I. LÝ THUYẾT:
1. Khái niệm số phức:
(1) ↔ $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = 2y + 1\\ - 3y - 1 = 3x - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$
3. Biểu diễn hình học của số phức:
${z_A} = 1 + 4i;\,{z_B} = - 3 + 0i;\,\,{z_C} = 0 - 2i;\,\,{z_D} = 4 - i.$
4. Môđun của số phức:
Chú ý: $\left| {{z^2}} \right| = \left| {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right| = \sqrt {{{({a^2} - {b^2})}^2} + 4{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}$
5. Số phức liên hợp:
* Chú ý: $(\overline {{z^n}} ) = {(\overline z )^n};\overline i = - i; - \overline i = i$
Chú ý: $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|;\,\forall z \in C$
Hai điểm biểu diễn z và $\bar z$ đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
6. Cộng, trừ số phức:
Ta có (3 – 1 – 2i)z = i ↔ z = $\frac{i}{{2 - 2i}}$ ↔ $z = \frac{{i(2 + 2i)}}{{4 + 4}} \Leftrightarrow z = \frac{{ - 2 + 2i}}{8} \Leftrightarrow z = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i$
9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k $ \in $ N
${i^{4k}} = 1;\,\,\,{i^{4k + 1}} = i;\,\,\,\,{i^{4k + 2}} = - 1;\,\,\,\,{i^{4k + 3}} = - i$
VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = ${(2 - 2i)^{13}}$
$z = {\left[ {{{(2 - 2i)}^2}} \right]^6}(2 - 2i) = {(8i)^6}(2 - 2i) = - {8^6}.2 + {8^6}.2i = - {2^{19}} + {2^{19}}i$
Phần thực a = $ - {2^{19}}$, phần ảo b = ${2^{19}}$
II. Bài tập rèn luyện
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;
b) (1 – 2x) – i$\sqrt 3 $ = $\sqrt 5 $ + (1 – 3y)i;
c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
ĐS:
a) x = 1,5 ; y = 4/3
b) x = 0 ; y = 1
c) x = $\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$; y = $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}$
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1;
b) |z| ≤ 1
c) 1 < |z| ≤ 2
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa ${a^2} + {b^2} \le 1$, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa $1 < {a^2} + {b^2} \le 2$, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
4) Thực hiện các phép tính sau:
a) 2i(3 + i)(2 + 4i)
b) $\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ - 2 + i}}$
5) Giải phương trình sau:
a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i;
b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
c) $\frac{z}{{4 - 3i}} + (2 - 3i) = 5 - 2i$
b) z = $\frac{8}{5} - \frac{9}{5}i$
c) z = 15 – 5i.
6)
Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
7)
Cho $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$. Hãy tính: $\frac{1}{z};\,\,\bar z;\,\,{z^2};\,{(\bar z)^3};\,1 + z + {z^2}$.
$\frac{1}{z} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \bar z$;
${z^2} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$;
${\bar z^3} = \bar z.{\bar z^2} = 1$;
$1 + z + {z^2} = 0$
8) Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng $\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)$, phần ảo của số phức z bằng $\frac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi $z = - \bar z$.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi $z = \bar z$.
d) Với mọi số phức z, z¢, ta có $\overline {z + z'} = \overline z + \overline {z'} \,,\,\,\,\overline {zz'} = \overline z .\overline {z'} $ và nếu z ¹ 0 thì $\frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}} = \overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} $
a) Lấy vế cộng vế → Phần thực của số phức z bằng $\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)$. Lấy vế trừ vế → phần ảo của số phức z bằng $\frac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ↔ $z + \bar z = 0 \Leftrightarrow z = - \bar z$.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ↔ $z - \bar z = 0 \Leftrightarrow z = \bar z$.
d) $z = a + bi;\,\,\,\,\,z' = a' + b'i;\,\,\,\,\,\,\,z\,\bar z = {a^2} + {b^2}$ là số thực
$\overline {z + z'} = \overline {(a + a') + (b + b')i} = (a + a') - (b + b')i = (a - bi) + (a' - b'i) = \overline z + \overline {z'} $
$\overline {zz'} = \overline {(aa' - bb') + (ab' + a'b)i} = (aa' - bb') - (ab' + a'b)i = (a - bi)(a' - b'i) = \overline z .\overline {z'} $
$\overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} = \overline {\left( {\frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}} \right)} = \frac{{\overline {z'} .\overline {\bar z} }}{{z.\bar z}} = \frac{{\overline {z'} .z}}{{z.\bar z}} = \frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}}$
9)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có ${i^{4m}} = 1;\,\,{i^{4m + 1}} = i;\,\,\,{i^{4m + 2}} = - 1;\,\,\,{i^{4m + 3}} = - i$
$\begin{array}{l}
{\left( {{i^4}} \right)^m} = {1^m} \leftrightarrow {i^{4m}} = 1 \leftrightarrow {i^{4m}}.i = 1.i\\
\leftrightarrow {i^{4m + 1}} = i \leftrightarrow {i^{4m + 1}}.i = i.i\\
\leftrightarrow {i^{4m + 2}} = - 1 \leftrightarrow {i^{4m + 2}}.i = - 1.i\\
\leftrightarrow {i^{4m + 3}} = - i
\end{array}$
10)
Chứng minh rằng:
a) Nếu $\overrightarrow u $ của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì $|\overrightarrow u |\, = \,|z|$ và từ đó nếu hai điểm ${A_1},\,{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2}$ thì $\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|$.
b) Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z'| = |z|.|z'| và khi z ≠ 0 thì $\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \frac{{\left| {z'} \right|}}{{\left| z \right|}}$
c) Với mọi số phức z, z', ta có $\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$
${A_1},\,{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2}$ thì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {O{A_1}} = {z_2} - {z_1} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|$
b) z = a + bi, z’ = a’ + b’i, z.z’ = (aa’ - bb’) + (ab’ + a’b)i, $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\,\,\left| {z'} \right| = \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} $
Ta có ${\left| z \right|^2}.{\left| {z'} \right|^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{'^2} + b{'^2}} \right)$
Ta có
${\left| {z.z'} \right|^2} = {\left( {aa' - bb'} \right)^2} + {\left( {ab' + a'b} \right)^2} = {\left( {aa'} \right)^2} + {\left( {bb'} \right)^2} + {\left( {ab'} \right)^2} + {\left( {a'b} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{'^2} + b{'^2}} \right)$
Vậy |z.z'| = |z|.|z'|
Khi z ≠ 0 ta có $\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \left| {\frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}} \right| = \frac{{\left| {z'} \right|.\left| {\bar z} \right|}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{\left| {z'} \right|.\left| z \right|}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{\left| {z'} \right|}}{{\left| z \right|}}$
c) $\overrightarrow u $ biểu diễn z, $\overrightarrow u’ $ biểu diễn z¢ thì $\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} $ biểu diễn z + z¢ và $\left| {z + z'} \right| = \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right|$
Khi $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \ne \overrightarrow 0 $, ta có ${\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right|^2} = {\overrightarrow u ^2} + {\overrightarrow {u'} ^2} + 2\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {u'} } \right|\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) \le {\left| {\overrightarrow u } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {u'} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = {\left( {\left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow {u'} } \right|} \right)^2}$
→ $\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow {u'} } \right|$ do đó $\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$
12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.
13)
Chứng minh rằng với mọi số phức z ¹ 1, ta có $1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}$
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
14)
Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
a) ${z^2} + {(\bar z)^2}$
b) $\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{(\bar z)}^3}}}$
c) $\frac{{{z^2} - {{(\bar z)}^2}}}{{1 + z\bar z}}$
Và $\,{z^3} = ({a^3} - 3a{b^2}) + (3{a^2}b - {b^3})i,\,\,{\bar z^3} = ({a^3} - 3a{b^2}) - (3{a^2}b - {b^3})i$
Vậy${z^2} + {(\bar z)^2} = 2({a^2} - {b^2})$ là số thực; $\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{(\bar z)}^3}}} = \frac{b}{{{a^3} - 3a{b^2}}}i$ là số ảo; $\frac{{{z^2} - {{(\bar z)}^2}}}{{1 + z.\bar z}} = \frac{{4ab}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}i$ là số ảo.
15)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
a) ${z^2}$ là số thực âm;
b) ${z^2}$ là số ảo ;
c) ${z^2} = {(\bar z)^2}$ d
) $\frac{1}{{z - i}}$ là số ảo.
a) ${z^2}$ là số thực âm khi xy = 0 và ${x^2} - {y^2} < 0$ ↔ x = 0 và y ≠ 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O
b) ${z^2}$ là số ảo khi ${x^2} - {y^2} = 0$↔ y = ± x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c) ${z^2} = {(\bar z)^2}$ khi xy = 0 ↔ x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
d) $\frac{1}{{z - i}} = \frac{1}{{x + (y - 1)i}} = \frac{{x - (y - 1)i}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}$ là số ảo khi x = 0, y ≠ 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;1)
16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
a) iz + 2 – i = 0
b) $\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0$
c) ${z^2} + 4 = 0$
d) (2 + 3i)z = z - 1
e) $\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0$
Hướng dẫna) z = 1 + 2i
b) $z = - \frac{1}{{10}} + \frac{3}{{10}}i$
c) $z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i$
d) – i – 3i; 2 + 3i
e) z = ± 2i
17)
a) Cho số phức z = x + yi (x, y ∈R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức $\frac{{z + i}}{{z - i}}$
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện $\frac{{z + i}}{{z - i}}$ là số thực dương.
b) Là số thực dương khi x = 0 và ${x^2} + {y^2} - 1 > 0$ Þ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức i, - i.
18)
a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2},\,{z_3}$. Hỏi trọng tâm DABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2},\,{z_3}$ thỏa $\left| {{z_1}} \right| = \,\left| {{z_2}} \right| = \left| {\,{z_3}} \right|$. Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi ${z_1} + \,{z_2} + \,{z_3} = 0$
b) Vì $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right|$ nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay ${z_1} + \,{z_2} + \,{z_3} = 0$.
1. Khái niệm số phức:
- Là biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thoả ${i^2}$ = –1.
- Kí hiệu là z = a + bi với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
- Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + bi/ a, b ∈ R và ${i^2}$= –1}. Ta có $R \subset C$.
- Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = $a \in R \subset C$
- Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi. Đặc biệt i = 0 + 1.
- Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo.
- Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta có z = z¢ ↔ $\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$
(1) ↔ $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = 2y + 1\\ - 3y - 1 = 3x - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$
3. Biểu diễn hình học của số phức:
- Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b).
- Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
- Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.
${z_A} = 1 + 4i;\,{z_B} = - 3 + 0i;\,\,{z_C} = 0 - 2i;\,\,{z_D} = 4 - i.$
4. Môđun của số phức:
- Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ $\overrightarrow {OM} $ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu $\left| z \right| = \left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
5. Số phức liên hợp:
- Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp của z là $\bar z = a - bi$.
