A. Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử f xác định trên D ∈ R. Ta có
$M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le M\;\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D:\;f\left( {{x_0}} \right) = M\end{array} \right.;\,\,$
$m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m\;\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D:\;f\left( {{x_0}} \right) = m\end{array} \right.$
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn):
Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số f xác định trên đoạn [a; b], ta làm như sau:
• B1 Tìm các điểm ${x_1}$, ${x_2}$, …, ${x_m}$ thuộc khoảng (a;b) mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
• B2 Tính f(x$_1$), f(x$_2$), f(x$_3$),….,f(x$_m$), f(x$_a$), f(x$_b
• B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên đoạn [a; b]; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn [a; b].
$\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( {{x_1}} \right),\;f\left( {{x_2}} \right),\; \ldots ,\;f\left( {{x_m}} \right),\;f\left( a \right),\;f\left( b \right)} \right\}$.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( {{x_1}} \right),\;f\left( {{x_2}} \right),\; \ldots ,\;f\left( {{x_m}} \right),\;f\left( a \right),\;f\left( b \right)} \right\}$.
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}}$ trên đoạn [0;2].
GiảiTa có $y' = \frac{{\left( {4x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0$ ∀x ∈ (0;2). Lại có y(0) = 3; y(2) = 17/3. Suy ra $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = 3;\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} y = \frac{{17}}{3}$.
Nhận xét.
f đồng biến trên [a;b]→ $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\\\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right)\end{array} \right.$;
f nghịch biến trên [a;b]→ $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right)\\\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\end{array} \right.$.
Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = x + \sqrt {4 - {x^2}} $.
GiảiTXĐ = [-2; 2]. Ta có
$y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$ (x ∈ ( - 2; 2)).
Với mọi x ∈ ( - 2; 2), ta có
y’ = 0 ↔ $\sqrt {4 - {x^2}} - x = 0 \leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \leftrightarrow x = \sqrt 2 $
Vậy
$\min y = \min \left\{ {y\left( { - 2} \right);y\left( 2 \right);y\left( {\sqrt 2 } \right)} \right\} = \min \left\{ { - 2;2;2\sqrt 2 } \right\} = - 2$, đạt được x = - 2
$\max y = \max \left\{ {y\left( { - 2} \right);y\left( 2 \right);y\left( {\sqrt 2 } \right)} \right\} = \min \left\{ { - 2;2;2\sqrt 2 } \right\} = 2\sqrt 2 $, đạt được $x = \sqrt 2 $.
Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ trên đoạn [-1; 2].
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}$ trên đoạn $\left[ {1;{e^3}} \right]$.
$y' = \frac{{\left( {2\frac{{\ln x}}{x}} \right).x - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}} = \frac{{2\ln x - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}}$.
Với mọi $x \in \left( {1;{e^3}} \right)$ ta có
$y' = 0 \leftrightarrow 2\ln x - {\ln ^2}x = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln \left( x \right) = 0\\\ln \left( x \right) = 2\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {e^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {1 \notin \left( {1;{e^3}} \right)} \right)$
Vậy $\min y = \min \left\{ {y\left( 1 \right);y\left( {{e^3}} \right);y\left( {{e^2}} \right)} \right\} = \min \left\{ {0;\frac{9}{{{e^3}}};\frac{4}{{{e^2}}}} \right\} = 0$, đạt được ↔ x = 1
$\max y = \max \left\{ {y\left( 1 \right);y\left( {{e^3}} \right);y\left( e \right)} \right\} = \max \left\{ {0;\frac{9}{{{e^3}}};\frac{4}{{{e^2}}}} \right\} = \frac{4}{{{e^2}}}$, đạt được ↔ $x = {e^2}$.
Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số $y = \sqrt { - {x^2} + 4x + 21} - \sqrt { - {x^2} + 3x + 10} $.
C. Bài tập rèn luyện
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử f xác định trên D ∈ R. Ta có
$M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le M\;\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D:\;f\left( {{x_0}} \right) = M\end{array} \right.;\,\,$
$m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m\;\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D:\;f\left( {{x_0}} \right) = m\end{array} \right.$
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn):
Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số f xác định trên đoạn [a; b], ta làm như sau:
• B1 Tìm các điểm ${x_1}$, ${x_2}$, …, ${x_m}$ thuộc khoảng (a;b) mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
• B2 Tính f(x$_1$), f(x$_2$), f(x$_3$),….,f(x$_m$), f(x$_a$), f(x$_b
• B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên đoạn [a; b]; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn [a; b].
$\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( {{x_1}} \right),\;f\left( {{x_2}} \right),\; \ldots ,\;f\left( {{x_m}} \right),\;f\left( a \right),\;f\left( b \right)} \right\}$.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( {{x_1}} \right),\;f\left( {{x_2}} \right),\; \ldots ,\;f\left( {{x_m}} \right),\;f\left( a \right),\;f\left( b \right)} \right\}$.
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}}$ trên đoạn [0;2].
Giải
Nhận xét.
f đồng biến trên [a;b]→ $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\\\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right)\end{array} \right.$;
f nghịch biến trên [a;b]→ $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right)\\\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\end{array} \right.$.
Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = x + \sqrt {4 - {x^2}} $.
Giải
$y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$ (x ∈ ( - 2; 2)).
Với mọi x ∈ ( - 2; 2), ta có
y’ = 0 ↔ $\sqrt {4 - {x^2}} - x = 0 \leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \leftrightarrow x = \sqrt 2 $
Vậy
$\min y = \min \left\{ {y\left( { - 2} \right);y\left( 2 \right);y\left( {\sqrt 2 } \right)} \right\} = \min \left\{ { - 2;2;2\sqrt 2 } \right\} = - 2$, đạt được x = - 2
$\max y = \max \left\{ {y\left( { - 2} \right);y\left( 2 \right);y\left( {\sqrt 2 } \right)} \right\} = \min \left\{ { - 2;2;2\sqrt 2 } \right\} = 2\sqrt 2 $, đạt được $x = \sqrt 2 $.
Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ trên đoạn [-1; 2].
Giải. Ta có
$y' = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{1 - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}$.
Với mọi x ∈ (-1;2) ta có: y’ = 0 ↔x = 1.
Vậy
$\min y = \min \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 2 \right);y\left( 1 \right)} \right\} = \min \left\{ {0;\frac{{3\sqrt 5 }}{5};\sqrt 2 } \right\} = 0$, đạt được ↔x = -1;
$\max y = \max \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 2 \right);y\left( 1 \right)} \right\} = \max \left\{ {0;\frac{{3\sqrt 5 }}{5};\sqrt 2 } \right\} = \sqrt 2 $, đạt được ↔x = 1;
$y' = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {x + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{1 - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}$.
Với mọi x ∈ (-1;2) ta có: y’ = 0 ↔x = 1.
Vậy
$\min y = \min \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 2 \right);y\left( 1 \right)} \right\} = \min \left\{ {0;\frac{{3\sqrt 5 }}{5};\sqrt 2 } \right\} = 0$, đạt được ↔x = -1;
$\max y = \max \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 2 \right);y\left( 1 \right)} \right\} = \max \left\{ {0;\frac{{3\sqrt 5 }}{5};\sqrt 2 } \right\} = \sqrt 2 $, đạt được ↔x = 1;
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}$ trên đoạn $\left[ {1;{e^3}} \right]$.
Giải
Ta có$y' = \frac{{\left( {2\frac{{\ln x}}{x}} \right).x - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}} = \frac{{2\ln x - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}}$.
