Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của hàng năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, bài toán về tích phân là một trong những bài toán khó vì vậy nó đòi hỏi người học phải có phương pháp giải đối với một số bài.
Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh luyện thi đại học hiểu sâu hơn vận dụng phương pháp biến số phụ.
I. Phương pháp
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] có nguyên hàm là F(x).
Giả sử u(x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α, β] và có miền giá trị là [a, b] thì ta có :
$\int {f\left[ {u(x)} \right]} .u'(x)dx = F(x)\left[ {u(x)} \right] + C$
II. Bài tập vận dụng
Tính các tích phân sau:
a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} $
b) ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} - 1}}}$
c) ${I_3} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}}$
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 1 \to t = 2\end{array} \right.$
Vậy : ${I_1} = \int\limits_1^2 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t} = \frac{1}{2}\left. {\ln t} \right|} } _1^2 = \frac{1}{2}\ln 2$
b) Đặt t = e$^x$ - 1 → dt = e$^x$dx
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to t = e - 1\\x = 2 \to t = {e^2} - 1\end{array} \right.$
Vậy: ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} - 1}}} = \int\limits_{e - 1}^{{e^2} - 1} {\frac{{dt}}{t} = \left. {\ln t} \right|} _{e - 1}^{{e^2} - 1} = \ln (e + 1)$
c) Đặt ${t^{}} = 1 + \ln x\quad \Rightarrow \quad tdt = \frac{1}{x}dx\quad $
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to t = 1\\x = e \to t = 2\end{array} \right.$
${I_3} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}} = \int\limits_1^2 {\sqrt t dt = \frac{2}{3}\left. {{t^{\frac{3}{2}}}} \right|} _1^2 = \frac{2}{3}(2\sqrt 2 - 1)$
Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh luyện thi đại học hiểu sâu hơn vận dụng phương pháp biến số phụ.
I. Phương pháp
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] có nguyên hàm là F(x).
Giả sử u(x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α, β] và có miền giá trị là [a, b] thì ta có :
$\int {f\left[ {u(x)} \right]} .u'(x)dx = F(x)\left[ {u(x)} \right] + C$
II. Bài tập vận dụng
Tính các tích phân sau:
a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} $
b) ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} - 1}}}$
c) ${I_3} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}}$
Giải
a) Đặt t = x$^2$ + 1 → dt = 2xdx → xdx = 0,5dtĐổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 1 \to t = 2\end{array} \right.$
Vậy : ${I_1} = \int\limits_1^2 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t} = \frac{1}{2}\left. {\ln t} \right|} } _1^2 = \frac{1}{2}\ln 2$
b) Đặt t = e$^x$ - 1 → dt = e$^x$dx
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to t = e - 1\\x = 2 \to t = {e^2} - 1\end{array} \right.$
Vậy: ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} - 1}}} = \int\limits_{e - 1}^{{e^2} - 1} {\frac{{dt}}{t} = \left. {\ln t} \right|} _{e - 1}^{{e^2} - 1} = \ln (e + 1)$
c) Đặt ${t^{}} = 1 + \ln x\quad \Rightarrow \quad tdt = \frac{1}{x}dx\quad $
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to t = 1\\x = e \to t = 2\end{array} \right.$
${I_3} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}} = \int\limits_1^2 {\sqrt t dt = \frac{2}{3}\left. {{t^{\frac{3}{2}}}} \right|} _1^2 = \frac{2}{3}(2\sqrt 2 - 1)$
Chỉnh sửa cuối:
