Câu 1. Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí $X$ với xác suất 0,55. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí $X$thì nó xuất hiện ở vị trí $Y$. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí $X$và $Y$. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí $X$hoặc $Y$thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó. Nếu máy bay xuất hiện tại $X$thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại $Y$ thì bắn 1 quả tên lửa. Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Gọi $A$ là biến cố máy bay chiến đấu của đối phương xuất hiện ở vị trí $X$. Gọi $B$ là biến cố bắn hạ máy bay đối phương.
a) Xác suất bắn hạ máy bay đối phương là $0,988$
b) $P\left( \overline{B} \right)=0,2$
c) Biết rằng máy bay đối phương đã bị bắn hạ. Xác suất để máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí $X$ là
$0,58$( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
d) Xác suất để máy bay đối phương bị bắn hạ nếu nó xuất hiện ở vị trí $Y$ là $0,8$
Câu 2. Một căn phòng có dạng là một hình hộp chữ nhật, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$như hình vẽ sau:
Người ta thiết kế một công tắc điện tại điểm $M\left( 3;\,0;\,2 \right)$ và một bóng đèn để chiếu sáng căn phòng tại điểm $P$ là trung điểm của ${A}'{D}'$. Biết ${C}'\left( 6;\,8;\,4 \right)$. Khi đó:
a) Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( CB{B}' \right)$.
b) Mặt phẳng $\left( {B}'PC \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 2;\,3;\,6 \right)$.
c) $N$là điểm di động trên đoạn $A{A}'$. Dây cấp điện cho bóng đèn được đấu từ công tắc điện tại vị trí $M$
kéo đến điểm $N$rồi nối đến bóng đèn. Độ dài dây cấp điện cho bóng đèn tối thiểu bằng $\sqrt{53}\,$
d) Tọa độ điểm ${D}'$là $D'\left( 0;8;4 \right)$
Câu 3. Một chất điểm chuyển động trong 3 giây với vận tốc $v\left( t \right)=m\cos \left( \pi t \right)+n$ (đơn vị: m/s) trong đó $t$(giây) là biến thời gian và $m,\,n$ là các hằng số, có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
a) Vận tốc của chất điểm ở thời điểm $t=2$ giây là $8$ (m/s)
b) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t=2$ giây bằng 1
c) $n=10$
d) Tổng quãng đường vật đi được sau $3$ giây là $15$m
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ $\left( Oxyz \right)$, cho mặt phẳng$\left( P \right):2x-y+z+1=0$và hai điểm $A(2;-1;0),$$B(3\sqrt{3};0;-1)$. Điểm M di động trên mặt phẳng $\left( P \right)$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=-MA+7MB$ bằng $a\sqrt{b}(a,b\in \mathbb{N})$. Tính giá trị biểu thức $Q=3a+9b+2025$
Ta thấy $A,B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( P \right)$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên $\left( P \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT là $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;1 \right)$
Đường thẳng $AH$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm VTCP nên $AH:\,\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$
Do $H=AH\cap \left( P \right)\Rightarrow H\left( 0;0;-1 \right)\Rightarrow AH=\sqrt{6}$
Đường thẳng $BK$ đi qua $B$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm VTCP nên $BK:\,\frac{x-3\sqrt{3}}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{1}$
Do $K=BK\cap \left( P \right)\Rightarrow K\left( \sqrt{3};\sqrt{3};-\sqrt{3}-1 \right)\Rightarrow BK=3\sqrt{2}$ và $HK=3$
Đặt $MK=x>0$. Khi đó $MH\le MK+HK=3+x$.
Ta có $T=-MA+7MB=-\sqrt{6+M{{H}^{2}}}+7\sqrt{18+M{{K}^{2}}}$
$\Rightarrow T\ge -\sqrt{6+{{\left( 3+x \right)}^{2}}}+7\sqrt{18+{{x}^{2}}}=7\sqrt{18+{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}+6x+15}$
Xét hàm $f\left( x \right)=7\sqrt{18+{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}+6x+15}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$; ${f}'\left( x \right)=\frac{7x}{\sqrt{18+{{x}^{2}}}}-\frac{x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+6x+15}}$
$f'\left( x \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^3} + 26{x^2} + 72x + 27} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra${T_{\min }} = \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right)$ $ = 3\sqrt {73} = a\sqrt b $ $ \Rightarrow Q = 3a + 9b + 2025 = 2691$.
Câu 5. Một viên gạch hoa hình vuông có cạnh bằng $8$$(dm)$. Người ta thiết kế sử dụng 4 đường parabol cùng chung đỉnh tại tâm của viên gạch và đi qua hai đỉnh kề nhau của viên gạch để tạo thành bông hoa như hình vẽ. Diện tích của bông hoa (phần tô đậm trong hình vẽ) là $\frac{m}{n}$( đơn vị $d{{m}^{2}},m,n\in \mathbb{N},\frac{m}{n}$ là tối giản), tính giá trị biểu thức $T=2m+3n$.
Câu 1. Một doanh nghiệp Việt Nam sản xuất một loại sản phẩm để xuất khẩu vào thị trường Mỹ. Giả sử khi sản xuất được $x$sản phẩm ($x>0$), số tiền chi phí doanh nghiệp bỏ ra là$F\left( x \right)=5000-58x+{{x}^{2}}$ ( USD) và bộ phận nghiên cứu thị trường chỉ ra số sản phẩm bán ra phụ thuộc vào giá bán theo hàm cầu $x(t)=290-5t$($0<t<58)$.Trong đó t (USD) là giá bán mỗi sản phẩm và x(t) là số lượng sản phẩm bán được khi định giá ở mức t. Chính phủ Mỹ áp mức thuế 20% trên tổng doanh thu của công ty. Hỏi công ty cần bán bao nhiêu sản phẩm để doanh nghiệp thu được nhiều lợi nhuận nhất.
Câu 2. Quan sát hai hàng hoá thịt lợn và gạo người ta nhận thấy trong mỗi ngày giao dịch, nếu gạo không giảm giá thì thịt lợn giảm giá với xác suất $\frac{2}{5}$. Ngược lại, nếu thịt lợn không giảm giá thì gạo giảm giá với xác suất $\frac{4}{7}$. Hơn nữa, xác suất để cả thịt lợn và gạo giảm giá trong cùng một ngày là 0,1. Biết xác suất để có ít nhất một trong hai hàng hoá thịt lợn và gạo giảm giá trong một ngày giao dịch là $\frac{m}{n}$($m,n\in \mathbb{N},\frac{m}{n}$ là tối giản ), tính giá trị biểu thức $T=9m+5n$
a) Xác suất bắn hạ máy bay đối phương là $0,988$
b) $P\left( \overline{B} \right)=0,2$
c) Biết rằng máy bay đối phương đã bị bắn hạ. Xác suất để máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí $X$ là
$0,58$( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
d) Xác suất để máy bay đối phương bị bắn hạ nếu nó xuất hiện ở vị trí $Y$ là $0,8$
Gọi $A$ là biến cố máy bay chiến đấu của đối phương xuất hiện ở vị trí $X$ thì $\overline{A}$ là biến cố máy bay chiến đấu của đối phương xuất hiện ở vị trí $Y$.
Gọi $B$ là biến cố bắn hạ máy bay đối phương.
a) Ta có $P\left( A \right)=0,55;\,\,P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=0,45$; $\,\,P\left( \overline{B} \right)=0,04.0,55+0,2.0,45=0,112$
Vậy a) đúng
b) Khi $\overline{A}$ xảy ra cần bắn một quả tên lửa trong đó phải bắn trúng quả tên lửa đó. Do đó:
$P\left( B|\overline{A} \right)=0,8$. Vậy b) sai
c) Khi $A$ xảy ra cần bắn hai quả tên lửa trong đó trúng ít nhất một quả tên lửa. Do đó:
$P\left( B\mid A \right)=0,8.0,8+0,8.0,2+0,2.0,8=0,96$.
