a) Giải và biện luận phương trình sin(x) = m (1)
Do sin(x) ∈ [-1; 1] nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau
Bước 1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng
Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 0,25
Khi đó ta có: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,,k \in Z$
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin (3x + \frac{\pi }{4})\,\, = \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
\sin (3x + \frac{\pi }{4})\,\, = \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin (3x + \frac{\pi }{4})\,\, = \,\,\sin \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \pi - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos(x) = m (2)
Ta cũng đi biện luận (2) theo m
Bước 1: Nếu |m| > 1 phương trình vô nghiệm .
Bước 2: Nếu |m| ≤ 1 ta xét 2 khả năng:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cosx = - 0,5
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1$
Vì $\frac{1}{3}\,\, \in \left[ {\, - \,1;\,1\,} \right]$ và 1/3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc α ∈ [0; π] sao cho cosα = 1/3
Ta có: $\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \cos \alpha \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{6} = \pm \alpha + k2\pi $
$ \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} \pm \alpha + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} \pm \frac{\alpha }{2} + k\pi \,\,\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tanx = m (3)
Ta cũng biện luận phương trình (3) theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cosx ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Bước 2: Xét 2 khả năng
Ví dụ 1: Giải phương trình $\tan x = \sqrt 3 $
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình $\tan (\frac{\pi }{5} - x) = 2$
Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt tan α = 2.
Từ đó ta có
$\tan (\frac{\pi }{5} - x)\,\, = \,\,2\,\, \Leftrightarrow \tan (\frac{\pi }{5} - x) = \tan \alpha \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} - x = \alpha + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{5} - \alpha - k\pi \,\,\,\,\,(k \in Z)$ Vậy phương trình có một họ nghiệm.
d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot(x) = m (4)
Ta cũng đi biện luận theo m
Bước1: Đặt điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \,\,\,\,\,k \in Z$
Bước 2: Xét 2 khả năng
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ (1)
Ta có:
(1) $\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \cot \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} - k\pi \,\,\,\,\,\,\,k \in Z$
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình $\cot (4x + {35^o}) = - 1$
$4x + {35^o} = - {45^o} + k{180^o} \Leftrightarrow 4x = - {80^o} + k{180^o}x = - {20^o} + k{45^o}\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức.
Do sin(x) ∈ [-1; 1] nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau
Bước 1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm
Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng
- Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử α khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi\end{array} \right.\,\,\,\,\,,k \in Z$
- Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt m = sinα. Ta có: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi\end{array} \right.\,\,\,\,\,,k \in Z$
- Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 0,25
Giải
Ta nhận thấy 0,25 không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt 0,25 = sinαKhi đó ta có: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,,k \in Z$
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin (3x + \frac{\pi }{4})\,\, = \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Giải
Do $\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $\begin{array}{l}\sin (3x + \frac{\pi }{4})\,\, = \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin (3x + \frac{\pi }{4})\,\, = \,\,\sin \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \pi - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm .
b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos(x) = m (2)
Ta cũng đi biện luận (2) theo m
Bước 1: Nếu |m| > 1 phương trình vô nghiệm .
Bước 2: Nếu |m| ≤ 1 ta xét 2 khả năng:
- Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc α. Khi đó phương trình có dạng
- Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó
- Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: cosx = - 0,5
Giải
Do $\cos (\pi - \frac{\pi }{3}) = \cos \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{1}{2}$ nên $\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,(k \in Z)$Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1$
Giải
$3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1 \Leftrightarrow \cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \frac{1}{3}$Vì $\frac{1}{3}\,\, \in \left[ {\, - \,1;\,1\,} \right]$ và 1/3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc α ∈ [0; π] sao cho cosα = 1/3
Ta có: $\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \cos \alpha \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{6} = \pm \alpha + k2\pi $
$ \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} \pm \alpha + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} \pm \frac{\alpha }{2} + k\pi \,\,\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tanx = m (3)
Ta cũng biện luận phương trình (3) theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện cosx ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Bước 2: Xét 2 khả năng
- Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng tan x = tan α ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
- Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt , khi đó đặt m = tan α ta được tan x = tan α ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
- Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình $\tan x = \sqrt 3 $
Giải
Do $\sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{6}$ nên ta có: $\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,k \in Z$ Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình $\tan (\frac{\pi }{5} - x) = 2$
Giải
Điều kiện: $\cos (\frac{\pi }{5} - x) \ne \,\,0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} - x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $Do không thể biểu diễn được qua của góc đặc biệt nên ta đặt tan α = 2.
Từ đó ta có
$\tan (\frac{\pi }{5} - x)\,\, = \,\,2\,\, \Leftrightarrow \tan (\frac{\pi }{5} - x) = \tan \alpha \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} - x = \alpha + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{5} - \alpha - k\pi \,\,\,\,\,(k \in Z)$ Vậy phương trình có một họ nghiệm.
d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot(x) = m (4)
Ta cũng đi biện luận theo m
Bước1: Đặt điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \,\,\,\,\,k \in Z$
Bước 2: Xét 2 khả năng
- Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt , giả sử α khi đó phương trình có dạng
- Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt , khi đó đặt m = cot(α) ta được
- Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (4) luôn có nghiệm.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ (1)
Giải
Điều kiện $\cos (\frac{\pi }{4} - x) \ne 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} - k\pi \,\,\,\,k \in Z$ (*)Ta có:
(1) $\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \cot \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} - k\pi \,\,\,\,\,\,\,k \in Z$
Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình $\cot (4x + {35^o}) = - 1$
Giải
Ta nhận thấy $\cot ( - {45^o}) = - 1$ nên ta có $\cot (4x + {35^o}) = - 1\,\, \Leftrightarrow \cot (4x + {35^o}) = \cot ( - {45^o})$$4x + {35^o} = - {45^o} + k{180^o} \Leftrightarrow 4x = - {80^o} + k{180^o}x = - {20^o} + k{45^o}\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .
Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức.
