Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán của Sở GD&ĐT Hải Phòng. Có lời giải chi tiết, bám sát cấu trúc đề minh họa của Bộ GD&ĐT, giúp học sinh ôn luyện hiệu quả.
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2024}}$là
A. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{2023}.{{x}^{2023}}+C}$.
B. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=2024.{{x}^{2023}}+C}$.
C. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{2025}.{{x}^{2025}}+C}$.
D. $\int{f\left( x \right)\text{d}x={{x}^{2025}}+C}$.
Câu 2: Công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b\left( a<b \right)$, xung quanh trục $Ox$ là.
A. $V=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}dx$.
B. $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx$.
C. $V=\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx$.
D. $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx$.
Câu 3: Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
A. $R=4$.
B. $R=20$.
C. $R=9$.
D. $R=108$.
Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng nào dưới đây nhận $\overrightarrow{n}=\left( 3;1;-7 \right)$ là một vectơ pháp tuyến?
A. $3x+z+7=0$.
B. $3x-y-7z+1=0$.
C. $3x+y-7=0$.
D. $3x+y-7z-3=0$.
Câu 5: Hàm số $y=f\left( x \right)$có đồ thị như hình dưới đây
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là:
A. $y=2$.
B. $x=2$.
C. $y=1$.
D. $x=1$.
Câu 6: Cho các số thực dương $a$, $b$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}a=x$, ${{\log }_{2}}b=y$. Tính $P={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{3}} \right)$.
A. $P=6xy$.
B. $P=2x+3y$.
C. $P={{x}^{2}}{{y}^{3}}$.
D. $P={{x}^{2}}+{{y}^{3}}$.
Câu 7: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{-5}=\frac{z+5}{3}$. Điểm nào sau
đây thuộc đường thẳng $d$?
A. $M(3;4;-5)$.
B. $N(2;-5;3)$.
C. $P(-3;-4;5)$.
D. $Q(2;5;-3)$.
Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$. Góc tạo bởi giữa hai đường thẳng nào sau đây bằng $90{}^\circ $?
A. $SA,SB$.
B. $SA,SC$.
C. $SA,BD$.
D. $SB,AD$.
$\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ BD \subset \left( {ABCD} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BD\\ \Rightarrow \left( {SA,BD} \right) = 90^\circ . \end{array}$
Câu 9: Nghiệm của bất phương trình: ${{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2x-1}}\le {{\left( \frac{4}{3} \right)}^{-2+x}}$ là
A. $x\ge 1.$
B. $x<1.$
C. $x\le 1.$
D. $x>1.$
Câu 10: Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-3$, ${{u}_{6}}=27$. Tính công sai $d$.
A. $d=7$.
B. $d=5$.
C. $d=8$.
D. $d=6$.
Câu 11: Cho hình hộp $ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\left| \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BC} \right|=\left| \overrightarrow{B{{D}_{1}}} \right|$.
B. $\left| \overrightarrow{A{{B}_{1}}}+\overrightarrow{A{{D}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{A{{C}_{1}}} \right|$.
C. $\left| \overrightarrow{A{{B}_{1}}}-\overrightarrow{A{{D}_{1}}} \right|=\left| {{\overrightarrow{BD}}_{1}} \right|$.
D. $\left| \overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}D}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{D}_{1}}} \right|=0$.
Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{{D}_{1}}}$ suy ra $\left| \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BC} \right|=\left| \overrightarrow{B{{D}_{1}}} \right|$. Vậy A đúng.
$\overrightarrow{A{{B}_{1}}}+\overrightarrow{A{{D}_{1}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}=\overrightarrow{A{{C}_{1}}}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}\ne \overrightarrow{A{{C}_{1}}}.$
Vậy $\left| \overrightarrow{A{{B}_{1}}}+\overrightarrow{A{{D}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{A{{C}_{1}}} \right|$ hay B sai.
$\overrightarrow{A{{B}_{1}}}-\overrightarrow{A{{D}_{1}}}=\overrightarrow{{{D}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}.$
Vậy $\left| \overrightarrow{A{{B}_{1}}}-\overrightarrow{A{{D}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{BD} \right|$ hay C sai.
$\overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}D}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{D}_{1}}}=\overrightarrow{D{{D}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}D}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$ $ = \overrightarrow {{C_1}D} \, + \overrightarrow {D{D_1}} \, + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} = \overrightarrow {{C_1}{D_1}} + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} = 2\overrightarrow {{C_1}{D_1}} \ne \overrightarrow 0 $. Vậy $\left| \overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}D}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{D}_{1}}} \right|=0$ hay D sai.
Đáp án cần chọn là A.
Câu 12: Cho hàm số nào $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức có đạo hàm ${f}'\left( x \right)=x\left( {{x}^{2}}-1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}.$ Số điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
A. $4.$
B. $1.$
C. $2.$
D. $3.$
Câu 13: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+2}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và 2 điểm $A$, $B$ là hai điểm cực trị của $\left( C \right)$.
a) ${y}'=\frac{{{x}^{2}}+4x+3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$.
b) 2 điểm $A$ và $B$ nằm ở hai phía của trục tung.
c) Đường thẳng $AB$có phương trình là $y=2x+1$.
d) $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta $ có phương trình là $x+2y+4=0$.
a) Ta có $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+2}$ suy ra ${y}'=\frac{{{x}^{2}}+4x+3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$.
Do đó a) đúng.
b) ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-3 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right.$
$y\left( -3 \right)=-3$; $y\left( -1 \right)=1$
Suy ra $A\left( -3\,;\,-3 \right)$ và $B\left( -1\,;\,1 \right)$
Do ${{x}_{A}}.{{x}_{B}}=3>0$ nên $A$ và $B$ nằm ở cùng một phía của trục tung.
Do đó b) sai.
c) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 2\,;\,4 \right)$
Suy ra đường thẳng $AB$ có phương trình là $-2\left( x+1 \right)+\left( y-1 \right)=0$$\Leftrightarrow y=2x+3$.
Do đó c) sai.
d) Đường thẳng $\Delta $ có phương trình là $x+2y+4=0$ nên $\Delta $ có vtpt $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 1\,;\,2 \right)$.
$\overrightarrow{AB}=\left( 2\,;\,4 \right)$
Suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với nhau. Do đó $AB\bot \Delta $.
Ta có $I\left( -2\,;\,-1 \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $I\in \Delta $.
Vậy $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta $.
Do đó d) đúng.
Câu 14: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=14$ và điểm $M\left( -1;\,-3;\,-2 \right)$.
a) Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( -1;\,-2;\,-3 \right)$.
b) Khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $M$ là $IM=2$.
c) Điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
d) Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $y-z+5=0$.
Câu 15: Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn, trong đó có $65%$ bóng đèn là màu trắng và $35%$ bóng đèn là màu đỏ, các bóng đèn có kích thước như nhau. Các bóng đèn màu trắng có tỉ lệ hỏng là $2%$ và các bóng đèn màu xanh có tỉ lệ hỏng là $3%$. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên $1$ bóng đèn từ cửa hàng đó. Xét các biến cố:
a) $P\left( \overline{A} \right)=0,65$.
b) $P\left( B|A \right)=0,02$.
c) $P\left( B|\overline{A} \right)=0,3$.
d) $P\left( B \right)=0,9765$.
Câu 16: Cho hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3$ và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$
a) Ta có$\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx}=F\left( 2 \right)-F\left( -1 \right)$.
b) Nếu $F\left( 0 \right)=1$ thì $F\left( 2 \right)=12$.
c) Nếu $\int\limits_{0}^{2}{af\left( x \right)dx}=32$ thì $a=6$.
d) Cho $g\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right).{{e}^{3x}}$ là một nguyên hàm của hàm số ${{e}^{3x}}.f\left( x \right)$, nếu $\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{3x}}f\left( x \right)dx}=a+\frac{b.{{e}^{6}}}{27}$. Khi đó: $27a-b=-2$.
Gọi E trung điểm BC thì $BC\bot AE$ (vì ABC đều).
Có $\left\{ \begin{align} & BC\bot SA \\ & BC\bot AE \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot mp\left( SAE \right)$, mà $BC\subset (SBC)$$\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAE \right)$ hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SE, trong mp(SAE) dựng $AF\bot SE$tại F. Suy ra $AF\bot \left( SBC \right)$. Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AF$.
Trong tam giác vuông SAE có
$\frac{1}{A{{F}^{2}}}=\frac{1}{A{{S}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{2}{3{{a}^{2}}}+\frac{4}{3{{a}^{2}}}=\frac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Kết luận $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}\approx 0,71a$.
Câu 18: Trong Vật lý, một dao động điều hòa là dao động có phương trình chuyển động $x\left( t \right)=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$ Trong đó $A$là Biên độ của dao động. $\omega \left( rad/s \right)$là tần số góc. $\varphi \left( rad \right)$là pha ban đầu. Trong Vật lý, Động năng (Tiếng Anh: kinetic energy) của một vật là năng lượng mà nó có được từ chuyển động của nó. Được xác định bởi công thức. $\text{W}=\frac{1}{2}m.{{v}^{2}}\left( t \right)$ Trong đó $m\left( kg \right)$là khối lượng của vật. $v\left( t \right)\left( m/s \right)$là vận tốc của vật tại thời điểm $t\left( s \right)$.
Giả sử một vật có khối lượng $m=100\left( g \right)$ dao động điều hòa với phương trình chuyển động: $x=40\cos \left( 200\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right)$. Khi đó Động năng vật đó đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (J)? (Làm tròn đến hàng phần chục).
Câu 19: Xét hệ gồm hai nguyên tử khí argon $(\mathrm{Ar})$ ở trạng thái cơ bản, mỗi nguyên tử được coi là một khối cầu, khoảng cách $(d)$ giữa hai nguyên tử bằng khoảng cách giữa tâm của hai khô̂i cầu (tham khảo hình bên). Coi như không có tương tác bên ngoài nào tác động đến hệ, sự phụ thuộc của thế năng tương tác $V(d)$ giữa hai nguyên tử khí vào khoảng cách $d$ được xác định theo công thức:
$V(d)=4 \varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{d}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{d}\right)^6\right]$
Trong đó $\varepsilon$ và $\sigma$ là các hằng số đặc trưng cho từng khí hiếm. Đối với Ar, $\varepsilon=0,930$ và $\sigma=3,62$. Biết rằng khi thế năng tương tác đạt nhỏ nhất thì hệ hai nguyên tử Ar là bền nhất, khoảng cách $(d)$ mà hai nguyên tử đó bền nhất là?
(Công thức$V(d)$ có tên gọi là: Thế Lennard-Jones)
(Nguồn Wikipedia)
Câu 20: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-2z-3=0$ và điểm $A\left( 5;3;-2 \right)$. Một đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $A$ và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M,N$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$.
Câu 21: Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm $2015$. Nền sân là một elip $\left( E \right)$ có trục lớn dài $150m$, trục bé dài $90m$ (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của $\left( E \right)$và cắt elip ở $M,N$ (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm $I$ (phần tô đậm trong hình 4) với $MN$ là một dây cung và góc $\widehat{MIN}={{90}^{0}}.$ Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là $200\,\,BTU/{{m}^{3}}$. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50000 BTU?
Chọn hệ trục như hình vẽ
Ta cần tìm diện tích của $S\left( x \right)$thiết diện.
Gọi $d\left( O,MN \right)=x$
$\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{45}^{2}}}=1.$
Lúc đó $MN=2y=2\sqrt{{{45}^{2}}\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right)}=90\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}}}$
$\Rightarrow R=\frac{MN}{\sqrt{2}}=\frac{90}{\sqrt{2}}.\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}}}\Rightarrow {{R}^{2}}=\frac{{{90}^{2}}}{2}.\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right)$
$S\left( x \right)=\frac{1}{4}\pi {{R}^{2}}-\frac{1}{2}{{R}^{2}}=\left( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} \right){{R}^{2}}=\left( \pi -2 \right)\frac{2025}{2}.\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right).$
Vậy thể tích khoảng không bên dưới mái che và bên trên mặt sân là
$V=\int\limits_{-75}^{75}{\left( \pi -2 \right)\frac{2025}{2}.\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right)\approx 115586{{m}^{3}}.}$
Số chiếc điều hòa cần lắp là
$115586.200:50000 = 462,344$
Vậy cần $463$ chiếc điều hòa.
Câu 22: Một căn bệnh có 1% dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán căn bệnh nói trên có tỉ lệ chính xác là 98% ( với cả người bị bệnh và người không bị bệnh). Biết rằng nếu một người được sử dụng phương pháp trên để kiểm tra và cho kết quả dương tính (bị bệnh) thì xác suất người đó thực sự bị bệnh là $\frac{y}{296}$, y là số tự nhiên. Hỏi y bằng bao nhiêu?
$\begin{align}
& P(A|B)=\frac{P(A).P(B|A)}{P(A).P(B|A)+P(\overline{A}).P(B|\overline{A})} \\
& \text{ }=\frac{0,01.0,98}{0,01.0,98+0,99.0,02}=\frac{49}{148} \\
\end{align}$
Suy ra $y=98$.
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2024}}$là
A. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{2023}.{{x}^{2023}}+C}$.
B. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=2024.{{x}^{2023}}+C}$.
C. $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{2025}.{{x}^{2025}}+C}$.
D. $\int{f\left( x \right)\text{d}x={{x}^{2025}}+C}$.
Ta có: $\int{f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{2025}.{{x}^{2025}}+C}$.
A. $V=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}dx$.
B. $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx$.
C. $V=\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx$.
D. $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx$.
Đáp án B
| Mức giá (triệu đồng/${{m}^{2}}$) | [10;14) | [14;18) | [18;22) | [22;26) | [26;30) |
| Số khách hàng | 54 | 78 | 120 | 45 | 12 |
A. $R=4$.
B. $R=20$.
C. $R=9$.
D. $R=108$.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:$R=30-10=20$ (triệu đồng /${{m}^{2}}$)
A. $3x+z+7=0$.
B. $3x-y-7z+1=0$.
C. $3x+y-7=0$.
D. $3x+y-7z-3=0$.
Phương trình mặt phẳng $3x+y-7z-3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 3;1;-7 \right)$
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là:
A. $y=2$.
B. $x=2$.
C. $y=1$.
D. $x=1$.
Dựa vào đồ thị ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=1;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=1$. Chọn C.
A. $P=6xy$.
B. $P=2x+3y$.
C. $P={{x}^{2}}{{y}^{3}}$.
D. $P={{x}^{2}}+{{y}^{3}}$.
$P={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{3}} \right)$$={{\log }_{2}}{{a}^{2}}+{{\log }_{2}}{{b}^{3}}$$=2{{\log }_{2}}a+3{{\log }_{2}}b$$=2x+3y$
đây thuộc đường thẳng $d$?