* Chú ý: $(\overline {{z^n}} ) = {(\overline z )^n};\overline i = - i; - \overline i = i$
- z là số thực $\leftrightarrow \overline z = z$
- z là số ảo $\leftrightarrow \overline z = - z$
Chú ý: $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|;\,\forall z \in C$
Hai điểm biểu diễn z và $\bar z$ đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
6. Cộng, trừ số phức:
- Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi
- Cho z = a + b.i và z’ = a’ + b’i. Ta có z + z’ = (a ± a’) + (b ± b’)
- Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
- Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’.i. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay $i^2$ = –1 và rút gọn, ta được:
- k.z = k(a + bi) = ka + kb.i . Đặc biệt 0.z = 0 $\forall z \in C$
- $\overline z $ = (a + bi)(a – bi) hay $z.\bar z = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}$
- Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
- Số nghịch đảo của số phức z = a + bi ≠ 0 là ${z^{ - 1}} = \frac{1}{z} = \frac{{\bar z}}{{{{\left| z \right|}^2}}}$ hay $\frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$
- Cho hai số phức z = a + bi ≠ 0 và z’ = a’ + b’i thì $\frac{{z'}}{z} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}$ hay $\frac{{a' + b'i}}{{a + bi}} = \frac{{(a' + b'i)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Ta có (3 – 1 – 2i)z = i ↔ z = $\frac{i}{{2 - 2i}}$ ↔ $z = \frac{{i(2 + 2i)}}{{4 + 4}} \Leftrightarrow z = \frac{{ - 2 + 2i}}{8} \Leftrightarrow z = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}i$
9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k $ \in $ N
${i^{4k}} = 1;\,\,\,{i^{4k + 1}} = i;\,\,\,\,{i^{4k + 2}} = - 1;\,\,\,\,{i^{4k + 3}} = - i$
VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = ${(2 - 2i)^{13}}$
$z = {\left[ {{{(2 - 2i)}^2}} \right]^6}(2 - 2i) = {(8i)^6}(2 - 2i) = - {8^6}.2 + {8^6}.2i = - {2^{19}} + {2^{19}}i$
Phần thực a = $ - {2^{19}}$, phần ảo b = ${2^{19}}$
II. Bài tập rèn luyện
1) Tìm các số thực x, y biết:
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;
b) (1 – 2x) – i$\sqrt 3 $ = $\sqrt 5 $ + (1 – 3y)i;
c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;
ĐS:
a) x = 1,5 ; y = 4/3
b) x = 0 ; y = 1
c) x = $\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$; y = $\frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}$
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
Hướng dẫn
a) Là đường thẳng x = –2;b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1;
b) |z| ≤ 1
c) 1 < |z| ≤ 2
d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Hướng dẫn
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa ${a^2} + {b^2} = 1$, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa ${a^2} + {b^2} \le 1$, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa $1 < {a^2} + {b^2} \le 2$, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;
4) Thực hiện các phép tính sau:
a) 2i(3 + i)(2 + 4i)
b) $\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ - 2 + i}}$
5) Giải phương trình sau:
a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i;
b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
c) $\frac{z}{{4 - 3i}} + (2 - 3i) = 5 - 2i$
Hướng dẫn
a) z = 1 b) z = $\frac{8}{5} - \frac{9}{5}i$
c) z = 15 – 5i.
6)
Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.
Hướng dẫn
Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. $F\left( {\cos \frac{\pi }{6};\sin \frac{\pi }{6}} \right)$ nên F biểu diễn số $\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i$. C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số $ - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i$. E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số $\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i$. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số $ - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i$7)
Cho $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$. Hãy tính: $\frac{1}{z};\,\,\bar z;\,\,{z^2};\,{(\bar z)^3};\,1 + z + {z^2}$.
Hướng dẫn
Ta có $\left| z \right| = 1$ nên$\frac{1}{z} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \bar z$;
${z^2} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$;
${\bar z^3} = \bar z.{\bar z^2} = 1$;
$1 + z + {z^2} = 0$
8) Chứng minh rằng:
a) Phần thực của số phức z bằng $\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)$, phần ảo của số phức z bằng $\frac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi $z = - \bar z$.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi $z = \bar z$.
d) Với mọi số phức z, z¢, ta có $\overline {z + z'} = \overline z + \overline {z'} \,,\,\,\,\overline {zz'} = \overline z .\overline {z'} $ và nếu z ¹ 0 thì $\frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}} = \overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} $
Hướng dẫn
$z = a + bi,\,\,\bar z = a - bi$ (1)a) Lấy vế cộng vế → Phần thực của số phức z bằng $\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)$. Lấy vế trừ vế → phần ảo của số phức z bằng $\frac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$.
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 ↔ $z + \bar z = 0 \Leftrightarrow z = - \bar z$.
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 ↔ $z - \bar z = 0 \Leftrightarrow z = \bar z$.
d) $z = a + bi;\,\,\,\,\,z' = a' + b'i;\,\,\,\,\,\,\,z\,\bar z = {a^2} + {b^2}$ là số thực
$\overline {z + z'} = \overline {(a + a') + (b + b')i} = (a + a') - (b + b')i = (a - bi) + (a' - b'i) = \overline z + \overline {z'} $
$\overline {zz'} = \overline {(aa' - bb') + (ab' + a'b)i} = (aa' - bb') - (ab' + a'b)i = (a - bi)(a' - b'i) = \overline z .\overline {z'} $
$\overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} = \overline {\left( {\frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}} \right)} = \frac{{\overline {z'} .\overline {\bar z} }}{{z.\bar z}} = \frac{{\overline {z'} .z}}{{z.\bar z}} = \frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}}$
9)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có ${i^{4m}} = 1;\,\,{i^{4m + 1}} = i;\,\,\,{i^{4m + 2}} = - 1;\,\,\,{i^{4m + 3}} = - i$
Hướng dẫn
Ta có ${i^4} = {i^2}.{i^2} = 1$$\begin{array}{l}
{\left( {{i^4}} \right)^m} = {1^m} \leftrightarrow {i^{4m}} = 1 \leftrightarrow {i^{4m}}.i = 1.i\\
\leftrightarrow {i^{4m + 1}} = i \leftrightarrow {i^{4m + 1}}.i = i.i\\
\leftrightarrow {i^{4m + 2}} = - 1 \leftrightarrow {i^{4m + 2}}.i = - 1.i\\
\leftrightarrow {i^{4m + 3}} = - i
\end{array}$
10)
Chứng minh rằng:
a) Nếu $\overrightarrow u $ của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì $|\overrightarrow u |\, = \,|z|$ và từ đó nếu hai điểm ${A_1},\,{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2}$ thì $\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|$.
b) Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z'| = |z|.|z'| và khi z ≠ 0 thì $\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \frac{{\left| {z'} \right|}}{{\left| z \right|}}$
c) Với mọi số phức z, z', ta có $\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$
Hướng dẫn
a) z = a + bi thì $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $, $\overrightarrow u $ biểu diễn số phức z thì $\overrightarrow u $= (a; b)→ $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ do đó $|\overrightarrow u |\, = \,|z|$${A_1},\,{A_2}$ theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2}$ thì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {O{A_1}} = {z_2} - {z_1} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = \left| {{z_2} - {z_1}} \right|$
b) z = a + bi, z’ = a’ + b’i, z.z’ = (aa’ - bb’) + (ab’ + a’b)i, $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\,\,\left| {z'} \right| = \sqrt {a{'^2} + b{'^2}} $
Ta có ${\left| z \right|^2}.{\left| {z'} \right|^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{'^2} + b{'^2}} \right)$
Ta có
${\left| {z.z'} \right|^2} = {\left( {aa' - bb'} \right)^2} + {\left( {ab' + a'b} \right)^2} = {\left( {aa'} \right)^2} + {\left( {bb'} \right)^2} + {\left( {ab'} \right)^2} + {\left( {a'b} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a{'^2} + b{'^2}} \right)$
Vậy |z.z'| = |z|.|z'|
Khi z ≠ 0 ta có $\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \left| {\frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}} \right| = \frac{{\left| {z'} \right|.\left| {\bar z} \right|}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{\left| {z'} \right|.\left| z \right|}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{\left| {z'} \right|}}{{\left| z \right|}}$
c) $\overrightarrow u $ biểu diễn z, $\overrightarrow u’ $ biểu diễn z¢ thì $\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} $ biểu diễn z + z¢ và $\left| {z + z'} \right| = \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right|$
Khi $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \ne \overrightarrow 0 $, ta có ${\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right|^2} = {\overrightarrow u ^2} + {\overrightarrow {u'} ^2} + 2\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {u'} } \right|\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) \le {\left| {\overrightarrow u } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {u'} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = {\left( {\left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow {u'} } \right|} \right)^2}$
→ $\left| {\overrightarrow u + \overrightarrow {u'} } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow {u'} } \right|$ do đó $\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|$
12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.
