Công thức giải nhanh Nguyên Hàm - Tích Phân

[Tăng Giáp]

1. Đạo hàm các hàm số thường gặp:

$\begin{array}{l}
1/({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\\
2/(\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\
3/\left( {\frac{1}{x}} \right)' = - \frac{1}{{{x^2}}}\\
4/(\sin x)' = \cos x\\
5/(\cos x)' = - \sin x\\
6/(tgx)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
7/(\cot gx)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\
8/({e^x})' = {e^x}\\
9/({a^x})' = {a^x}\ln a\\
10/(\ln x)' = \frac{1}{x}\\
11/({\log _a}x)' = \frac{1}{{x.\ln a}}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
12/({u^\alpha })' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}.u'\\
13/(\sqrt u )' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\\
14/\left( {\frac{1}{u}} \right)' = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\\
15/(\sin u)' = u'.\cos u\\
16/(\cos u)' = - u'.\sin u\\
17/(tgu)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\\
18/(\cot gu)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\\
19/({e^u})' = u'{e^u}\\
20/({a^u})' = u'{a^u}\ln a\\
21/(\ln u)' = \frac{{u'}}{u}\\
22/({\log _a}u)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}
\end{array}$

2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
$\begin{array}{l}
\int {dx = x + C} \\
\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C{\rm{ }}(\alpha \ne 1)\\
\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\\
\int {\frac{{dx}}{{{x^2}}} = - \frac{1}{x}} + C\\
\int {{e^x}dx = {e^x}} + C
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C\\
\int {\cos xdx = \sin x + C} \\
\int {\sin xdx = - \cos x + C} \\
\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = tgx + C\\
\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot gx + C
\end{array}$

Chú ý: $\int {f(ax + b)dx = \frac{1}{a}} F(ax + b) + C$

3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng.
-Chọn công thức tính diện tích:

$\begin{array}{l}
S = \int\limits_b^a {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx\\
S = \int\limits_b^a {\left| {f(y) - g(y)} \right|} dy
\end{array}$

-Chọn công thức tính thể tích:
*Hình phẳng quay quanh trục Ox:
$V = \pi \int\limits_b^a {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|} dx$
*Hình phẳng quay quanh trục Oy:
$V = \pi \int\limits_b^a {\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \right|} dy$
-Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm.
Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao điểm.

 

[Tăng Giáp]

I. Nguyên hàm:

1 $\int {dx = x + C} $
2 $\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} $ $(\alpha \ne - 1)$
3 $\int {\frac{{dx}}{x}dx = \ln |x| + C} $ $(x \ne 0)$
4 $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $
5 $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} $ $(0 < a \ne 1)$
6 $\int {\sin xdx = - \cos x + C} $
7 $\int {\cos xdx = \sin x + C} $
8 $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = tgx + C} $ $(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi )$
9 $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - cotgx + C} $ $(x \ne k\pi )$

2. Một số nguyên hàm khác:
* Hàm y =$\frac{a}{{{{(x - \alpha )}^m}}}$ (m$ \ne $1) . Hàm số có dạng : $\frac{{u'}}{{{u^m}}}$ = u'.u-m (m$ \ne $1) với u = x-$\alpha $
Nguyên hàm là : $\int {\frac{a}{{{{(x - \alpha )}^m}}}} dx$ = a. $\frac{{ - 1}}{{(m - 1){{(x - \alpha )}^{m - 1}}}}$ + C

* Hàm y = $\frac{{2ax + b}}{{a{x^2} + bx + c}}$ . Đặt t = $a{x^2} + bx + c$ $ \Rightarrow $ t' = 2ax + b
Hàm số có dạng : $\frac{{t'}}{t}$ $ \Rightarrow $ Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln|$a{x^2} + bx + c$| + C
$ \Rightarrow $ $\int {\frac{{2ax + b}}{{a{x^2} + bx + c}}} dx = \ln |a{x^2} + bx + c| + C$

* Hàm $y = \frac{1}{{a{x^2} + bx + c}}$ . Ta có các trường hợp sau :
+ Mẫu số $a{x^2} + bx + c$có 2 nghiệm phân biệt x1,x¬2 và giả sử x1 < x¬2 . Ta có :
$a{x^2} + bx + c$= $a(x - {x_1})(x - {x_2})$. Ta có thể viết như sau :
$\int {\frac{1}{{a{x^2} + bx + c}}dx} $=$\int {\frac{1}{{a(x - {x_1})(x - {x_2})}}dx} $= $\frac{1}{a}\int {\left[ {\frac{{(x - {x_1}) - (x - {x_2})}}{{(x - {x_1})(x - {x_2})}}} \right]\frac{{dx}}{{{x_2} - {x_1}}}} $
=$\frac{1}{{a({x_2} - {x_1})}}\int {\left[ {\frac{1}{{x - {x_1}}} - \frac{1}{{x - {x_2}}}} \right]} dx$
=$\frac{1}{{a({x_2} - {x_1})}}\ln \left| {\frac{{x - {x_2}}}{{x - {x_1}}}} \right| + C$
+ Mẫu số có nghiệm kép : $a{x^2} + bx + c = a{(x - m)^2}$
$\int {\frac{1}{{a{x^2} + bx + c}}dx} = \int {\frac{{dx}}{{a{{(x - m)}^2}}}} = \frac{1}{a}\int {\frac{{dx}}{{{{(x - m)}^2}}}} = \frac{1}{a}\frac{{ - 1}}{{x - m}} + C$
+ Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm):
$a{x^2} + bx + c = a{(x + m)^2} \pm n$ . Đặt u = ${(x + m)^2}$. Ta có :
* $a{x^2} + bx + c = a.{u^2} + n$
$ \Rightarrow $$\int {\frac{1}{{a{u^2} + n}}} dx$ . Đặt $u = \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt a }}tgt$
* $a{x^2} + bx + c = a.{u^2} - n$ $ \Rightarrow $ $\int {\frac{1}{{a{u^2} - n}}} dx$ . Nguyên hàm là :
$\int {\frac{1}{{a{u^2} - n}}} dx = \frac{1}{a}\int {\frac{1}{{{u^2} - \frac{n}{a}}}} = \frac{1}{a}\frac{1}{{2\sqrt {\frac{n}{a}} }}\ln \left| {\frac{{u - \sqrt {\frac{n}{a}} }}{{u + \sqrt {\frac{n}{a}} }}} \right| + C$

3. Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ :
3.1. Hàm số có dạng : $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }}$ ; $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - {k^2}} }}$
* Cách 1 : Đặt $\sqrt {{x^2} + {k^2}} $= -x + t $ \Rightarrow $ t = x + $\sqrt {{x^2} + {k^2}} $
$ \Rightarrow $ dt = $(1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }})dx$= $\frac{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} + x}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }}dx$ = $\frac{t}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }}dx$
$ \Rightarrow $$\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} = \frac{{dt}}{t}$ . Do đó : $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} = \int {\frac{{dt}}{t} = \ln |t| + C = \ln |x + } } \sqrt {{x^2} + {k^2}} | + C$
*Cách 2: Biến đổi : $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} (x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} )}}$ ( Nhân tử và mẫu với $x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} $)
Ta có : $f(x) = \frac{{\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }} + 1}}{{(x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} )}}$ ( Chia tử và mẫu cho $\sqrt {{x^2} + {k^2}} $)
Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} $ . Suy ra : $\frac{{dt}}{t} = (1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {k^2}} }})dx$ $ \Rightarrow $ $f(x)dx = $$\frac{{dt}}{t}$
Vậy nguyên hàm là : $\int {f(x)dx} = \ln |t| + C = \ln |x + \sqrt {{x^2} + {k^2}} | + C$
Tương tự : $\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - {k^2}} }}dx} $$ = \ln |x + \sqrt {{x^2} - {k^2}} | + C$.

3.2. Hàm số dạng : $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {x^2}} }}$ và $f(u) = \frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {u^2}} }}$
Đặt $x = k\sin t$ với $x \in {\rm{[}}\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ (hoặc $x = k\cos t$ với $x \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}$)
$ \Rightarrow $$dx = k\cos tdt$ $ \Rightarrow $ $\int {\frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {x^2}} }}} dx = \int {\frac{{k\cos t.dt}}{{\sqrt {{k^2}(1 - \sin {t^2})} }}} $ =$\int {\frac{{k\cos t.dt}}{{k\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}t)} }}} = \int {\frac{{\cos t.dt}}{{|\cos t|}}} $
Vì $t \in {\rm{[}}\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ nên cost > 0 $ \Rightarrow $ $\int {\frac{{\cos t.dt}}{{|\cos t|}}} = \int {\frac{{\cos t}}{{\cos t}}} dt = \int {dt} = t + C$
Tương tự: $\int {\frac{1}{{\sqrt {{k^2} - {u^2}} }}} du$= $t + C$

3.3. Hàm số dạng : $f(x) = \sqrt {{x^2} - {k^2}} $ ; $f(u) = \sqrt {{u^2} - {k^2}} $
Nguyên hàm là : $\int {\sqrt {{x^2} - {k^2}} dx} = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} - {k^2}} + \frac{{{k^2}}}{2}\ln |x + \sqrt {{x^2} - {k^2}} | + C$
Cách khác: đặt $x = \frac{k}{{\sin t}}$ hoặc $x = \frac{k}{{{\rm{cos}}t}}$ với $t \in {\rm{[}}0;\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$

3.4. Hàm số dạng : $f(x) = \sqrt {a{x^2} + bx + {c^{}}} $
$ \Rightarrow $ Ta biến đổi về một trong hai dạng sau: $f(x) = \sqrt {{u^2} - {k^2}} $ hoặc $f(x) = \sqrt {{u^2} + {k^2}} $ rồi áp dụng theo mục 3.

3.5. Hàm số dạng : $f(x) = \sqrt {{x^2} + {k^2}} $ và $f(u) = \sqrt {{u^2} + {k^2}} $
Đặt $x = ktgt$ , $u = ktgt$ với $t \in {\rm{[ - }}\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$

3.6. Hàm số dạng : $f(x) = \frac{1}{{{x^2} - {m^2}}}$hoặc $f(u) = \frac{1}{{{u^2} - {m^2}}}$
Phân tích thành : $f(x) = \frac{1}{{{x^2} - {m^2}}}$=$\frac{1}{{x - m}} + \frac{1}{{x + m}}$ rồi áp dụng theo công thức đã học.


3.7. Hàm số dạng : $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {m^2}} }}$ hoặc $f(u) = \frac{1}{{\sqrt {{u^2} + {m^2}} }}$
+ Đặt $x = mtgt$ , $u = mtgt$ với $t \in {\rm{[ - }}\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$
$ \Rightarrow $ $\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {m^2}} }}} dx = \int {\frac{1}{{\sqrt {{m^2}(t{g^2}t + 1)} }}} .\frac{m}{{{{\cos }^2}t}}dt = \int {\frac{{|c{\rm{ost}}|}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{t}}}}} dx$
Vì $t \in {\rm{[ - }}\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}{\rm{]}}$ nên $\int {\frac{{|c{\rm{ost}}|}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{t}}}}} dx = \int {\frac{{c{\rm{ost}}}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} dt$
+ Đặt tiếp : $u = \sin t$$ \Rightarrow $ du = costdt .Do đó : $\int {\frac{{c{\rm{ost}}}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} dt = \int {\frac{1}{{1 - {u^2}}}} du$$ = - \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right| + C$

4. Các trường hợp tổng quát cần chú ý :
a. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx
b. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx
c. Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx :
R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)
d. Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx
e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt $t = tg\frac{x}{2}$

* Phương pháp chung:
A. Dạng f(x) = sin2nx.cos2mx :
(a) $\int {{{\sin }^{2n}}xdx = \int {(\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} } {)^2}dx$
(b) $\int {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2m}}xdx = \int {(\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} } {)^2}dx$
(c) $\int {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^{{\rm{2n}}}}xc{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2m}}xdx} $ . Thay cos2x = 1 – sin2x hoặc thay sin2x = 1 – cos2x rối chuyển về dạng (a) hoặc (b).
B. Dạng : $f(x) = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^{{\rm{2n}}}}x + a}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{{\rm{2m}}}} + b}}$. Đặt t = tgx