Phương pháp:
• Để dựng một điểm $M$ ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem $M$ là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.
• Sử dụng kết quả: Nếu ${T_{\overrightarrow v }}\left( N \right) = M$ và $N \in \left( H \right)$ thì $M \in \left( {H’} \right)$, trong đó $\left( {H’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( {\left( H \right)} \right)$ và kết hợp với $M$ thuộc hình $\left( K \right)$ (theo giả thiết) để suy ra $M \in \left( {H’} \right) \cap \left( K \right).$
Ví dụ 7. Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$ và hai điểm phân biệt $C,D$ nằm ngoài $\left( O \right)$. Hãy dựng dây cung $AB$ của đường tròn $\left( O \right)$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung $AB$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $ $ \Rightarrow {T_{\overrightarrow {CD} }}\left( A \right) = B.$
Nhưng $A \in \left( O \right)$ $ \Rightarrow B \in \left( {O’} \right) = {T_{\overrightarrow {DC} }}\left( {\left( O \right)} \right).$ Vậy $B$ vừa thuộc $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right)$ nên $B$ chính là giao điểm của $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right).$
Cách dựng:
+ Dựng đường tròn $\left( {O’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${T_{\overrightarrow {DC} }}.$
+ Dựng giao điểm $B$ của $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right).$
+ Dựng đường thẳng qua $B$ và song song với $CD$ cắt $\left( O \right)$ tại $A.$
Dây cung $AB$ là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có ${T_{\overrightarrow {DC} }}\left( A \right) = B$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $ $ \Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.
Nhận xét:
+ Nếu $CD>2R$ thì bài toán vô nghiệm .
+ Nếu $CD=2R$ thì có một nghiệm .
+ Nếu $CD<2R$ thì có hai nghiệm.
Ví dụ 8. Cho tam giác $ABC$. Dựng đường thẳng $d$ song song với $BC$, cắt hai cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $M, N$ sao cho $AM=CN$.
Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng $d$ thỏa mãn bài toán. Từ $M$ dựng đường thẳng song song với $AC$ cắt $BC$ tại $P$, khi đó $MNCP$ là hình bình hành nên $CN=PM$. Ta lại có $AM=CN$ suy ra $MP=MA$, từ đó ta có $AP$ là phân giác trong của góc $A.$
Cách dựng:
+ Dựng phân giác trong $AP$ của góc $A.$
+ Dựng đường thẳng đi qua $P$ song song với $AC$ cắt $AB$ tại $M.$
+ Dựng ảnh $N={{T}_{\overrightarrow{PM}}}\left( C \right)$.
Đường thẳng $MN$ chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có $MNCP$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel BC$ và $CN = PM$, ta có $\widehat {MAP}{\rm{ = }}\widehat {CAP} = \widehat {APM}$ $ \Rightarrow \Delta MAP$ cân tại $M$ $ \Rightarrow AM = MP.$ Vậy $AM = CN.$
Nhận xét: Bài toán có một nghiệm hình.
• Để dựng một điểm $M$ ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem $M$ là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.
• Sử dụng kết quả: Nếu ${T_{\overrightarrow v }}\left( N \right) = M$ và $N \in \left( H \right)$ thì $M \in \left( {H’} \right)$, trong đó $\left( {H’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( {\left( H \right)} \right)$ và kết hợp với $M$ thuộc hình $\left( K \right)$ (theo giả thiết) để suy ra $M \in \left( {H’} \right) \cap \left( K \right).$
Ví dụ 7. Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$ và hai điểm phân biệt $C,D$ nằm ngoài $\left( O \right)$. Hãy dựng dây cung $AB$ của đường tròn $\left( O \right)$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung $AB$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $ $ \Rightarrow {T_{\overrightarrow {CD} }}\left( A \right) = B.$
Nhưng $A \in \left( O \right)$ $ \Rightarrow B \in \left( {O’} \right) = {T_{\overrightarrow {DC} }}\left( {\left( O \right)} \right).$ Vậy $B$ vừa thuộc $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right)$ nên $B$ chính là giao điểm của $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right).$
Cách dựng:
+ Dựng đường tròn $\left( {O’} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua ${T_{\overrightarrow {DC} }}.$
+ Dựng giao điểm $B$ của $\left( O \right)$ và $\left( {O’} \right).$
+ Dựng đường thẳng qua $B$ và song song với $CD$ cắt $\left( O \right)$ tại $A.$
Dây cung $AB$ là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có ${T_{\overrightarrow {DC} }}\left( A \right) = B$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $ $ \Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.
Nhận xét:
+ Nếu $CD>2R$ thì bài toán vô nghiệm .
+ Nếu $CD=2R$ thì có một nghiệm .
+ Nếu $CD<2R$ thì có hai nghiệm.
Ví dụ 8. Cho tam giác $ABC$. Dựng đường thẳng $d$ song song với $BC$, cắt hai cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $M, N$ sao cho $AM=CN$.
Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng $d$ thỏa mãn bài toán. Từ $M$ dựng đường thẳng song song với $AC$ cắt $BC$ tại $P$, khi đó $MNCP$ là hình bình hành nên $CN=PM$. Ta lại có $AM=CN$ suy ra $MP=MA$, từ đó ta có $AP$ là phân giác trong của góc $A.$
Cách dựng:
+ Dựng phân giác trong $AP$ của góc $A.$
+ Dựng đường thẳng đi qua $P$ song song với $AC$ cắt $AB$ tại $M.$
+ Dựng ảnh $N={{T}_{\overrightarrow{PM}}}\left( C \right)$.
Đường thẳng $MN$ chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có $MNCP$ là hình bình hành, suy ra $MN\parallel BC$ và $CN = PM$, ta có $\widehat {MAP}{\rm{ = }}\widehat {CAP} = \widehat {APM}$ $ \Rightarrow \Delta MAP$ cân tại $M$ $ \Rightarrow AM = MP.$ Vậy $AM = CN.$
Nhận xét: Bài toán có một nghiệm hình.
