( -x \right)$ $=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}$ $=-f\left( x \right)$, $\forall x\in D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có $x=-1\in D$ nhưng $-x=1\notin D.$
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
e) Tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$.
Ta có $f\left( 1 \right)=2$, $f\left( -1 \right)=6.$
Suy ra $f\left( -1 \right)\ne f\left( 1 \right)$, $f\left( -1 \right)\ne -f\left( 1 \right).$
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
f) Tập xác định của hàm số là $D=\left( -\infty -1 \right)\cup \left( -1;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$ nên $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $f\left( -x \right)$ $=\frac{{{\left( -x \right)}^{3}}}{\left| -x \right|-1}$ $=-\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}$ $=-f\left( x \right)$, $\forall x\in D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
g) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$ nên $ \forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $f(-x)$ $=\frac{\left| -x-1 \right|+\left| -x+1 \right|}{\left| -2x-1 \right|+\left| -2x+1 \right|}$ $=f\left( x \right)$, $\forall x\in D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
h) Điều kiện xác định: $\left| x-1 \right|\ne \left| x+1 \right|$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x-1\ne x+1 \\
x-1\ne -\left( x+1 \right) \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ne 0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, do đó $ \forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $f(-x)=\frac{\left| -x+2 \right|+\left| -x-2 \right|}{\left| -x-1 \right|-\left| -x+1 \right|}$ $=-f\left( x \right)$, $\forall x\in D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài toán 2. Đáp số $m = \frac{1}{2}.$
Bài toán 3.
a) Ta có hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ có tập xác định $\text{D}$.
Do hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$ lẻ nên $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D$ và $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$, $g\left( -x \right)=-g\left( x \right)$ suy ra $y\left( -x \right)=f\left( -x \right)+g\left( -x \right)$ $=-\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]$ $=-y\left( x \right).$
Suy ra hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ chẵn, $y=g\left( x \right)$ lẻ.
Khi đó hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ có tập xác định là $D$ nên $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có $y\left( -x \right)$ $=f\left( -x \right)g\left( -x \right)$ $=f\left( x \right)\left[ -g\left( x \right) \right]$ $=-f\left( x \right)g\left( x \right)$ $=-y\left( x \right).$
Do đó hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ lẻ.
Bài toán 4.
a) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}$, suy ra $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ $\Leftrightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( -x \right)}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{\left( -x \right)}^{2}}+(m+3)\left( -x \right)+m-3$ $ = – \left[ {{x^3} – ({m^2} – 9){x^2} + (m + 3)x + m – 3} \right]$ $ \Leftrightarrow 2({m^2} – 9){x^2} – 2\left( {m – 3} \right) = 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – 9 = 0}\\
{m – 3 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 3.$
b) Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}$, suy ra $\forall x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn $\Leftrightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( -x \right)}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{\left( -x \right)}^{3}}+{{m}^{2}}-1$ $={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow 2({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}=0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=2 \\
\end{matrix} \right.$
Bài toán 5. Tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}.$
Với mọi $x\in D$ $\Rightarrow -x\in D.$
Ta có: $y\left( -x \right)$ $={{\left( -x \right)}^{2}}+\sqrt{3-\left( -x \right)}+\sqrt{3+\left( -x \right)}$ $={{x}^{2}}+\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}$ $=y\left( x \right).$
Do đó hàm số $y={{x}^{2}}+\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}$ là hàm số chẵn, nên nhận trục tung làm trục đối xứng.
