Bài toán 4: Dạng vô định $\infty – \infty $ và $0.\infty .$
Phương pháp: Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng $\frac{\infty }{\infty }.$
Ví dụ 11. Tìm các giới hạn sau: $A = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (\sqrt[3]{{{x^3} – 3{x^2}}} + \sqrt {{x^2} – 2x} ).$
Ta có: $\sqrt[3]{{{x^3} – 3{x^2}}} + \sqrt {{x^2} – 2x} $ $ = (\sqrt[3]{{{x^3} – 3{x^2}}} – x)$ $ + (\sqrt {{x^2} – 2x} + x)$ $ = \frac{{ – 3{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({x^3} – 3{x^2})}^2}}} + x\sqrt[3]{{{x^3} – 3{x^2}}} + {x^2}}}$ $ + \frac{{ – 2x}}{{\sqrt {{x^2} – 2x} – x}}.$
$ \Rightarrow A = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 3}}{{\sqrt[3]{{{{(1 – \frac{3}{x})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 – \frac{3}{x}}} + 1}}$ $ + \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 2}}{{ – \sqrt {1 – \frac{2}{x}} – 1}}$ $ = 0.$
Ví dụ 12. Tìm các giới hạn sau: $B = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 2x} – 2\sqrt {{x^2} + x} + x).$
Ta có: $\sqrt {{x^2} + 2x} – 2\sqrt {{x^2} + x} + x$ $ = \frac{{2{x^2} + 2x + 2x\sqrt {{x^2} + 2x} – 4{x^2} – 4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x}}$ $ = 2x\frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} – x – 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x}}$ $ = \frac{{ – 2x}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x)(\sqrt {{x^2} + 2x} + x + 1)}}.$
$ \Rightarrow B = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 2{x^2}}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x)(\sqrt {{x^2} + 2x} + x + 1)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 2}}{{(\sqrt {1 + \frac{2}{x}} + 2\sqrt {1 + \frac{1}{x}} + 1)(\sqrt {1 + \frac{2}{x}} + 1 + \frac{1}{x})}}$ $ = – \frac{1}{4}.$
Phương pháp: Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng $\frac{\infty }{\infty }.$
Ví dụ 11. Tìm các giới hạn sau: $A = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (\sqrt[3]{{{x^3} – 3{x^2}}} + \sqrt {{x^2} – 2x} ).$
Ta có: $\sqrt[3]{{{x^3} – 3{x^2}}} + \sqrt {{x^2} – 2x} $ $ = (\sqrt[3]{{{x^3} – 3{x^2}}} – x)$ $ + (\sqrt {{x^2} – 2x} + x)$ $ = \frac{{ – 3{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({x^3} – 3{x^2})}^2}}} + x\sqrt[3]{{{x^3} – 3{x^2}}} + {x^2}}}$ $ + \frac{{ – 2x}}{{\sqrt {{x^2} – 2x} – x}}.$
$ \Rightarrow A = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 3}}{{\sqrt[3]{{{{(1 – \frac{3}{x})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 – \frac{3}{x}}} + 1}}$ $ + \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 2}}{{ – \sqrt {1 – \frac{2}{x}} – 1}}$ $ = 0.$
Ví dụ 12. Tìm các giới hạn sau: $B = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 2x} – 2\sqrt {{x^2} + x} + x).$
Ta có: $\sqrt {{x^2} + 2x} – 2\sqrt {{x^2} + x} + x$ $ = \frac{{2{x^2} + 2x + 2x\sqrt {{x^2} + 2x} – 4{x^2} – 4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x}}$ $ = 2x\frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} – x – 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x}}$ $ = \frac{{ – 2x}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x)(\sqrt {{x^2} + 2x} + x + 1)}}.$
$ \Rightarrow B = $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 2{x^2}}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x} + 2\sqrt {{x^2} + x} + x)(\sqrt {{x^2} + 2x} + x + 1)}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 2}}{{(\sqrt {1 + \frac{2}{x}} + 2\sqrt {1 + \frac{1}{x}} + 1)(\sqrt {1 + \frac{2}{x}} + 1 + \frac{1}{x})}}$ $ = – \frac{1}{4}.$