A. $M(3;4;-5)$.
B. $N(2;-5;3)$.
C. $P(-3;-4;5)$.
D. $Q(2;5;-3)$.
Thay tọa độ của điểm $M(3;4;-5)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $\frac{3-3}{2}=\frac{4-4}{-5}=\frac{-5+5}{3}.$
Do đó $M\in d$
Do đó $M\in d$
A. $SA,SB$.
B. $SA,SC$.
C. $SA,BD$.
D. $SB,AD$.
$\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ BD \subset \left( {ABCD} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BD\\ \Rightarrow \left( {SA,BD} \right) = 90^\circ . \end{array}$
A. $x\ge 1.$
B. $x<1.$
C. $x\le 1.$
D. $x>1.$
$\begin{array}{l} {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x - 1}} \le {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{ - 2 + x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x - 1}} \le {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2 - x}}\\ \Leftrightarrow 2x - 1 \ge 2 - x \Leftrightarrow x \ge 1. \end{array}$
A. $d=7$.
B. $d=5$.
C. $d=8$.
D. $d=6$.
Ta có ${{u}_{6}}={{u}_{1}}+5d\Rightarrow 27=-3+5d\Rightarrow d=6$.
A. $\left| \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BC} \right|=\left| \overrightarrow{B{{D}_{1}}} \right|$.
B. $\left| \overrightarrow{A{{B}_{1}}}+\overrightarrow{A{{D}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{A{{C}_{1}}} \right|$.
C. $\left| \overrightarrow{A{{B}_{1}}}-\overrightarrow{A{{D}_{1}}} \right|=\left| {{\overrightarrow{BD}}_{1}} \right|$.
D. $\left| \overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}D}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{D}_{1}}} \right|=0$.
Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{{D}_{1}}}$ suy ra $\left| \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BC} \right|=\left| \overrightarrow{B{{D}_{1}}} \right|$. Vậy A đúng.
$\overrightarrow{A{{B}_{1}}}+\overrightarrow{A{{D}_{1}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}=\overrightarrow{A{{C}_{1}}}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}\ne \overrightarrow{A{{C}_{1}}}.$
Vậy $\left| \overrightarrow{A{{B}_{1}}}+\overrightarrow{A{{D}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{A{{C}_{1}}} \right|$ hay B sai.
$\overrightarrow{A{{B}_{1}}}-\overrightarrow{A{{D}_{1}}}=\overrightarrow{{{D}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}.$
Vậy $\left| \overrightarrow{A{{B}_{1}}}-\overrightarrow{A{{D}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{BD} \right|$ hay C sai.
$\overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}D}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{D}_{1}}}=\overrightarrow{D{{D}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}D}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$ $ = \overrightarrow {{C_1}D} \, + \overrightarrow {D{D_1}} \, + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} = \overrightarrow {{C_1}{D_1}} + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} = 2\overrightarrow {{C_1}{D_1}} \ne \overrightarrow 0 $. Vậy $\left| \overrightarrow{A{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}D}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{D}_{1}}} \right|=0$ hay D sai.
Đáp án cần chọn là A.
A. $4.$
B. $1.$
C. $2.$
D. $3.$
Ta có
$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1\\ x = 2\,\, \end{array} \right. \end{array}$
($x=2$ là nghiệm kép).
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có $2$ điểm cực tiểu.
$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1\\ x = 2\,\, \end{array} \right. \end{array}$
($x=2$ là nghiệm kép).
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có $2$ điểm cực tiểu.
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Trong mỗi ý a, b, c, d, ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.Câu 13: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+2}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và 2 điểm $A$, $B$ là hai điểm cực trị của $\left( C \right)$.
a) ${y}'=\frac{{{x}^{2}}+4x+3}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$.
b) 2 điểm $A$ và $B$ nằm ở hai phía của trục tung.
c) Đường thẳng $AB$có phương trình là $y=2x+1$.
d) $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta $ có phương trình là $x+2y+4=0$.
| a | b | c | d |
| Đúng | Sai | Sai | Đúng |
Do đó a) đúng.
b) ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-3 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right.$
$y\left( -3 \right)=-3$; $y\left( -1 \right)=1$
Suy ra $A\left( -3\,;\,-3 \right)$ và $B\left( -1\,;\,1 \right)$
Do ${{x}_{A}}.{{x}_{B}}=3>0$ nên $A$ và $B$ nằm ở cùng một phía của trục tung.
Do đó b) sai.
c) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 2\,;\,4 \right)$
Suy ra đường thẳng $AB$ có phương trình là $-2\left( x+1 \right)+\left( y-1 \right)=0$$\Leftrightarrow y=2x+3$.
Do đó c) sai.
d) Đường thẳng $\Delta $ có phương trình là $x+2y+4=0$ nên $\Delta $ có vtpt $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 1\,;\,2 \right)$.
$\overrightarrow{AB}=\left( 2\,;\,4 \right)$
Suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với nhau. Do đó $AB\bot \Delta $.
Ta có $I\left( -2\,;\,-1 \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $I\in \Delta $.
Vậy $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta $.
Do đó d) đúng.
a) Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( -1;\,-2;\,-3 \right)$.
b) Khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $M$ là $IM=2$.
c) Điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
d) Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $y-z+5=0$.
a) Đúng.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( -1;\,-2;\,-3 \right)$.
b) Sai.
Ta có: $IM=\sqrt{{{\left( -1+1 \right)}^{2}}+{{\left( -3+2 \right)}^{2}}+{{\left( -2+3 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}$.
c) Đúng.
Ta có $IM=\sqrt{2}$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=\sqrt{14}$$\Rightarrow IM<R$.
Vậy điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
d) Sai.
Do điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ luôn cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn.
Gọi $H$ là tâm của đường tròn giao tuyến $\Rightarrow IH\bot \left( P \right)$, do đó bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{14-I{{H}^{2}}}$. Suy ra bán kính $r$ nhỏ nhất khi $IH$ lớn nhất.
Ta có: $IH\le IM\Leftrightarrow IH\le \sqrt{2}\,\Rightarrow \max IH=\sqrt{2}$ khi $M$ trùng $H$, khi đó $IM\bot \left( P \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM}=\left( 0;\,-1;\,1 \right)$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là
$\begin{array}{l} 0.\left( {x + 1} \right) - \left( {y + 3} \right) + \left( {z + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y - z + 1 = 0 \end{array}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( -1;\,-2;\,-3 \right)$.
b) Sai.
Ta có: $IM=\sqrt{{{\left( -1+1 \right)}^{2}}+{{\left( -3+2 \right)}^{2}}+{{\left( -2+3 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}$.
c) Đúng.
Ta có $IM=\sqrt{2}$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=\sqrt{14}$$\Rightarrow IM<R$.
Vậy điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
d) Sai.
Do điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ luôn cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn.
Gọi $H$ là tâm của đường tròn giao tuyến $\Rightarrow IH\bot \left( P \right)$, do đó bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{14-I{{H}^{2}}}$. Suy ra bán kính $r$ nhỏ nhất khi $IH$ lớn nhất.
Ta có: $IH\le IM\Leftrightarrow IH\le \sqrt{2}\,\Rightarrow \max IH=\sqrt{2}$ khi $M$ trùng $H$, khi đó $IM\bot \left( P \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM}=\left( 0;\,-1;\,1 \right)$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là
$\begin{array}{l} 0.\left( {x + 1} \right) - \left( {y + 3} \right) + \left( {z + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y - z + 1 = 0 \end{array}$
- $A:$“Khách hàng chọn được bóng màu trắng”;
- $B:$“Khách hàng chọn được bóng không hỏng”;
a) $P\left( \overline{A} \right)=0,65$.
b) $P\left( B|A \right)=0,02$.
c) $P\left( B|\overline{A} \right)=0,3$.
d) $P\left( B \right)=0,9765$.
a) Sai
Ta có $P\left( A \right)=0,65$ nên $P\left( \overline{A} \right)=0,35$.
b) Sai
Vì các bóng đèn màu trắng có tỉ lệ hỏng là $2%$ nên $P\left( \overline{B}|A \right)=0,02$, suy ra $P\left( B|A \right)=1-P\left( \overline{B}|A \right)=1-0,02=0,98$.
c) Sai
Vì các bóng đèn màu xanh có tỉ lệ hỏng là $3%$ nên $P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=0,03$, suy ra $P\left( B|\overline{A} \right)=1-P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=1-0,03=0,97$.
d) Đúng
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
$\begin{align} & P\left( B \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right) \\ & =0,65.0,98+0,35.0,97 \\ & =0,9765 \\ \end{align}$.
Ta có $P\left( A \right)=0,65$ nên $P\left( \overline{A} \right)=0,35$.
b) Sai
Vì các bóng đèn màu trắng có tỉ lệ hỏng là $2%$ nên $P\left( \overline{B}|A \right)=0,02$, suy ra $P\left( B|A \right)=1-P\left( \overline{B}|A \right)=1-0,02=0,98$.
c) Sai
Vì các bóng đèn màu xanh có tỉ lệ hỏng là $3%$ nên $P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=0,03$, suy ra $P\left( B|\overline{A} \right)=1-P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=1-0,03=0,97$.
d) Đúng
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
$\begin{align} & P\left( B \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right) \\ & =0,65.0,98+0,35.0,97 \\ & =0,9765 \\ \end{align}$.
a) Ta có$\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx}=F\left( 2 \right)-F\left( -1 \right)$.
b) Nếu $F\left( 0 \right)=1$ thì $F\left( 2 \right)=12$.
c) Nếu $\int\limits_{0}^{2}{af\left( x \right)dx}=32$ thì $a=6$.
d) Cho $g\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right).{{e}^{3x}}$ là một nguyên hàm của hàm số ${{e}^{3x}}.f\left( x \right)$, nếu $\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{3x}}f\left( x \right)dx}=a+\frac{b.{{e}^{6}}}{27}$. Khi đó: $27a-b=-2$.
a) Đúng theo định nghĩa
b) Sai
$\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\left. \left( -\frac{{{x}^{3}}}{3}+4x \right) \right|_{-1}^{2}=\frac{16}{3}$
$\begin{align} & \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right) \\ & \Rightarrow F\left( 2 \right)=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}+F\left( 0 \right)=\frac{16}{3}+1=\frac{19}{3} \\ \end{align}$
c) Đúng
$\int\limits_{0}^{2}{af\left( x \right)dx}=32\Leftrightarrow a.\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=32$
$\Leftrightarrow a.\frac{16}{3}=32\Leftrightarrow a=6$
d) Đúng
Đặt $g\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right).{{e}^{3x}}$ là một nguyên hàm của hàm số ${{e}^{3x}}.f\left( x \right)$
Khi đó: ${g}'\left( x \right)={{e}^{3x}}.f\left( x \right)\Rightarrow 3.{{e}^{3x}}\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)+{{e}^{3x}}.\left( 2ax+b \right)={{e}^{3x}}.f\left( x \right)$
$\Rightarrow 3\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)+2ax+b=f\left( x \right)$
$\Rightarrow 3a{{x}^{2}}+\left( 3b+2a \right)x+3c+b=2{{x}^{2}}-3$
Đồng nhất hai vế, ta được: $\left\{ \begin{array}{l} 3a = 2\\ 2a + 3b = 0\\ b + 3c = - 3 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{2}{3}\\ b = - \frac{4}{9}\\ c = - \frac{{23}}{{27}} \end{array} \right.$
Vậy: $\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{3x}}f\left( x \right)dx}=\left. {{e}^{3x}}\left( \frac{2}{3}{{x}^{2}}-\frac{4}{9}x-\frac{23}{27} \right) \right|_{0}^{2}={{e}^{6}}.\frac{25}{27}+\frac{23}{27}$
Kết luận: $a=\frac{23}{27};\,b=25$ và $27a-b=-2$.
b) Sai
$\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\left. \left( -\frac{{{x}^{3}}}{3}+4x \right) \right|_{-1}^{2}=\frac{16}{3}$
$\begin{align} & \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=F\left( 2 \right)-F\left( 0 \right) \\ & \Rightarrow F\left( 2 \right)=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}+F\left( 0 \right)=\frac{16}{3}+1=\frac{19}{3} \\ \end{align}$
c) Đúng
$\int\limits_{0}^{2}{af\left( x \right)dx}=32\Leftrightarrow a.\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=32$
$\Leftrightarrow a.\frac{16}{3}=32\Leftrightarrow a=6$
d) Đúng
Đặt $g\left( x \right)=\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right).{{e}^{3x}}$ là một nguyên hàm của hàm số ${{e}^{3x}}.f\left( x \right)$
Khi đó: ${g}'\left( x \right)={{e}^{3x}}.f\left( x \right)\Rightarrow 3.{{e}^{3x}}\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)+{{e}^{3x}}.\left( 2ax+b \right)={{e}^{3x}}.f\left( x \right)$
$\Rightarrow 3\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)+2ax+b=f\left( x \right)$
$\Rightarrow 3a{{x}^{2}}+\left( 3b+2a \right)x+3c+b=2{{x}^{2}}-3$
Đồng nhất hai vế, ta được: $\left\{ \begin{array}{l} 3a = 2\\ 2a + 3b = 0\\ b + 3c = - 3 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{2}{3}\\ b = - \frac{4}{9}\\ c = - \frac{{23}}{{27}} \end{array} \right.$
Vậy: $\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{3x}}f\left( x \right)dx}=\left. {{e}^{3x}}\left( \frac{2}{3}{{x}^{2}}-\frac{4}{9}x-\frac{23}{27} \right) \right|_{0}^{2}={{e}^{6}}.\frac{25}{27}+\frac{23}{27}$
Kết luận: $a=\frac{23}{27};\,b=25$ và $27a-b=-2$.
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) $m.a;\,\,m\in \mathbb{R}.$Khi đó giá trị của $m$là (làm tròn đến hàng phần trăm), biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Gọi E trung điểm BC thì $BC\bot AE$ (vì ABC đều).
Có $\left\{ \begin{align} & BC\bot SA \\ & BC\bot AE \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot mp\left( SAE \right)$, mà $BC\subset (SBC)$$\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAE \right)$ hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SE, trong mp(SAE) dựng $AF\bot SE$tại F. Suy ra $AF\bot \left( SBC \right)$. Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AF$.
Trong tam giác vuông SAE có
$\frac{1}{A{{F}^{2}}}=\frac{1}{A{{S}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{2}{3{{a}^{2}}}+\frac{4}{3{{a}^{2}}}=\frac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Kết luận $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}\approx 0,71a$.
Giả sử một vật có khối lượng $m=100\left( g \right)$ dao động điều hòa với phương trình chuyển động: $x=40\cos \left( 200\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right)$. Khi đó Động năng vật đó đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (J)? (Làm tròn đến hàng phần chục).
Từ công thức $\text{W}=\frac{1}{2}m.{{v}^{2}}\left( t \right)$, để Động năng vật đó đạt giá trị lớn nhất thì $v\left( t \right)\left( m/s \right)$đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó ta có
$\begin{align} & v\left( t \right)={{\left( x\left( t \right) \right)}^{\prime }} \\ & ={{\left( 40\cos \left( 200\pi t-\frac{\pi }{3} \right) \right)}^{\prime }} \\ & =-8000\pi \sin \left( 200\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\left( cm/s \right) \\ \end{align}$.
Ta có $-8000\pi \le v\left( t \right)=-8000\pi \sin \left( 200\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\le 8000\pi $
Vậy $v\left( t \right)\left( m/s \right)$đạt giá trị lớn nhất bằng $8\pi \left( m/s \right)$.
Khi đó động năng lớn nhất của vật là: $\text{W}=\frac{1}{2}m.{{v}^{2}}=\frac{1}{2}.0,1.{{\left( 8\pi \right)}^{2}}\approx 31,6\left( J \right)$
Khi đó ta có
$\begin{align} & v\left( t \right)={{\left( x\left( t \right) \right)}^{\prime }} \\ & ={{\left( 40\cos \left( 200\pi t-\frac{\pi }{3} \right) \right)}^{\prime }} \\ & =-8000\pi \sin \left( 200\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\left( cm/s \right) \\ \end{align}$.
Ta có $-8000\pi \le v\left( t \right)=-8000\pi \sin \left( 200\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\le 8000\pi $
Vậy $v\left( t \right)\left( m/s \right)$đạt giá trị lớn nhất bằng $8\pi \left( m/s \right)$.
Khi đó động năng lớn nhất của vật là: $\text{W}=\frac{1}{2}m.{{v}^{2}}=\frac{1}{2}.0,1.{{\left( 8\pi \right)}^{2}}\approx 31,6\left( J \right)$
$V(d)=4 \varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{d}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{d}\right)^6\right]$
Trong đó $\varepsilon$ và $\sigma$ là các hằng số đặc trưng cho từng khí hiếm. Đối với Ar, $\varepsilon=0,930$ và $\sigma=3,62$. Biết rằng khi thế năng tương tác đạt nhỏ nhất thì hệ hai nguyên tử Ar là bền nhất, khoảng cách $(d)$ mà hai nguyên tử đó bền nhất là?
(Công thức$V(d)$ có tên gọi là: Thế Lennard-Jones)
(Nguồn Wikipedia)
Lời giải:
- Theo đề ta có thế năng tương tác đạt nhỏ nhất, Ta tìm:$\min V(d),\,d>0$.
$V(d)=4 \varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{d}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{d}\right)^6\right]=4 \varepsilon \sigma^6\left(\frac{\sigma^6}{d^{12}}-\frac{1}{d^6}\right)=4 \varepsilon \sigma^6\left(\sigma^6 d^{-12}-d^{-6}\right).$
$\Rightarrow {{V}^{\prime }}(d)=4\varepsilon {{\sigma }^{6}}\left( -12{{\sigma }^{6}}{{d}^{-13}}+6{{d}^{-7}} \right)=24\varepsilon {{\sigma }^{6}}\left( \frac{1}{{{d}^{7}}}-\frac{2{{\sigma }^{6}}}{{{d}^{13}}} \right)=0.$
$\Leftrightarrow \frac{1}{d^7}=\frac{2 \sigma^6}{d^{13}} \Leftrightarrow d^{13}=2 d^7 \sigma^6 \Leftrightarrow d^6=2 \sigma^6 \Rightarrow d=\sqrt[6]{2 \sigma^6} \approx 4,06 .$
Ta có bảng biến thiên
Khi đó $\underset{d\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,V(d)$ tại $d\approx 4,06.$
- Theo đề ta có thế năng tương tác đạt nhỏ nhất, Ta tìm:$\min V(d),\,d>0$.
$V(d)=4 \varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{d}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{d}\right)^6\right]=4 \varepsilon \sigma^6\left(\frac{\sigma^6}{d^{12}}-\frac{1}{d^6}\right)=4 \varepsilon \sigma^6\left(\sigma^6 d^{-12}-d^{-6}\right).$
$\Rightarrow {{V}^{\prime }}(d)=4\varepsilon {{\sigma }^{6}}\left( -12{{\sigma }^{6}}{{d}^{-13}}+6{{d}^{-7}} \right)=24\varepsilon {{\sigma }^{6}}\left( \frac{1}{{{d}^{7}}}-\frac{2{{\sigma }^{6}}}{{{d}^{13}}} \right)=0.$
$\Leftrightarrow \frac{1}{d^7}=\frac{2 \sigma^6}{d^{13}} \Leftrightarrow d^{13}=2 d^7 \sigma^6 \Leftrightarrow d^6=2 \sigma^6 \Rightarrow d=\sqrt[6]{2 \sigma^6} \approx 4,06 .$
Ta có bảng biến thiên
Khi đó $\underset{d\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,V(d)$ tại $d\approx 4,06.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;-1;1 \right)$, bán kính $R=3$.
$AI=\sqrt{34}>R\Rightarrow $ $A$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.
Do hai điểm $M,N$ nằm ở vị trí hai đầu một dây cung nên để ${{S}_{\min }}$ thì $N$ nằm giữa $A$ và $M$. Gọi $H$ là trung điểm $MN$ $\Rightarrow IH\bot MN,NH=\frac{1}{2}MN$.
$\begin{array}{l} S = 4\left( {AH - NH} \right) + AH + NH\\ = 5AH - 3NH\\ S = 5\sqrt {A{I^2} - I{H^2}} - 3\sqrt {{R^2} - I{H^2}} \\ = 5\sqrt {34 - {x^2}} - 3\sqrt {9 - {x^2}} ,x = IH \end{array}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=5\sqrt{34-{{x}^{2}}}-3\sqrt{9-{{x}^{2}}},\left( 0\le x<3 \right)$.
${f}'\left( x \right)=\frac{-5x}{\sqrt{34-{{x}^{2}}}}+\frac{3x}{\sqrt{{{3}^{2}}-{{x}^{2}}}}=x\left( \frac{-5}{\sqrt{34-{{x}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{3}^{2}}-{{x}^{2}}}} \right)$.
Xét $\left( \frac{-5}{\sqrt{34-{{x}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}} \right)>0$ $\Leftrightarrow 5\sqrt{9-{{x}^{2}}}<3\sqrt{34-{{x}^{2}}}$$\Leftrightarrow 225-25{{x}^{2}}<9.34-9{{x}^{2}}\Leftrightarrow 16{{x}^{2}}+81>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Suy ra ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 0;3 \right),{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;3 \right)$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;3 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=5\sqrt{34}-9\approx 20,2$
$AI=\sqrt{34}>R\Rightarrow $ $A$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.
Do hai điểm $M,N$ nằm ở vị trí hai đầu một dây cung nên để ${{S}_{\min }}$ thì $N$ nằm giữa $A$ và $M$. Gọi $H$ là trung điểm $MN$ $\Rightarrow IH\bot MN,NH=\frac{1}{2}MN$.
$\begin{array}{l} S = 4\left( {AH - NH} \right) + AH + NH\\ = 5AH - 3NH\\ S = 5\sqrt {A{I^2} - I{H^2}} - 3\sqrt {{R^2} - I{H^2}} \\ = 5\sqrt {34 - {x^2}} - 3\sqrt {9 - {x^2}} ,x = IH \end{array}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=5\sqrt{34-{{x}^{2}}}-3\sqrt{9-{{x}^{2}}},\left( 0\le x<3 \right)$.
${f}'\left( x \right)=\frac{-5x}{\sqrt{34-{{x}^{2}}}}+\frac{3x}{\sqrt{{{3}^{2}}-{{x}^{2}}}}=x\left( \frac{-5}{\sqrt{34-{{x}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{3}^{2}}-{{x}^{2}}}} \right)$.
Xét $\left( \frac{-5}{\sqrt{34-{{x}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}} \right)>0$ $\Leftrightarrow 5\sqrt{9-{{x}^{2}}}<3\sqrt{34-{{x}^{2}}}$$\Leftrightarrow 225-25{{x}^{2}}<9.34-9{{x}^{2}}\Leftrightarrow 16{{x}^{2}}+81>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Suy ra ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 0;3 \right),{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;3 \right)$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;3 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=5\sqrt{34}-9\approx 20,2$
Chọn hệ trục như hình vẽ
Ta cần tìm diện tích của $S\left( x \right)$thiết diện.
Gọi $d\left( O,MN \right)=x$
$\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{45}^{2}}}=1.$
Lúc đó $MN=2y=2\sqrt{{{45}^{2}}\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right)}=90\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}}}$
$\Rightarrow R=\frac{MN}{\sqrt{2}}=\frac{90}{\sqrt{2}}.\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}}}\Rightarrow {{R}^{2}}=\frac{{{90}^{2}}}{2}.\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right)$
$S\left( x \right)=\frac{1}{4}\pi {{R}^{2}}-\frac{1}{2}{{R}^{2}}=\left( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} \right){{R}^{2}}=\left( \pi -2 \right)\frac{2025}{2}.\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right).$
Vậy thể tích khoảng không bên dưới mái che và bên trên mặt sân là
$V=\int\limits_{-75}^{75}{\left( \pi -2 \right)\frac{2025}{2}.\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right)\approx 115586{{m}^{3}}.}$
Số chiếc điều hòa cần lắp là
$115586.200:50000 = 462,344$
Vậy cần $463$ chiếc điều hòa.
$\begin{align}
& P(A|B)=\frac{P(A).P(B|A)}{P(A).P(B|A)+P(\overline{A}).P(B|\overline{A})} \\
& \text{ }=\frac{0,01.0,98}{0,01.0,98+0,99.0,02}=\frac{49}{148} \\
\end{align}$
Suy ra $y=98$.
