Phương pháp biến số phụ

Doremon

Moderator
Thành viên BQT
Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của hàng năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, bài toán về tích phân là một trong những bài toán khó vì vậy nó đòi hỏi người học phải có phương pháp giải đối với một số bài.

Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh luyện thi đại học hiểu sâu hơn vận dụng phương pháp biến số phụ.


I. Phương pháp
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] có nguyên hàm là F(x).
Giả sử u(x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α, β] và có miền giá trị là [a, b] thì ta có :
$\int {f\left[ {u(x)} \right]} .u'(x)dx = F(x)\left[ {u(x)} \right] + C$

II. Bài tập vận dụng

Tính các tích phân sau:
a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} $
b) ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} - 1}}}$
c) ${I_3} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}}$
Giải
a) Đặt t = x$^2$ + 1 → dt = 2xdx → xdx = 0,5dt
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 1 \to t = 2\end{array} \right.$
Vậy : ${I_1} = \int\limits_1^2 {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{t} = \frac{1}{2}\left. {\ln t} \right|} } _1^2 = \frac{1}{2}\ln 2$

b) Đặt t = e$^x$ - 1 → dt = e$^x$dx
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to t = e - 1\\x = 2 \to t = {e^2} - 1\end{array} \right.$

Vậy: ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} - 1}}} = \int\limits_{e - 1}^{{e^2} - 1} {\frac{{dt}}{t} = \left. {\ln t} \right|} _{e - 1}^{{e^2} - 1} = \ln (e + 1)$
c) Đặt ${t^{}} = 1 + \ln x\quad \Rightarrow \quad tdt = \frac{1}{x}dx\quad $

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to t = 1\\x = e \to t = 2\end{array} \right.$

${I_3} = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} dx}}{x}} = \int\limits_1^2 {\sqrt t dt = \frac{2}{3}\left. {{t^{\frac{3}{2}}}} \right|} _1^2 = \frac{2}{3}(2\sqrt 2 - 1)$
 
Chỉnh sửa cuối:
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \(\int {{{\tan }^2}xdx} = \tan x - x\)
B. \(\int {{{\tan }^2}xdx} =\frac{{\tan}^3x}{x}\)
C. \(\int {{{\tan }^2}xdx} = \tan x - x+C,C\in\mathbb{R}\)
D. \(\int {{{\tan }^2}xdx} =\frac{{\tan}^3x}{x}+C, C\in\mathbb{R}\)
 
Cho a, b, c là các số tự nhiên không âm, tính tổng \(S=a + b + c\) biết \(\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{cosx}}{{{{\left( {sinx} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx = aln\frac{4}{c} + b.\)
A. S=4
B. S=1
C. S=3
D. S=0
 
Cho hàm số \(f(x) = \frac{a}{{{{(x + 1)}^3}}} + bx{e^x}.\) Tìm a và b biết rằng \(f'(x) = - 22\) và \(\int\limits_0^1 {f(x)dx = 5.}\)
A. \(a = - 2;b = - 8\)
B. \(a = 2;b =8\)
C. \(a =8;b =2\)
D. \(a =-8;b =-2\)
 
Biết rằng I = \int\limits_1^{\sqrt e } {\frac{{dx}}{{x\left( {{{\ln }^2}x - 3\ln x + 2} \right)}}} = a.\ln 3 + b.\ln 2 + c . Tính tổng \(S = a + b + c.\)
A. S = 3
B. S = 2
C. S = 0
D. S = 4
 
Cho I = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx} = 10. Tính \(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx}.\)
A. J = 10
B. J = -10
C. J = -9
D. J = 9
 
Giả sử \(I = \int_1^2 {\frac{{4\ln x + 1}}{x}} dx = a{\ln ^2}2 + b\ln 2,\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính tổng \(S = 4a + b.\)
A. S=3
B. S=5
C. S=7
D. S=9
 
Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} - 1} dx} .\)
A. \(\frac{1}{2}\int_1^2 {t\sqrt {t - 1} dt}\)
B. \(\frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t - 1} dt}\)
C. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^2} + 1} \right){t^2}dt}\)
D. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{x^2} + 1} \right){x^2}dx}\)
 
Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho biểu thức \(P = n\ln n - \int_1^n {\ln xdx}\) có giá trị không vượt quá 2017.
A. 2017
B. 2018
C. 4034
D. 4036
 
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\int_0^x {\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} dt > 0.\)
A. \(S = \left( { - \infty ;0} \right)\)
B. \(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
D. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\)
 
Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}{\rm{d}}x = a\ln \sqrt {12} + b\ln \sqrt 7 } ,\) với a,b là các số nguyên. Tính tổng a+b.
A. -1.
B. 1.
C. \(\frac{1}{2}\).
D. 0.
 
Cho kết quả \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)} {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3}dx = \frac{{a\sqrt 2 - b}}{5},\) với a, b là hai số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức \(P = 2{a^3} - 3ab + 4{b^3}.\)
A. P=120
B. P=14
C. P=128
D. P=418
 
Cho \(\int\limits_7^{11} {f(x)dx = 10} .\) Tính \(I = 2\int\limits_3^5 {f(2x + 1)dx} .\)
A. I=10
B. I=20
C. I=5
D. I=30
 
Biết \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = - \frac{1}{2}(\ln a + \ln b).\) Tính \(S=a+b\)
A. \(S = 10 - 4\sqrt 3\)
B. \(S = \frac{{22}}{3} - 4\sqrt 3\)
C. \(S = 10 + 4\sqrt 3\)
D. \(S = \frac{{22}}{3} + 4\sqrt 3\)
 
Biết \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{2^x} + 1}}} = {\log _a}b.\) Tính \(S=a+3b\)
A. \(S=4\)
B. \(S=\frac{8}{3}\)
C. \(S=\frac{20}{3}\)
D. \(S=6\)
 
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^3 {x{{\left( {x - 1} \right)}^{1000}}dx} .\)
A. \(I = \frac{{{{2003.2}^{1002}}}}{{1003002}}\)
B. \(I = \frac{{{{1502.2}^{1001}}}}{{501501}}\)
C. \(I = \frac{{{{3005.2}^{1002}}}}{{1003002}}.\)
D. \(I = \frac{{{{2003.2}^{1001}}}}{{501501}}\)
 
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin x{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - 2\alpha \cos x + {\alpha ^2}} }}}\) (với \(\alpha>1\)).
A. I=2.
B. \(I = \frac{\alpha }{2}.\)
C. \(I = 2\alpha.\)
D. \(I = \frac{2 }{\alpha}.\)
 
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_1^e {\frac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = e.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 1\)
B. \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = e\)
C. \(\int\limits_0^e {f\left( x \right)dx} = 1\)
D. \(\int\limits_0^e {f\left( x \right)} dx = e\)
 
Xét tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} .\) Đặt \(t = \sqrt {1 + \cos x} ,\) ta được kết quả nào sau đây?
A. \(I = 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{x^2} - 1} \right)dx.\)
B. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^1 \frac{{4{t^3} - 4t}}{t}dt.\)
C. \(I = - 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^2} - 1} \right)dt.}\)
D. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^1 {\frac{{ - 4{t^3} + 4t}}{t}dt.}\)
 
Cho \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)\) biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 6. Tính \(F\left( {\frac{3}{4}} \right).\)
A. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{125}}{{16}}\)
B. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{126}}{{16}}\)
C. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{123}}{{16}}\)
D. \(F\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{127}}{{16}}\)
 

Latest posts

Members online

No members online now.
Back
Top