Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
• Khi tìm $\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta thường chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
• Khi tìm $\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]$ trong đó $\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty $ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} – n + 2}}.$
2. $B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}.$
3. $C = \lim \frac{{{{\left( {2{n^2} + 1} \right)}^4}{{\left( {n + 2} \right)}^9}}}{{{n^{17}} + 1}}.$
4. $D = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} – \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.$
1. Ta có: $A = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}.$
2. Ta có: $B = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 – \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}$ $ = \frac{1}{{1 – \sqrt 3 }}.$
3. Ta có: $C = $ $\lim \frac{{{n^8}{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{n^9}{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{{n^{17}}(1 + \frac{1}{{{n^{17}}}})}}$ $ = \lim \frac{{{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{1 + \frac{1}{{{n^{17}}}}}}$ $ = 16.$
4. Ta có: $D = $ $\lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} – \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} \right)}}$ $ = \frac{{1 – \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} – 1}}.$
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right).$
2. $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right).$
1. Ta có: $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{{n^2} + 6n – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}}$ $ = 3.$
2. Ta có: $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}$ $ = \lim \frac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \frac{9}{n}} + 1}}$ $ = 3.$
Ví dụ 6. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 2} + n} \right).$
2. $B = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} – n} \right).$
1. Ta có: $A = \lim n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right).$
Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = 2 > 0.$
Nên $A = + \infty .$
2. Ta có: $B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right).$
Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right)$ $ = \sqrt 2 – 1 > 0.$
Nên $B = + \infty .$
Ví dụ 7. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = $ $\lim \frac{{n\sqrt {1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)} }}{{2{n^2} + 1}}.$
2. $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {1 + 2 + … + n} – n}}{{\sqrt[3]{{{1^2} + {2^2} + … + {n^2}}} + 2n}}.$
1. Ta có: $1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = {n^2}.$
Suy ra $A = \lim \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + 1}}$ $ = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}}$ $ = \frac{1}{2}.$
2. Ta có:
$1 + 2 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.$
${1^2} + {2^2} + … + {n^2}$ $ = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}.$
Suy ra: $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {\frac{{n(n + 1)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{{n^3}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}} – 1}}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}} + 2}}.$
Ví dụ 8. Tìm các giới hạn sau:
1. $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$
2. $D = $ $\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right].$
1. Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra:
$\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$
Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$
2. Ta có: $\frac{1}{{k(k + 1)}}$ $ = \frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}$ nên suy ra $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}$ $ = 1 – \frac{1}{{n + 1}}.$
Vậy $D = \lim \left( {1 – \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.$
Ví dụ 9. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = \lim \frac{{{4^{n + 1}} – {5^{n + 1}}}}{{{4^n} + {5^n}}}.$
2. $B = \lim \frac{{{{4.3}^{n + 2}} – {{2.7}^{n – 1}}}}{{{4^n} + {7^{n + 1}}}}.$
1. Chia cả tử và mẫu cho ${5^n}$ ta có: $A = \lim \frac{{4{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} – 5}}{{{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1}} = – 5$ (do $\lim {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} = 0$).
2. Ta có: $B = $ $\lim \frac{{36{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} – \frac{2}{7}}}{{{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} + 7}}$ $ = – \frac{2}{{49}}.$
Ví dụ 10. Tìm giới hạn sau: $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$
Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra: $\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$
Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$
• Khi tìm $\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta thường chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
• Khi tìm $\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]$ trong đó $\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty $ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} – n + 2}}.$
2. $B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}.$
3. $C = \lim \frac{{{{\left( {2{n^2} + 1} \right)}^4}{{\left( {n + 2} \right)}^9}}}{{{n^{17}} + 1}}.$
4. $D = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} – \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.$
1. Ta có: $A = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}.$
2. Ta có: $B = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 – \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}$ $ = \frac{1}{{1 – \sqrt 3 }}.$
3. Ta có: $C = $ $\lim \frac{{{n^8}{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{n^9}{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{{n^{17}}(1 + \frac{1}{{{n^{17}}}})}}$ $ = \lim \frac{{{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{1 + \frac{1}{{{n^{17}}}}}}$ $ = 16.$
4. Ta có: $D = $ $\lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} – \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} \right)}}$ $ = \frac{{1 – \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} – 1}}.$
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right).$
2. $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right).$
1. Ta có: $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{{n^2} + 6n – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}}$ $ = 3.$
2. Ta có: $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}$ $ = \lim \frac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \frac{9}{n}} + 1}}$ $ = 3.$
Ví dụ 6. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 2} + n} \right).$
2. $B = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} – n} \right).$
1. Ta có: $A = \lim n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right).$
Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = 2 > 0.$
Nên $A = + \infty .$
2. Ta có: $B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right).$
Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right)$ $ = \sqrt 2 – 1 > 0.$
Nên $B = + \infty .$
Ví dụ 7. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = $ $\lim \frac{{n\sqrt {1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)} }}{{2{n^2} + 1}}.$
2. $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {1 + 2 + … + n} – n}}{{\sqrt[3]{{{1^2} + {2^2} + … + {n^2}}} + 2n}}.$
1. Ta có: $1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = {n^2}.$
Suy ra $A = \lim \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + 1}}$ $ = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}}$ $ = \frac{1}{2}.$
2. Ta có:
$1 + 2 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.$
${1^2} + {2^2} + … + {n^2}$ $ = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}.$
Suy ra: $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {\frac{{n(n + 1)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{{n^3}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}} – 1}}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}} + 2}}.$
Ví dụ 8. Tìm các giới hạn sau:
1. $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$
2. $D = $ $\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right].$
1. Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra:
$\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$
Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$
2. Ta có: $\frac{1}{{k(k + 1)}}$ $ = \frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}$ nên suy ra $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}$ $ = 1 – \frac{1}{{n + 1}}.$
Vậy $D = \lim \left( {1 – \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.$
Ví dụ 9. Tìm các giới hạn sau:
1. $A = \lim \frac{{{4^{n + 1}} – {5^{n + 1}}}}{{{4^n} + {5^n}}}.$
2. $B = \lim \frac{{{{4.3}^{n + 2}} – {{2.7}^{n – 1}}}}{{{4^n} + {7^{n + 1}}}}.$
1. Chia cả tử và mẫu cho ${5^n}$ ta có: $A = \lim \frac{{4{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} – 5}}{{{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1}} = – 5$ (do $\lim {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} = 0$).
2. Ta có: $B = $ $\lim \frac{{36{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} – \frac{2}{7}}}{{{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} + 7}}$ $ = – \frac{2}{{49}}.$
Ví dụ 10. Tìm giới hạn sau: $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$
Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra: $\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$
Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$