Với mọi $x \in \left( {1;{e^3}} \right)$ ta có
$y' = 0 \leftrightarrow 2\ln x - {\ln ^2}x = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln \left( x \right) = 0\\\ln \left( x \right) = 2\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {e^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {1 \notin \left( {1;{e^3}} \right)} \right)$
Vậy $\min y = \min \left\{ {y\left( 1 \right);y\left( {{e^3}} \right);y\left( {{e^2}} \right)} \right\} = \min \left\{ {0;\frac{9}{{{e^3}}};\frac{4}{{{e^2}}}} \right\} = 0$, đạt được ↔ x = 1
$\max y = \max \left\{ {y\left( 1 \right);y\left( {{e^3}} \right);y\left( e \right)} \right\} = \max \left\{ {0;\frac{9}{{{e^3}}};\frac{4}{{{e^2}}}} \right\} = \frac{4}{{{e^2}}}$, đạt được ↔ $x = {e^2}$.
Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số $y = \sqrt { - {x^2} + 4x + 21} - \sqrt { - {x^2} + 3x + 10} $.
Giải
x ∈ TXĐ ↔$\left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x + 21 \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 10 \ge 0
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 7\\ - 2 \le x \le 5\end{array} \right. \leftrightarrow - 2 \le x \le 5$ suy ra TXĐ = [-2; 5]. Ta có
$y' = - \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - {x^2} + 4x + 21} }} + \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt { - {x^2} + 3x + 10} }}$.
$y' = 0 \leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - {x^2} + 4x + 21} }} = \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt { - {x^2} + 3x + 10} }} \to \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{ - {x^2} + 4x + 21}} = \frac{{4{x^2} - 12x + 9}}{{4\left( { - {x^2} + 3x + 10} \right)}}$
$ \leftrightarrow 4\left( { - {x^2} + 3x + 10} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = \left( { - {x^2} + 4x + 21} \right)\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)$
↔$51{x^2} - 104x + 29 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = \frac{{29}}{{17}}\end{array} \right.$
Thử lại, ta thấy chỉ có x = 1/3 là nghiệm của y’.
y(-2) = 3; y(5) = 4; y(1/3) = √2→ min(y) = √2, đạt được ↔ x = 1/3.
x ∈ TXĐ ↔$\left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x + 21 \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 10 \ge 0
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 7\\ - 2 \le x \le 5\end{array} \right. \leftrightarrow - 2 \le x \le 5$ suy ra TXĐ = [-2; 5]. Ta có
$y' = - \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - {x^2} + 4x + 21} }} + \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt { - {x^2} + 3x + 10} }}$.
$y' = 0 \leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - {x^2} + 4x + 21} }} = \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt { - {x^2} + 3x + 10} }} \to \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{ - {x^2} + 4x + 21}} = \frac{{4{x^2} - 12x + 9}}{{4\left( { - {x^2} + 3x + 10} \right)}}$
$ \leftrightarrow 4\left( { - {x^2} + 3x + 10} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = \left( { - {x^2} + 4x + 21} \right)\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)$
↔$51{x^2} - 104x + 29 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = \frac{{29}}{{17}}\end{array} \right.$
Thử lại, ta thấy chỉ có x = 1/3 là nghiệm của y’.
y(-2) = 3; y(5) = 4; y(1/3) = √2→ min(y) = √2, đạt được ↔ x = 1/3.
C. Bài tập rèn luyện
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
- $y = \sqrt {4 - {x^2}} $
- $y = {x^2} + 2x - 5$ trên đoạn [-2; 3].
- $y = - {x^2} + 2x + 4$ trên đoạn [2; 4].
- $y = {x^3} - 3x + 3$ trên đoạn $\left[ { - 3;\frac{3}{2}} \right]$.
- $y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 4$ trên đoạn [- 4; 0].
- $y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1$ trên đoạn [- 4; 4].
- $y = {x^4} - 8{x^2} + 16$ trên đoạn [1; 3].
- $y = {x^3} + 5x - 4$ trên đoạn [- 3; 1].
- $y = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng (0 ; + ∞).
- $y = x + \frac{1}{{x - 1}}$ trên khoảng (1 ; + ∞).
Last edited by a moderator:
