Phương pháp: Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của $\overrightarrow{v}$. Để tìm tọa độ của $\overrightarrow{v}$ ta có thể giả sử $\overrightarrow{v}=\left( a;b \right)$, sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn $a,b$ và giải hệ tìm $a,b$.
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:3x+y-9=0$. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ có giá song song với $Oy$ biến $d$ thành $d’$ đi qua điểm $A\left( 1;1 \right)$.
Vì $\overrightarrow v $ có giá song song với $Oy$ nên $\overrightarrow v = \left( {0;k} \right)$ $\left( {k \ne 0} \right).$
Lấy $M\left( {x;y} \right) \in d$ $ \Rightarrow 3x + y – 9 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = y + k
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( * \right)$, ta được: $3x’ + y’ – k – 9 = 0.$
Do đó: ${T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) = d’:$ $3x + y – k – 9 = 0.$
Mà: $A\left( {1;1} \right)$ thuộc $d$, suy ra: $k = – 5.$
Vậy $\overrightarrow v = \left( {0; – 5} \right).$
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d:2x – 3y + 3 = 0$ và $d’:2x – 3y – 5 = 0.$ Tìm tọa độ $\overrightarrow v $ có phương vuông góc với $d$ để ${T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) = d’.$
Đặt $\overrightarrow v = \left( {a;b} \right).$
Lấy điểm $M\left( {x;y} \right)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $d:2x – 3y + 3 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right).$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x + a\\
y’ = y + b
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’ – a\\
y = y’ – b
\end{array} \right.$, thay vào $(*)$ ta được phương trình: $2x’ – 3y’ – 2a + 3b + 3 = 0.$
Từ giả thiết suy ra $ – 2a + 3b + 3 = – 5$ $ \Leftrightarrow 2a – 3b = – 8.$
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow n = \left( {2; – 3} \right)$, suy ra vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow u = \left( {3;2} \right).$
Do $\overrightarrow v \bot \overrightarrow u $ $ \Rightarrow \overrightarrow v .\overrightarrow u = 3a + 2b = 0.$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2a – 3b = – 8\\
3a + 2b = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – \frac{{16}}{{13}}\\
b = \frac{{24}}{{13}}
\end{array} \right.$
Vậy $\overrightarrow v = \left( { – \frac{{16}}{{13}};\frac{{24}}{{13}}} \right).$
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:3x+y-9=0$. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ có giá song song với $Oy$ biến $d$ thành $d’$ đi qua điểm $A\left( 1;1 \right)$.
Vì $\overrightarrow v $ có giá song song với $Oy$ nên $\overrightarrow v = \left( {0;k} \right)$ $\left( {k \ne 0} \right).$
Lấy $M\left( {x;y} \right) \in d$ $ \Rightarrow 3x + y – 9 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = y + k
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( * \right)$, ta được: $3x’ + y’ – k – 9 = 0.$
Do đó: ${T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) = d’:$ $3x + y – k – 9 = 0.$
Mà: $A\left( {1;1} \right)$ thuộc $d$, suy ra: $k = – 5.$
Vậy $\overrightarrow v = \left( {0; – 5} \right).$
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d:2x – 3y + 3 = 0$ và $d’:2x – 3y – 5 = 0.$ Tìm tọa độ $\overrightarrow v $ có phương vuông góc với $d$ để ${T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) = d’.$
Đặt $\overrightarrow v = \left( {a;b} \right).$
Lấy điểm $M\left( {x;y} \right)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $d:2x – 3y + 3 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right).$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x + a\\
y’ = y + b
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’ – a\\
y = y’ – b
\end{array} \right.$, thay vào $(*)$ ta được phương trình: $2x’ – 3y’ – 2a + 3b + 3 = 0.$
Từ giả thiết suy ra $ – 2a + 3b + 3 = – 5$ $ \Leftrightarrow 2a – 3b = – 8.$
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow n = \left( {2; – 3} \right)$, suy ra vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow u = \left( {3;2} \right).$
Do $\overrightarrow v \bot \overrightarrow u $ $ \Rightarrow \overrightarrow v .\overrightarrow u = 3a + 2b = 0.$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2a – 3b = – 8\\
3a + 2b = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – \frac{{16}}{{13}}\\
b = \frac{{24}}{{13}}
\end{array} \right.$
Vậy $\overrightarrow v = \left( { – \frac{{16}}{{13}};\frac{{24}}{{13}}} \right).$
