Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán của Sở GD&ĐT Đà Nẵng kèm đáp án chi tiết. Tài liệu ôn luyện sát đề minh họa, hỗ trợ học sinh luyện tập hiệu quả.
Câu 1. Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình chữ nhật và \( SA \perp (ABCD) \). Khoảng cách từ điểm \( D \) đến mặt phẳng \( (SAB) \) bằng:
A. \( SA \)
B. \( BD \)
C. \( DA \)
D. \( SD \)
Ta có $ SA\bot (ABCD) $ nên $ SA\bot DA $ , lại có $ ABCD $ là hình chữ nhật nên $ AB\bot DA $ . Từ đó suy ra $ DA\bot (SAB) $ nên khoảng cách từ điểm $ D $ đến mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ DA $ .
Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \( y = \sin x \), \( y = \cos x \) và các đường thẳng \( x = 0 \), \( x = \pi \) được tính bằng công thức:
A. \( S = \int_0^\pi (-\sin x + \cos x)\,dx \).
B. \( S = \int_0^\pi |\sin x - \cos x|\,dx \).
C. \( S = \int_0^\pi (\sin x - \cos x)\,dx \).
D. \( S = \int_0^\pi (\sin x + \cos x)\,dx \).
Câu 3. Khảo sát thời gian tự học của một số học sinh lớp 11 trong một ngày, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là:
A. [60; 90)
B. [0; 30)
C. [30; 60)
D. [90; 120)
Ta có $ \frac{n}{2}=\frac{45}{2}=22,5 $ . Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $ 22,5 $ là nhóm $ 3 $ .
Ta có $ {{M}_{e}}={{Q}_{2}}=s+\frac{\frac{n}{2}-c{{f}_{2}}}{{{n}_{3}}}.h $ $ =60+\frac{22,5-22}{11}.30\approx 61,36 $ $ \in \left[ 60;90 \right) $ .
Câu 4. Trong không gian \( Oxyz \), mặt phẳng \( (Oyz) \) có một vectơ pháp tuyến là:
A. \( \vec{n}_3(1; 1; 1) \)
B. \( \vec{n}_2(0; 0; 0) \)
C. \( \vec{n}_1(0; 1; 1) \)
D. \( \vec{n}_4(1; 0; 0) \)
Câu 5. Đồ thị hàm số \( y = -x + 2 + \frac{1}{x} \) có đường tiệm cận xiên là:
A. \( y = -x + 2 \)
B. \( y = -\frac{1}{x} \)
C. \( y = x - 2 \)
D. \( y = \frac{1}{x} \)
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình \( e^x > 1 \) là:
A. \( (1; +\infty) \)
B. \( (-\infty; 0) \)
C. \( (-\infty; +\infty) \)
D. \( (0; +\infty) \)
Câu 7. Nghiệm của phương trình \( \log_4 x = 0 \) là:
A. \( x = -1 \)
B. \( x = 1 \)
C. \( x = 0 \)
D. \( x = 4 \)
Câu 8. Trong không gian \( Oxyz \), phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( E(-1; 4; 2) \) và điểm \( F(-5; 0; 3) \) là:
A. \( \dfrac{x+1}{-4} = \dfrac{y-4}{-4} = \dfrac{z-2}{1} \)
B. \( \dfrac{x+4}{-1} = \dfrac{y+4}{4} = \dfrac{z-1}{2} \)
C. \( \dfrac{x-4}{-1} = \dfrac{y-4}{4} = \dfrac{z+1}{2} \)
D. \( \dfrac{x-1}{-4} = \dfrac{y+4}{-4} = \dfrac{z+2}{1} \)
Câu 9. Nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2\sin x \) là:
A. \( -\cos x + C \)
B. \( \cos x + C \)
C. \( 2\cos x + C \)
D. \( -2\cos x + C \)
Câu 10. Cho cấp số cộng \( (u_n) \) có \( u_1 = 1 \) và \( u_2 = -3 \). Số hạng \( u_4 \) của cấp số cộng đã cho là:
A. \( -11 \)
B. \( -27 \)
C. \( -7 \)
D. \( -14 \)
Câu 11. Cho hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2025 \). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng:
A. \( (0; 2) \)
B. \( (-\infty; 0) \)
C. \( (-\infty; +\infty) \)
D. \( (2; +\infty) \)
Câu 12. Cho tứ diện \( S.ABC \) có các cạnh \( SA, SB, SC \) đôi một vuông góc và \( SA = SB = SC = 1 \). Gọi \( \alpha \) là góc phẳng nhị diện \( [S, BC, A] \). Tính \( \cos \alpha \).
A. \( \dfrac{2}{5} \)
B. \( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
C. \( \dfrac{1}{3} \)
D. \( \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \)
Câu 1. Cho hàm số \( f(x) = -2x^4 + 4x^2 + 1 \) có đồ thị \( (C) \).
a) \( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là \( f'(x) = -8x^3 + 8x + 1 \).
c) Tập nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) là \( S = \{-1; 0; 1\} \).
d) Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) là 1.
Câu 2. Một bể chứa dầu ban đầu có 50.000 lít dầu. Gọi \( V(t) \) là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm \( t \), trong đó \( t \) tính theo giờ \( (0 \leq t \leq 24) \). Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số \( V'(t) = k \cdot \sqrt{t} \), với \( k \) là hằng số dương. Sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt 58.000 lít.
a) Hàm số \( V(t) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(t) = k \cdot \sqrt{t} \).
b) \( V(t) = \dfrac{2k}{3} \cdot t\sqrt{t} + C \), với \( 0 \le t \le 24 \) và \( k, C \) là các hằng số.
c) Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được 148.000 lít.
d) Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ 500 lít/giờ, thì tại thời điểm \( t = 9 \) giờ, thể tích dầu trong bể là 72.500 lít.
Câu 3. Một nghiên cứu tại một trường đại học cho biết tỷ lệ sinh viên dùng cà phê để duy trì tỉnh táo khi học vào ban đêm là 70%. Giả sử chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên từ nhóm khảo sát trên để phỏng vấn.
a) Xác suất để cả 3 sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tỉnh táo là 0,343.
b) Xác suất trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê là 0,657.
c) Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên dùng cà phê là 0,189.
d) Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên dùng cà phê và 1 sinh viên không dùng cà phê lớn hơn 0,45.
Câu 4. Một radar phòng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) trong không gian \(Oxyz\), mỗi đơn vị trên các trục tọa độ tương ứng với 1 km. Radar này có khả năng phát hiện các mục tiêu bay trong bán kính 250 km. Một máy bay không người lái (UAV) đang bay thẳng đều từ vị trí điểm \(A(300; -400; 100)\) đến điểm \(B=(-300; 400; 100)\). UAV bay với vận tốc không đổi 900 km/h và mang theo thiết bị gây nhiễu chỉ đóng cắt tầm hiệu quả 50 km tính từ UAV.
(tham khảo từ Stimson’s Introduction to Airborne Radar, 3rd Edition, George W. Stimson, Hugh D. Griffiths, Christopher Baker, Dave Adamy.)
a) Radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí A.
b) Phương trình tham số của đường bay của UAV là $ \begin{cases} x = 300 - 3t \\ y = -400 + 4t \\ z = 100 \end{cases} \quad , t \in \mathbb{R} $
c) Trong suốt quá trình bay, sẽ có thời điểm UAV gây nhiễu được radar.
d) Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian hơn 30 phút.
Câu 1. Một chiếc lều hình chóp có đáy là hình vuông, mỗi cạnh dài 200 cm. Đỉnh lều nằm thẳng đứng phía trên tâm của hình vuông, và chiều cao của lều là 206 cm. Người ta dùng 4 cọc bằng nhau nối từ 4 góc của đáy đến đỉnh lều để dựng lều. Chiều dài tối thiểu của mỗi cây cọc là bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm)?
Câu 2. Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ với \( a, b, c \) là các hệ số. Trong đó, \( x \) ( \( 0 \le x \le 9, x \in \mathbb{N} \)) là số tháng kể từ đầu năm học và \( f(x) \) là điểm trong tháng thứ \( x \). Qua theo dõi, giáo viên nhận thấy đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức điểm thấp nhất trong năm học, là 3 điểm. Kể từ tháng thứ tư trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.
Câu 3. Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu.
Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty S để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khi cầu đang bay ở độ cao 50 km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh S có tọa độ trong không gian \( Oxyz \) (đơn vị km) như sau:
Vệ tinh A tại vị trí \( A(103;204;62) \), vệ tinh B tại vị trí \( B(106;208;74) \), và vệ tinh C tại vị trí \( C(105;212;134) \). Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí M của khinh khí cầu đến các vệ tinh là:
- \( MA = 13 \text{ km} \)
- \( MB = 26 \text{ km} \)
- \( MC = 85 \text{ km} \)
Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ \( O \) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).
Câu 4. Một xe mô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì tài xế giảm ga và kéo phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc được mô tả bởi phương trình: $ v(t) = -4t + 20 \ (\text{m/s}), $ trong đó thời gian \( t \) được tính bằng giây. Hỏi từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét?
Câu 5. Một công ty trung bình bán được 600 chiếc máy lọc không khí mỗi tháng với giá 10 triệu đồng một chiếc. Một khảo sát cho thấy nếu giảm giá bán mỗi chiếc 400 nghìn đồng, thì số lượng bán ra tăng thêm khoảng 60 chiếc mỗi tháng. Gọi \( p \) (triệu đồng) là giá của mỗi máy, \( x \) là số máy bán ra. Khi đó, hàm cầu là \( p = p(x) \) và hàm doanh thu là \( R(p) = p \cdot x \). Hỏi công ty phải bán mỗi máy với số tiền bao nhiêu triệu đồng để doanh thu là lớn nhất?
Câu 6. Trong một đợt kiểm tra sức khỏe tại trường, có 200 học sinh được xét nghiệm một loại virus. Trong đó, biết rằng có 80 bạn thật sự bị nhiễm virus. Nếu một bạn bị nhiễm, thì xét nghiệm cho kết quả dương tính (tức là phát hiện đúng bệnh) với xác suất 90%. Nếu một bạn không bị nhiễm, thì xét nghiệm vẫn có thể báo nhầm là dương tính (gọi là dương tính giả), với xác suất 5%. Giả sử một bạn có kết quả xét nghiệm dương tính. Hỏi xác suất để bạn đó thật sự bị nhiễm virus là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
PHẦN I (3,0 điểm). Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.Câu 1. Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình chữ nhật và \( SA \perp (ABCD) \). Khoảng cách từ điểm \( D \) đến mặt phẳng \( (SAB) \) bằng:
A. \( SA \)
B. \( BD \)
C. \( DA \)
D. \( SD \)
Ta có $ SA\bot (ABCD) $ nên $ SA\bot DA $ , lại có $ ABCD $ là hình chữ nhật nên $ AB\bot DA $ . Từ đó suy ra $ DA\bot (SAB) $ nên khoảng cách từ điểm $ D $ đến mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ DA $ .
A. \( S = \int_0^\pi (-\sin x + \cos x)\,dx \).
B. \( S = \int_0^\pi |\sin x - \cos x|\,dx \).
C. \( S = \int_0^\pi (\sin x - \cos x)\,dx \).
D. \( S = \int_0^\pi (\sin x + \cos x)\,dx \).
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $ y=f(x),\ y=g(x) $ và các đường thẳng $ x=a,\ x=b $ được tính bằng công thức $ S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x)-g(x) \right|}\text{d}x=\int\limits_{0}^{\pi }{\left| \text{sin}x-\text{cos}x \right|}\text{d}x $ .
| Thời gian (phút) | [0; 30) | [30; 60) | [60; 90) | [90; 120) | [120; 150) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 8 | 14 | 11 | 9 | 3 |
A. [60; 90)
B. [0; 30)
C. [30; 60)
D. [90; 120)
| Thời gian (phút) | $ \left[ 0;30 \right) $ | $ \left[ 30;60 \right) $ | $ \left[ 60;90 \right) $ | $ \left[ 90;120 \right) $ | $ \left[ 120;150 \right) $ |
| Số học sinh | $ 8 $ | $ 14 $ | $ 11 $ | $ 9 $ | $ 3 $ |
| Tần số tích lũy | $ 8 $ | $ 22 $ | $ 33 $ | $ 42 $ | $ 45 $ |
Ta có $ {{M}_{e}}={{Q}_{2}}=s+\frac{\frac{n}{2}-c{{f}_{2}}}{{{n}_{3}}}.h $ $ =60+\frac{22,5-22}{11}.30\approx 61,36 $ $ \in \left[ 60;90 \right) $ .
A. \( \vec{n}_3(1; 1; 1) \)
B. \( \vec{n}_2(0; 0; 0) \)
C. \( \vec{n}_1(0; 1; 1) \)
D. \( \vec{n}_4(1; 0; 0) \)
Do mặt phẳng $ (Oyz)\bot Ox $ nên mặt phẳng $ (Oyz) $ có một vectơ pháp tuyến là $ \overrightarrow{{{n}_{4}}}=\overrightarrow{i}=(1;0;0)\text{ } $
A. \( y = -x + 2 \)
B. \( y = -\frac{1}{x} \)
C. \( y = x - 2 \)
D. \( y = \frac{1}{x} \)
Ta có $ \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ y-\left( -x+2 \right) \right]=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0 $
Nên đồ thị hàm số $ y=-x+2+\frac{1}{x} $ có đường tiệm cận xiên là: $ y=-x+2 $
Nên đồ thị hàm số $ y=-x+2+\frac{1}{x} $ có đường tiệm cận xiên là: $ y=-x+2 $
A. \( (1; +\infty) \)
B. \( (-\infty; 0) \)
C. \( (-\infty; +\infty) \)
D. \( (0; +\infty) \)
Ta có $ {{e}^{x}}>1\Leftrightarrow {{e}^{x}}>{{e}^{0}}\Leftrightarrow x>0 $ . Suy ra tập nghiệm của bất phương trình $ {{e}^{x}}>1 $ là: $ (0;+\infty ) $
A. \( x = -1 \)
B. \( x = 1 \)
C. \( x = 0 \)
D. \( x = 4 \)
$ {{\log }_{4}}x=0\Leftrightarrow x={{4}^{0}}=1 $
A. \( \dfrac{x+1}{-4} = \dfrac{y-4}{-4} = \dfrac{z-2}{1} \)
B. \( \dfrac{x+4}{-1} = \dfrac{y+4}{4} = \dfrac{z-1}{2} \)
C. \( \dfrac{x-4}{-1} = \dfrac{y-4}{4} = \dfrac{z+1}{2} \)
D. \( \dfrac{x-1}{-4} = \dfrac{y+4}{-4} = \dfrac{z+2}{1} \)
Ta có: $ \overrightarrow{EF}=\left( -4;-4;1 \right) $ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $ EF $ .
Phương trình đường thẳng $ EF $ đi qua $ E $ là $ \frac{x+1}{-4}=\frac{y-4}{-4}=\frac{z-2}{1} $ .
Phương trình đường thẳng $ EF $ đi qua $ E $ là $ \frac{x+1}{-4}=\frac{y-4}{-4}=\frac{z-2}{1} $ .
A. \( -\cos x + C \)
B. \( \cos x + C \)
C. \( 2\cos x + C \)
D. \( -2\cos x + C \)
$ \int{f\left( x \right)}\,dx=\int{2\sin x}dx=-2\cos x+C $
A. \( -11 \)
B. \( -27 \)
C. \( -7 \)
D. \( -14 \)
Ta có $ {{u}_{2}}={{u}_{1}}+d\Rightarrow d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=-4 $ .
$ {{u}_{4}}={{u}_{1}}+3d=-11 $
$ {{u}_{4}}={{u}_{1}}+3d=-11 $
A. \( (0; 2) \)
B. \( (-\infty; 0) \)
C. \( (-\infty; +\infty) \)
D. \( (2; +\infty) \)
Ta có $ {y}'=3{{x}^{2}}-6x $ , $ {y}'=0\Rightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. $ , $ {y}'<0\forall x\in \left( 0;2 \right) $ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $ \left( 0;2 \right) $
A. \( \dfrac{2}{5} \)
B. \( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
C. \( \dfrac{1}{3} \)
D. \( \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \)
Ta có $ \left[ S,BC,A \right]=\widehat{SDA} $
Do $ SB=SC=1\Rightarrow SD=\frac{\sqrt{2}}{2} $ . Xét tam giác vuông $ SAD $ : $ SA=1,SD=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow AD=\frac{\sqrt{6}}{2} $
Vậy, $ \cos \alpha =\frac{SD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}} $ .
Do $ SB=SC=1\Rightarrow SD=\frac{\sqrt{2}}{2} $ . Xét tam giác vuông $ SAD $ : $ SA=1,SD=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow AD=\frac{\sqrt{6}}{2} $
Vậy, $ \cos \alpha =\frac{SD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}} $ .
PHẦN II (4,0 điểm). Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.Câu 1. Cho hàm số \( f(x) = -2x^4 + 4x^2 + 1 \) có đồ thị \( (C) \).
a) \( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \).
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là \( f'(x) = -8x^3 + 8x + 1 \).
c) Tập nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) là \( S = \{-1; 0; 1\} \).
d) Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) là 1.
a) Đúng.
Ta có: $ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1 \right) $ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^4}\left( { - 2 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)} \right] $
Vì $ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}=+\infty $ và $ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2+\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)=-2 $ nên $ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1 \right)=-\infty $ .
b) Sai.
Ta có: $ {f}'\left( x \right)=-8{{x}^{3}}+8x $ .
c) Đúng.
Ta có: $ {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -8{{x}^{3}}+8x=0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=0 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right. $
d) Sai.
Ta có bảng biến thiên:
Ta có: $ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1 \right) $ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^4}\left( { - 2 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)} \right] $
Vì $ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}=+\infty $ và $ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2+\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{4}}} \right)=-2 $ nên $ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1 \right)=-\infty $ .
b) Sai.
Ta có: $ {f}'\left( x \right)=-8{{x}^{3}}+8x $ .
c) Đúng.
Ta có: $ {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -8{{x}^{3}}+8x=0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=0 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right. $
d) Sai.
Ta có bảng biến thiên:
a) Hàm số \( V(t) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(t) = k \cdot \sqrt{t} \).
b) \( V(t) = \dfrac{2k}{3} \cdot t\sqrt{t} + C \), với \( 0 \le t \le 24 \) và \( k, C \) là các hằng số.
c) Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được 148.000 lít.
d) Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ 500 lít/giờ, thì tại thời điểm \( t = 9 \) giờ, thể tích dầu trong bể là 72.500 lít.
a) Đúng.
Ta có $ V\left( t \right)=\int{V'\left( t \right)dt=\int{k.\sqrt{t}dt}} $ .
Vậy hàm số $ V\left( t \right) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left( t \right)=k.\sqrt{t} $ .
b) Đúng.
Ta có $ V\left( t \right)=\int{V'\left( t \right)dt=\int{k.\sqrt{t}dt}}=\frac{2k}{3}.t\sqrt{t}+C $ , với $ 0\le t\le 24 $ và $ k,\,\,C $ là các hằng số.
c) Sai.
Do ban đầu bể chứa dầu ban đầu có $ 50.000 $ lít dầu nên $ V\left( 0 \right)=50\,000\Rightarrow C=50\,000 $ .
Mặt khác sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $ 58.000 $ lít nên ta có :
$\begin{array}{*{20}{l}} {V\left( 4 \right) = \frac{{2k}}{3}.4\sqrt 4 + 50.000 = 58.000}\\ { \Leftrightarrow k = 1.500.} \end{array}$
Vậy $ V\left( t \right)=1\,000.t\sqrt{t}+50\,000 $ .
Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được : $ V\left( 16 \right)=1\,000.16\sqrt{6}+50\,000=114\,000 $ lít.
d) Đúng.
Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ $ 500 $ lít/giờ, thì tại thời điểm $ t $ bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là
$ V\left( 9 \right)=1\,000.9\sqrt{9}+50\,000-500.9=72\,500 $ lít.
Ta có $ V\left( t \right)=\int{V'\left( t \right)dt=\int{k.\sqrt{t}dt}} $ .
Vậy hàm số $ V\left( t \right) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left( t \right)=k.\sqrt{t} $ .
b) Đúng.
Ta có $ V\left( t \right)=\int{V'\left( t \right)dt=\int{k.\sqrt{t}dt}}=\frac{2k}{3}.t\sqrt{t}+C $ , với $ 0\le t\le 24 $ và $ k,\,\,C $ là các hằng số.
c) Sai.
Do ban đầu bể chứa dầu ban đầu có $ 50.000 $ lít dầu nên $ V\left( 0 \right)=50\,000\Rightarrow C=50\,000 $ .
Mặt khác sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $ 58.000 $ lít nên ta có :
$\begin{array}{*{20}{l}} {V\left( 4 \right) = \frac{{2k}}{3}.4\sqrt 4 + 50.000 = 58.000}\\ { \Leftrightarrow k = 1.500.} \end{array}$
Vậy $ V\left( t \right)=1\,000.t\sqrt{t}+50\,000 $ .
Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được : $ V\left( 16 \right)=1\,000.16\sqrt{6}+50\,000=114\,000 $ lít.
d) Đúng.
Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ $ 500 $ lít/giờ, thì tại thời điểm $ t $ bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là
$ V\left( 9 \right)=1\,000.9\sqrt{9}+50\,000-500.9=72\,500 $ lít.
a) Xác suất để cả 3 sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tỉnh táo là 0,343.
b) Xác suất trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê là 0,657.
c) Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên dùng cà phê là 0,189.
d) Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên dùng cà phê và 1 sinh viên không dùng cà phê lớn hơn 0,45.
Gọi $ {{A}_{i}} $ : “Sinh viên thứ $ i $ dùng cà phê” $ \Rightarrow P\left( {{A}_{i}} \right)=0,7 $ , $ P\left( \overline{{{A}_{i}}} \right)=0,3 $
a) Đúng.
.Xác suất để cả 3 sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tỉnh táo là
$ \begin{array}{l} P\left( {{A_1}{A_2}{A_3}} \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{A_2}} \right)P\left( {{A_3}} \right)\\ = {0,7^3} = 0,343 \end{array} $
b) Đúng.
Xác suất trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê là :
$ 1-P\left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}} \right)=1-0,343=0,657 $
c) Đúng.
Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên dùng cà phê là:
$ P\left( {{A}_{1}}\overline{{{A}_{2}}{{A}_{3}}} \right)+P\left( {{A}_{2}}\overline{{{A}_{1}}{{A}_{3}}} \right)+P\left( {{A}_{3}}\overline{{{A}_{2}}{{A}_{1}}} \right) $ $ ={{3.0,7.0,3}^{2}}=0,189 $
d) Sai.
Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên dùng cà phê và 1 sinh viên không dùng cà phê là:
$ P\left( \overline{{{A}_{1}}}{{A}_{2}}{{A}_{3}} \right)+P\left( \overline{{{A}_{2}}}{{A}_{1}}{{A}_{3}} \right)+P\left( \overline{{{A}_{3}}}{{A}_{2}}{{A}_{1}} \right) $ $ ={{3.0,7}^{2}}.0,3=0,441<0,45 $
a) Đúng.
.Xác suất để cả 3 sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tỉnh táo là
$ \begin{array}{l} P\left( {{A_1}{A_2}{A_3}} \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{A_2}} \right)P\left( {{A_3}} \right)\\ = {0,7^3} = 0,343 \end{array} $
b) Đúng.
Xác suất trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê là :
$ 1-P\left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}} \right)=1-0,343=0,657 $
c) Đúng.
Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên dùng cà phê là:
$ P\left( {{A}_{1}}\overline{{{A}_{2}}{{A}_{3}}} \right)+P\left( {{A}_{2}}\overline{{{A}_{1}}{{A}_{3}}} \right)+P\left( {{A}_{3}}\overline{{{A}_{2}}{{A}_{1}}} \right) $ $ ={{3.0,7.0,3}^{2}}=0,189 $
d) Sai.
Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên dùng cà phê và 1 sinh viên không dùng cà phê là:
$ P\left( \overline{{{A}_{1}}}{{A}_{2}}{{A}_{3}} \right)+P\left( \overline{{{A}_{2}}}{{A}_{1}}{{A}_{3}} \right)+P\left( \overline{{{A}_{3}}}{{A}_{2}}{{A}_{1}} \right) $ $ ={{3.0,7}^{2}}.0,3=0,441<0,45 $
(tham khảo từ Stimson’s Introduction to Airborne Radar, 3rd Edition, George W. Stimson, Hugh D. Griffiths, Christopher Baker, Dave Adamy.)
a) Radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí A.
b) Phương trình tham số của đường bay của UAV là $ \begin{cases} x = 300 - 3t \\ y = -400 + 4t \\ z = 100 \end{cases} \quad , t \in \mathbb{R} $
c) Trong suốt quá trình bay, sẽ có thời điểm UAV gây nhiễu được radar.
d) Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian hơn 30 phút.
a) Đúng.
Do $ OA=100\sqrt{26}>250 $ nên Radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí $ A $ .
b) Sai.
Ta có đường bay của UAV đi qua $ A(300;-400;100) $ và nhận $ \overrightarrow{u}=\left( -3;4;0 \right)\text{//}\overrightarrow{AB}\left( -600;800;0 \right) $ làm một véc-tơ chỉ phương. Suy ra phương trình tham số của đường bay UAV là
$ AB:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=300-3t \\ y=-400+4t,t\in \mathbb{R}\text{ } \\ z=100 \\ \end{array} \right. $ .
c) Sai.
Vì $ d(O,AB)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{OA} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\frac{500}{5}=100>50 $ nên trong suốt quá trình bay, sẽ không có thời điểm nào UAV gây nhiễu được radar.
d) Đúng.
Mô phỏng như hình vẽ, trong khoảng thời gian 30 phút ta có:
Quãng đường Rada có thể theo dõi UAV là
$ \begin{align} & MN=2HN=2\sqrt{{{250}^{2}}-{{100}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=100\sqrt{21}. \\ \end{align} $
Suy ra thời gian Rada có thể theo dõi UAV là
$ \frac{100\sqrt{21}}{900}\approx 0,509>0,5. $
Vậy Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian hơn 30 phút.
Do $ OA=100\sqrt{26}>250 $ nên Radar không thể phát hiện UAV khi UAV ở vị trí $ A $ .
b) Sai.
Ta có đường bay của UAV đi qua $ A(300;-400;100) $ và nhận $ \overrightarrow{u}=\left( -3;4;0 \right)\text{//}\overrightarrow{AB}\left( -600;800;0 \right) $ làm một véc-tơ chỉ phương. Suy ra phương trình tham số của đường bay UAV là
$ AB:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=300-3t \\ y=-400+4t,t\in \mathbb{R}\text{ } \\ z=100 \\ \end{array} \right. $ .
c) Sai.
Vì $ d(O,AB)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{OA} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\frac{500}{5}=100>50 $ nên trong suốt quá trình bay, sẽ không có thời điểm nào UAV gây nhiễu được radar.
d) Đúng.
Mô phỏng như hình vẽ, trong khoảng thời gian 30 phút ta có:
Quãng đường Rada có thể theo dõi UAV là
$ \begin{align} & MN=2HN=2\sqrt{{{250}^{2}}-{{100}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=100\sqrt{21}. \\ \end{align} $
Suy ra thời gian Rada có thể theo dõi UAV là
$ \frac{100\sqrt{21}}{900}\approx 0,509>0,5. $
Vậy Radar có thể theo dõi UAV trong khoảng thời gian hơn 30 phút.
PHẦN III (3,0 điểm). Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.Câu 1. Một chiếc lều hình chóp có đáy là hình vuông, mỗi cạnh dài 200 cm. Đỉnh lều nằm thẳng đứng phía trên tâm của hình vuông, và chiều cao của lều là 206 cm. Người ta dùng 4 cọc bằng nhau nối từ 4 góc của đáy đến đỉnh lều để dựng lều. Chiều dài tối thiểu của mỗi cây cọc là bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm)?
Đáp số: 250
Gọi O là tâm hình vuông $ ABCD $ ,
Theo đề ta có $ SO\bot \left( ABCD \right) $ , $ SO=206,AB=200 $
Ta có $ AO=\frac{1}{2}AC=\frac{200\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2} $
$ \begin{array}{l} SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} \\ = \sqrt {{{206}^2} + {{\left( {100\sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = \sqrt {62436} \approx 250cm \end{array} $
Gọi O là tâm hình vuông $ ABCD $ ,
Theo đề ta có $ SO\bot \left( ABCD \right) $ , $ SO=206,AB=200 $
Ta có $ AO=\frac{1}{2}AC=\frac{200\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2} $
$ \begin{array}{l} SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} \\ = \sqrt {{{206}^2} + {{\left( {100\sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = \sqrt {62436} \approx 250cm \end{array} $
Đáp số: 84.
$ {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b $
Tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm nên
$ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) = 19\\ \Rightarrow 1 + a + b + c = 19\\ \Leftrightarrow a + b + c = 18\left( 1 \right) \end{array} $
Tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm nên
$ \left\{ \begin{array}{l} f'\left( 3 \right) = 0\\ f\left( 3 \right) = 3 \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 27 + 6a + b = 0\\ 27 + 9a + 3b + c = 3 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a + b = - 27\left( 2 \right)\\ 9a + 3b + c = - 24\left( 3 \right) \end{array} \right. $
Từ (1), (2), (3) suy ra: $ a=-3,\,b=-9,\,c=30 $ .
Suy ra $ f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+30 $ .
Vậy điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu là $ f\left( 6 \right)=84 $ .
$ {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b $
Tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm nên
$ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) = 19\\ \Rightarrow 1 + a + b + c = 19\\ \Leftrightarrow a + b + c = 18\left( 1 \right) \end{array} $
Tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm nên
$ \left\{ \begin{array}{l} f'\left( 3 \right) = 0\\ f\left( 3 \right) = 3 \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 27 + 6a + b = 0\\ 27 + 9a + 3b + c = 3 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a + b = - 27\left( 2 \right)\\ 9a + 3b + c = - 24\left( 3 \right) \end{array} \right. $
Từ (1), (2), (3) suy ra: $ a=-3,\,b=-9,\,c=30 $ .
Suy ra $ f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+30 $ .
Vậy điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu là $ f\left( 6 \right)=84 $ .
Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty S để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khi cầu đang bay ở độ cao 50 km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh S có tọa độ trong không gian \( Oxyz \) (đơn vị km) như sau:
Vệ tinh A tại vị trí \( A(103;204;62) \), vệ tinh B tại vị trí \( B(106;208;74) \), và vệ tinh C tại vị trí \( C(105;212;134) \). Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí M của khinh khí cầu đến các vệ tinh là:
- \( MA = 13 \text{ km} \)
- \( MB = 26 \text{ km} \)
- \( MC = 85 \text{ km} \)
Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ \( O \) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).
Đáp số: $ 229 $
Khí cầu có độ cao $ 50\,km $ suy ra $ M\left( x;y;50 \right) $ . Theo đề:
$ MA=13 $ $ \Rightarrow {{\left( x-103 \right)}^{2}}+{{\left( y-204 \right)}^{2}}+{{\left( 50-62 \right)}^{2}}={{13}^{2}} $ $ \Rightarrow {{\left( x-103 \right)}^{2}}+{{\left( y-204 \right)}^{2}}=25 $ (1)
$ MB=26 $ $ \Rightarrow {{\left( x-106 \right)}^{2}}+{{\left( y-208 \right)}^{2}}+{{\left( 50-74 \right)}^{2}}={{26}^{2}} $ $ \Rightarrow {{\left( x-106 \right)}^{2}}+{{\left( y-208 \right)}^{2}}=100 $ (2)
$ MC=85 $ $ \Rightarrow {{\left( x-105 \right)}^{2}}+{{\left( y-212 \right)}^{2}}+{{\left( 50-134 \right)}^{2}}={{85}^{2}} $ $ \Rightarrow {{\left( x-105 \right)}^{2}}+{{\left( y-212 \right)}^{2}}=169 $ (3)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3).
Lấy $ (2)-(1) $ ta được: $ {{\left( x-106 \right)}^{2}}+{{\left( y-208 \right)}^{2}}-{{\left( x-103 \right)}^{2}}-{{\left( y-204 \right)}^{2}}=75 $
$ \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-212x+11236+{{y}^{2}}-416y+43264 \right)-\left( {{x}^{2}}-206x+10609+{{y}^{2}}-408y+41616 \right)=75 $
$ \Leftrightarrow 3x+4y=1100 $ (4)
Lấy $ (3)-(2) $ ta được: $ {{\left( x-105 \right)}^{2}}+{{\left( y-212 \right)}^{2}}-{{\left( x-106 \right)}^{2}}-{{\left( y-208 \right)}^{2}}=69 $
$ \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-210x+11025+{{y}^{2}}-424y+44944 \right)-\left( {{x}^{2}}-212x+11236+{{y}^{2}}-416y+43264 \right)=69 $
$ \Leftrightarrow 2x-8y=1400\Leftrightarrow x-4y=-700 $ (5)
Giải hệ (4), (5) ta được $ x=100;\,\,y=200 $ $ \Rightarrow M\left( 100;200;50 \right) $
$ \Rightarrow OM=\sqrt{{{100}^{2}}+{{200}^{2}}+{{50}^{2}}}\approx 229,13 $
khoảng cách từ khinh khí cầu đến góc toạ độ $ O $ bằng $ 229km $
Khí cầu có độ cao $ 50\,km $ suy ra $ M\left( x;y;50 \right) $ . Theo đề:
$ MA=13 $ $ \Rightarrow {{\left( x-103 \right)}^{2}}+{{\left( y-204 \right)}^{2}}+{{\left( 50-62 \right)}^{2}}={{13}^{2}} $ $ \Rightarrow {{\left( x-103 \right)}^{2}}+{{\left( y-204 \right)}^{2}}=25 $ (1)
$ MB=26 $ $ \Rightarrow {{\left( x-106 \right)}^{2}}+{{\left( y-208 \right)}^{2}}+{{\left( 50-74 \right)}^{2}}={{26}^{2}} $ $ \Rightarrow {{\left( x-106 \right)}^{2}}+{{\left( y-208 \right)}^{2}}=100 $ (2)
$ MC=85 $ $ \Rightarrow {{\left( x-105 \right)}^{2}}+{{\left( y-212 \right)}^{2}}+{{\left( 50-134 \right)}^{2}}={{85}^{2}} $ $ \Rightarrow {{\left( x-105 \right)}^{2}}+{{\left( y-212 \right)}^{2}}=169 $ (3)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3).
Lấy $ (2)-(1) $ ta được: $ {{\left( x-106 \right)}^{2}}+{{\left( y-208 \right)}^{2}}-{{\left( x-103 \right)}^{2}}-{{\left( y-204 \right)}^{2}}=75 $
$ \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-212x+11236+{{y}^{2}}-416y+43264 \right)-\left( {{x}^{2}}-206x+10609+{{y}^{2}}-408y+41616 \right)=75 $
$ \Leftrightarrow 3x+4y=1100 $ (4)
Lấy $ (3)-(2) $ ta được: $ {{\left( x-105 \right)}^{2}}+{{\left( y-212 \right)}^{2}}-{{\left( x-106 \right)}^{2}}-{{\left( y-208 \right)}^{2}}=69 $
$ \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-210x+11025+{{y}^{2}}-424y+44944 \right)-\left( {{x}^{2}}-212x+11236+{{y}^{2}}-416y+43264 \right)=69 $
$ \Leftrightarrow 2x-8y=1400\Leftrightarrow x-4y=-700 $ (5)
Giải hệ (4), (5) ta được $ x=100;\,\,y=200 $ $ \Rightarrow M\left( 100;200;50 \right) $
$ \Rightarrow OM=\sqrt{{{100}^{2}}+{{200}^{2}}+{{50}^{2}}}\approx 229,13 $
khoảng cách từ khinh khí cầu đến góc toạ độ $ O $ bằng $ 229km $
Đáp số: 50.
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0, do đó $ -4t+20=0\Leftrightarrow t=5 $ (giây).
Từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường là:
$ S=\int\limits_{0}^{5}{v\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{5}{\left( -4t+20 \right)dt}=50 $ (mét).
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0, do đó $ -4t+20=0\Leftrightarrow t=5 $ (giây).
Từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường là:
$ S=\int\limits_{0}^{5}{v\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{5}{\left( -4t+20 \right)dt}=50 $ (mét).
Đáp số: 7
Đổi 400 nghìn đồng $ =0,4 $ triệu đồng
Gọi $ m $ là số tiền giảm giá (đơn vị: triệu đồng)
Giá tiền một chiếc máy lọc không khí sau khi giảm là: $ 10-m $ (triệu đồng)
Số máy lọc không khí bán được mỗi tháng sau khi giảm giá là: $ 600+\frac{m}{0,4}.60=600+150m $ (máy)
Doanh thu mỗi tháng là:
$ \begin{array}{l} f\left( m \right) = \left( {10 - m} \right).\left( {600 + 150m} \right)\\ = - 150{m^2} + 900m + 6000\left( {trieu\,dong} \right) \end{array} $
Doanh thu đạt giá trị lớn nhất khi $ m=\frac{-900}{2.\left( -150 \right)}=3 $
Vậy công ti bán mỗi chiếc máy lọc không khí với giá tiền: $ 10-3=7 $ (triệu đồng) thì doanh thu lớn nhất.
Đổi 400 nghìn đồng $ =0,4 $ triệu đồng
Gọi $ m $ là số tiền giảm giá (đơn vị: triệu đồng)
Giá tiền một chiếc máy lọc không khí sau khi giảm là: $ 10-m $ (triệu đồng)
Số máy lọc không khí bán được mỗi tháng sau khi giảm giá là: $ 600+\frac{m}{0,4}.60=600+150m $ (máy)
Doanh thu mỗi tháng là:
$ \begin{array}{l} f\left( m \right) = \left( {10 - m} \right).\left( {600 + 150m} \right)\\ = - 150{m^2} + 900m + 6000\left( {trieu\,dong} \right) \end{array} $
Doanh thu đạt giá trị lớn nhất khi $ m=\frac{-900}{2.\left( -150 \right)}=3 $
Vậy công ti bán mỗi chiếc máy lọc không khí với giá tiền: $ 10-3=7 $ (triệu đồng) thì doanh thu lớn nhất.
Đáp số: 0,92
Gọi A là biến cố: “học sinh được chọn thực sự bị nhiễm bệnh”
B là biến cố: “học sinh được chọn có xét nghiệm dương tính”
Theo giả thiết ta có:
$ \begin{array}{l} P(A) = \frac{{80}}{{200}} = 0,4;\;{\rm{ }}\\ P(\overline A ) = 0,6;{\rm{ }}\\ P(B|A) = 0,9;{\rm{ }}\\ P(B|\overline A ) = 0,05 \end{array} $
Xác suất để học sinh có kết quả xét nghiệm dương tính, thật sự bị nhiễm bênh là:
$ \begin{array}{l} P(A|B) = \frac{{P(B|A).P(A)}}{{P(B)}}\\ = \frac{{P(B|A).P(A)}}{{P(B|A).P(A) + P(B|\overline A ).P(A)}}\\ = \frac{{0,9.0,4}}{{0,9.0,4 + 0,05.0,6}} = 0,92 \end{array} $ .
Gọi A là biến cố: “học sinh được chọn thực sự bị nhiễm bệnh”
B là biến cố: “học sinh được chọn có xét nghiệm dương tính”
Theo giả thiết ta có:
$ \begin{array}{l} P(A) = \frac{{80}}{{200}} = 0,4;\;{\rm{ }}\\ P(\overline A ) = 0,6;{\rm{ }}\\ P(B|A) = 0,9;{\rm{ }}\\ P(B|\overline A ) = 0,05 \end{array} $
Xác suất để học sinh có kết quả xét nghiệm dương tính, thật sự bị nhiễm bênh là:
$ \begin{array}{l} P(A|B) = \frac{{P(B|A).P(A)}}{{P(B)}}\\ = \frac{{P(B|A).P(A)}}{{P(B|A).P(A) + P(B|\overline A ).P(A)}}\\ = \frac{{0,9.0,4}}{{0,9.0,4 + 0,05.0,6}} = 0,92 \end{array} $ .