Xác suất bắn hạ máy bay đối phương là $P\left( B \right)=0,55.0,96+0,45.0,8=0,888$.
Vậy c) sai
d) Biết rằng máy bay đối phương đã bị bắn hạ. Xác suất đế máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí $X$ là:
$P\left( A\mid B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=\frac{P\left( A \right).P\left( B\mid A \right)}{P\left( B \right)}=\frac{0,55.0,96}{0,888}=\frac{22}{37}\approx 0,59$
Vậy d) sai
Gọi $B$ là biến cố bắn hạ máy bay đối phương.
a) Ta có $P\left( A \right)=0,55;\,\,P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=0,45$; $\,\,P\left( \overline{B} \right)=0,04.0,55+0,2.0,45=0,112$
Vậy a) đúng
b) Khi $\overline{A}$ xảy ra cần bắn một quả tên lửa trong đó phải bắn trúng quả tên lửa đó. Do đó:
$P\left( B|\overline{A} \right)=0,8$. Vậy b) sai
c) Khi $A$ xảy ra cần bắn hai quả tên lửa trong đó trúng ít nhất một quả tên lửa. Do đó:
$P\left( B\mid A \right)=0,8.0,8+0,8.0,2+0,2.0,8=0,96$.
Xác suất bắn hạ máy bay đối phương là $P\left( B \right)=0,55.0,96+0,45.0,8=0,888$.
Vậy c) sai
d) Biết rằng máy bay đối phương đã bị bắn hạ. Xác suất đế máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí $X$ là:
$P\left( A\mid B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=\frac{P\left( A \right).P\left( B\mid A \right)}{P\left( B \right)}=\frac{0,55.0,96}{0,888}=\frac{22}{37}\approx 0,59$
Vậy d) sai
Người ta thiết kế một công tắc điện tại điểm $M\left( 3;\,0;\,2 \right)$ và một bóng đèn để chiếu sáng căn phòng tại điểm $P$ là trung điểm của ${A}'{D}'$. Biết ${C}'\left( 6;\,8;\,4 \right)$. Khi đó:
a) Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( CB{B}' \right)$.
b) Mặt phẳng $\left( {B}'PC \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 2;\,3;\,6 \right)$.
c) $N$là điểm di động trên đoạn $A{A}'$. Dây cấp điện cho bóng đèn được đấu từ công tắc điện tại vị trí $M$
kéo đến điểm $N$rồi nối đến bóng đèn. Độ dài dây cấp điện cho bóng đèn tối thiểu bằng $\sqrt{53}\,$
d) Tọa độ điểm ${D}'$là $D'\left( 0;8;4 \right)$
a) Ta có $\left( AB{B}' \right)$ là mặt phẳng $\left( Oxz \right)$có phương trình $y=0$ nên $M\left( 3;\,0;\,2 \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( AB{B}' \right)$.
Vậy a) sai
b) Ta có $A'\left( 0;0;4 \right),D'\left( 0;8;4 \right)$ . Vậy b) đúng
c) Ta có $B'\left( 6;0;4 \right)$, $P\left( 0;4;4 \right)$, $C\left( 6;8;0 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{B'P}\left( -6;4;0 \right),\overrightarrow{PC}\left( 6;4;-4 \right)$ và $\left[ \overrightarrow{B'P};\overrightarrow{PC} \right]=\left( -16;-24;-48 \right)$ nên mặt phẳng $\left( {B}'PC \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 2;\,3;\,6 \right)$. Vậy c) đúng
d)
Ta có $M$ là tâm của hình chữ nhật $ABB'A'$.
Trải hai hình chữ nhật $ABB'A'$ và $ADD'A'$ trên cùng một mặt phẳng, ta có độ dài dây cáp ngắn nhất khi 3 điểm $M,N,P$thẳng hàng. Khi đó độ dài dây cáp bằng $MP$. Do $A'D'=8,AA'=4,AB=6$ nên $A'P=4,A'M=\sqrt{13}$ và
$\cos \widehat {MA'P} = \cos \left( {{{90}^o} + \widehat {MA'A}} \right)$ $ = \sin \left( { - \widehat {MA'A}} \right) = - \sin \left( {\widehat {MA'A}} \right)$ $ = - \sin \left( {\widehat {BA'A}} \right) = - \frac{{AB}}{{A'B}}$ $ = - \frac{6}{{2\sqrt {13} }} = - \frac{3}{{\sqrt {13} }}$.
Áp dụng định lý cosin ta có $M{{P}^{2}}=A'{{M}^{2}}+A'{{P}^{2}}-2A'M.A'P.\cos \widehat{MA'P}=53$.
Vậy độ dài dây cáp tối thiểu bằng $\sqrt{53}$. Vậy d) đúng
Vậy a) sai
b) Ta có $A'\left( 0;0;4 \right),D'\left( 0;8;4 \right)$ . Vậy b) đúng
c) Ta có $B'\left( 6;0;4 \right)$, $P\left( 0;4;4 \right)$, $C\left( 6;8;0 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{B'P}\left( -6;4;0 \right),\overrightarrow{PC}\left( 6;4;-4 \right)$ và $\left[ \overrightarrow{B'P};\overrightarrow{PC} \right]=\left( -16;-24;-48 \right)$ nên mặt phẳng $\left( {B}'PC \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 2;\,3;\,6 \right)$. Vậy c) đúng
d)
Ta có $M$ là tâm của hình chữ nhật $ABB'A'$.
Trải hai hình chữ nhật $ABB'A'$ và $ADD'A'$ trên cùng một mặt phẳng, ta có độ dài dây cáp ngắn nhất khi 3 điểm $M,N,P$thẳng hàng. Khi đó độ dài dây cáp bằng $MP$. Do $A'D'=8,AA'=4,AB=6$ nên $A'P=4,A'M=\sqrt{13}$ và
$\cos \widehat {MA'P} = \cos \left( {{{90}^o} + \widehat {MA'A}} \right)$ $ = \sin \left( { - \widehat {MA'A}} \right) = - \sin \left( {\widehat {MA'A}} \right)$ $ = - \sin \left( {\widehat {BA'A}} \right) = - \frac{{AB}}{{A'B}}$ $ = - \frac{6}{{2\sqrt {13} }} = - \frac{3}{{\sqrt {13} }}$.
Áp dụng định lý cosin ta có $M{{P}^{2}}=A'{{M}^{2}}+A'{{P}^{2}}-2A'M.A'P.\cos \widehat{MA'P}=53$.
Vậy độ dài dây cáp tối thiểu bằng $\sqrt{53}$. Vậy d) đúng
a) Vận tốc của chất điểm ở thời điểm $t=2$ giây là $8$ (m/s)
b) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t=2$ giây bằng 1
c) $n=10$
d) Tổng quãng đường vật đi được sau $3$ giây là $15$m
Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+4}{x}$.
Khi đó tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị là đoạn $OA$ sao cho độ dài đoạn $OA$ ngắn nhất.
Ta có $OA=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}^{2}}+4}{x} \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}}+8}\ge \sqrt{2\sqrt{32}+8}\approx 4,4$.
Dấu “=” xảy ra khi $x = - \sqrt[4]{8}$
Khi đó tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị là đoạn $OA$ sao cho độ dài đoạn $OA$ ngắn nhất.
Ta có $OA=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}^{2}}+4}{x} \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}+\frac{16}{{{x}^{2}}}+8}\ge \sqrt{2\sqrt{32}+8}\approx 4,4$.
Dấu “=” xảy ra khi $x = - \sqrt[4]{8}$
Ta thấy $A,B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( P \right)$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên $\left( P \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT là $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;1 \right)$
Đường thẳng $AH$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm VTCP nên $AH:\,\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$
Do $H=AH\cap \left( P \right)\Rightarrow H\left( 0;0;-1 \right)\Rightarrow AH=\sqrt{6}$
Đường thẳng $BK$ đi qua $B$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm VTCP nên $BK:\,\frac{x-3\sqrt{3}}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{1}$
Do $K=BK\cap \left( P \right)\Rightarrow K\left( \sqrt{3};\sqrt{3};-\sqrt{3}-1 \right)\Rightarrow BK=3\sqrt{2}$ và $HK=3$
Đặt $MK=x>0$. Khi đó $MH\le MK+HK=3+x$.
Ta có $T=-MA+7MB=-\sqrt{6+M{{H}^{2}}}+7\sqrt{18+M{{K}^{2}}}$
$\Rightarrow T\ge -\sqrt{6+{{\left( 3+x \right)}^{2}}}+7\sqrt{18+{{x}^{2}}}=7\sqrt{18+{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}+6x+15}$
Xét hàm $f\left( x \right)=7\sqrt{18+{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}+6x+15}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$; ${f}'\left( x \right)=\frac{7x}{\sqrt{18+{{x}^{2}}}}-\frac{x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+6x+15}}$
$f'\left( x \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^3} + 26{x^2} + 72x + 27} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra${T_{\min }} = \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right)$ $ = 3\sqrt {73} = a\sqrt b $ $ \Rightarrow Q = 3a + 9b + 2025 = 2691$.
Chọn hệ trục $Oxy$như hình vẽ.
Ta có: $A\left( 4;0 \right);B\left( 4;4 \right);C\left( 0;4 \right)$.
Các cánh hoa được tạo thành bởi 4 đường parabol có phương trình là: $y=\frac{{{x}^{2}}}{4};y=-\frac{{{x}^{2}}}{4};x=\frac{{{y}^{2}}}{4};x=-\frac{{{y}^{2}}}{4}$.
Diện tích của cánh hoa nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi các đường: $y=\frac{{{x}^{2}}}{4}$$y=2\sqrt{x}$; $x=0;x=4$, nên diện tích một cánh hoa bằng:
$S=\int\limits_{0}^{4}{\left( 2\sqrt{x}-\frac{{{x}^{2}}}{4} \right)}dx=\frac{16}{3}(d{{m}^{2}})$.
Vậy diện tích bông hoa là: $4S=\frac{64}{3}\left( d{{m}^{2}} \right)$. Khi đó $2m+3n=2.64+3.3=137$
Ta có: $A\left( 4;0 \right);B\left( 4;4 \right);C\left( 0;4 \right)$.
Các cánh hoa được tạo thành bởi 4 đường parabol có phương trình là: $y=\frac{{{x}^{2}}}{4};y=-\frac{{{x}^{2}}}{4};x=\frac{{{y}^{2}}}{4};x=-\frac{{{y}^{2}}}{4}$.
Diện tích của cánh hoa nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi các đường: $y=\frac{{{x}^{2}}}{4}$$y=2\sqrt{x}$; $x=0;x=4$, nên diện tích một cánh hoa bằng:
$S=\int\limits_{0}^{4}{\left( 2\sqrt{x}-\frac{{{x}^{2}}}{4} \right)}dx=\frac{16}{3}(d{{m}^{2}})$.
Vậy diện tích bông hoa là: $4S=\frac{64}{3}\left( d{{m}^{2}} \right)$. Khi đó $2m+3n=2.64+3.3=137$
Lợi nhuận = Doanh thu - chi phí - thuế
Doanh thu $d(t)=x.t=290t-5{{t}^{2}}$
Thuế $r(t)=0,2(290t-5{{t}^{2}})=58t-{{t}^{2}}$
Chi phí $c\left( t \right) = 5000 - 58(290 - 5t) + {(290 - 5t)^2}$ $ = 25{t^2} - 2610t + 72280$
Khi đó lợi nhuận là: $l\left( t \right)=d\left( t \right)-c\left( t \right)-r(t)$ với $0<t<58$
$=290t-5{{t}^{2}}-58t+{{t}^{2}}-(72280-2610t+25{{t}^{2}})$$~=-29{{t}^{2}}+2842t-72280$
Ta có $l'\left( t \right) = - 58t + 2842 = 0$ $ \Leftrightarrow t = \frac{{2842}}{{58}} = 49 \in \left( {0;58} \right)$ $ \Rightarrow x = 290 - 5.49 = 45$
Vậy công ty cần bán 45 sản phẩm để doanh nghiệp thu được nhiều lợi nhuận nhất.
Doanh thu $d(t)=x.t=290t-5{{t}^{2}}$
Thuế $r(t)=0,2(290t-5{{t}^{2}})=58t-{{t}^{2}}$
Chi phí $c\left( t \right) = 5000 - 58(290 - 5t) + {(290 - 5t)^2}$ $ = 25{t^2} - 2610t + 72280$
Khi đó lợi nhuận là: $l\left( t \right)=d\left( t \right)-c\left( t \right)-r(t)$ với $0<t<58$
$=290t-5{{t}^{2}}-58t+{{t}^{2}}-(72280-2610t+25{{t}^{2}})$$~=-29{{t}^{2}}+2842t-72280$
Ta có $l'\left( t \right) = - 58t + 2842 = 0$ $ \Leftrightarrow t = \frac{{2842}}{{58}} = 49 \in \left( {0;58} \right)$ $ \Rightarrow x = 290 - 5.49 = 45$
Vậy công ty cần bán 45 sản phẩm để doanh nghiệp thu được nhiều lợi nhuận nhất.
Gọi $A$ và $B$ lần lượt là biến cố thịt lợn và gạo giảm giá trong một phiên giao dịch.
Đặt $a=P\left( A \right)$ và $b=P\left( B \right)$ với $a,b\in \left[ 0;\,1 \right]$.
Khi đó ta có: $\frac{2}{5} = P\left( {A\mid \overline B } \right)$ $ = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( B \right)}}$ $ = \frac{{a - 0,1}}{{1 - b}} \Rightarrow 5a + 2b = 2,5\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Tương tự: $\frac{4}{7} = P\left( {B\mid \overline A } \right)$ $ = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}}$ $ = \frac{{b - 0,1}}{{1 - a}} \Rightarrow 4a + 7b = 4,7\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 5a + 2b = 2,5\\ 4a + 7b = 4,7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0,3\\ b = 0,5 \end{array} \right.$
Xác suất để có ít nhất một trong hai hàng hoá thịt lợn và gạo giảm giá trong một phiên giao dịch là:
$P\left( {A \cup B} \right)$ $ = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$ $ = 0,7 = \frac{7}{{10}} = \frac{m}{n}$ $ \Rightarrow 9m + 5n = 113$
Đặt $a=P\left( A \right)$ và $b=P\left( B \right)$ với $a,b\in \left[ 0;\,1 \right]$.
Khi đó ta có: $\frac{2}{5} = P\left( {A\mid \overline B } \right)$ $ = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( B \right)}}$ $ = \frac{{a - 0,1}}{{1 - b}} \Rightarrow 5a + 2b = 2,5\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Tương tự: $\frac{4}{7} = P\left( {B\mid \overline A } \right)$ $ = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}}$ $ = \frac{{b - 0,1}}{{1 - a}} \Rightarrow 4a + 7b = 4,7\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 5a + 2b = 2,5\\ 4a + 7b = 4,7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0,3\\ b = 0,5 \end{array} \right.$
Xác suất để có ít nhất một trong hai hàng hoá thịt lợn và gạo giảm giá trong một phiên giao dịch là:
$P\left( {A \cup B} \right)$ $ = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$ $ = 0,7 = \frac{7}{{10}} = \frac{m}{n}$ $ \Rightarrow 9m + 5n = 113$