13)
Chứng minh rằng với mọi số phức z ¹ 1, ta có $1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}$
Hướng dẫn
Với z ¹ 1, $\left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right)\left( {z - 1} \right) = z + {z^2} + ... + {z^9} + {z^{10}} - \left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right) = {z^{10}} – 1$Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)
14)
Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?
a) ${z^2} + {(\bar z)^2}$
b) $\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{(\bar z)}^3}}}$
c) $\frac{{{z^2} - {{(\bar z)}^2}}}{{1 + z\bar z}}$
Hướng dẫn
Ta có $z = a + bi,\,\,\bar z = a - bi$, $\,{z^2} = ({a^2} - {b^2}) + 2abi,\,\,\,\,{\bar z^2} = ({a^2} - {b^2}) - 2abi,\,$Và $\,{z^3} = ({a^3} - 3a{b^2}) + (3{a^2}b - {b^3})i,\,\,{\bar z^3} = ({a^3} - 3a{b^2}) - (3{a^2}b - {b^3})i$
Vậy${z^2} + {(\bar z)^2} = 2({a^2} - {b^2})$ là số thực; $\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{(\bar z)}^3}}} = \frac{b}{{{a^3} - 3a{b^2}}}i$ là số ảo; $\frac{{{z^2} - {{(\bar z)}^2}}}{{1 + z.\bar z}} = \frac{{4ab}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}i$ là số ảo.
15)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:
a) ${z^2}$ là số thực âm;
b) ${z^2}$ là số ảo ;
c) ${z^2} = {(\bar z)^2}$ d
) $\frac{1}{{z - i}}$ là số ảo.
Hướng dẫn
M(x; y) biểu diễn z thì $z = x + yi \Rightarrow {z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi;\,\,{\bar z^2} = {x^2} - {y^2} - 2xyi$a) ${z^2}$ là số thực âm khi xy = 0 và ${x^2} - {y^2} < 0$ ↔ x = 0 và y ≠ 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O
b) ${z^2}$ là số ảo khi ${x^2} - {y^2} = 0$↔ y = ± x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ.
c) ${z^2} = {(\bar z)^2}$ khi xy = 0 ↔ x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ.
d) $\frac{1}{{z - i}} = \frac{1}{{x + (y - 1)i}} = \frac{{x - (y - 1)i}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}$ là số ảo khi x = 0, y ≠ 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;1)
16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:
a) iz + 2 – i = 0
b) $\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0$
c) ${z^2} + 4 = 0$
d) (2 + 3i)z = z - 1
e) $\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0$
Hướng dẫn
b) $z = - \frac{1}{{10}} + \frac{3}{{10}}i$
c) $z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i$
d) – i – 3i; 2 + 3i
e) z = ± 2i
17)
a) Cho số phức z = x + yi (x, y ∈R). Khi z ≠ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức $\frac{{z + i}}{{z - i}}$
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện $\frac{{z + i}}{{z - i}}$ là số thực dương.
Hướng dẫn
a) Phần thực là $\frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}$, phần ảo $\frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}$b) Là số thực dương khi x = 0 và ${x^2} + {y^2} - 1 > 0$ Þ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức i, - i.
18)
a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2},\,{z_3}$. Hỏi trọng tâm DABC biểu diễn số phức nào?
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức ${z_1},\,{z_2},\,{z_3}$ thỏa $\left| {{z_1}} \right| = \,\left| {{z_2}} \right| = \left| {\,{z_3}} \right|$. Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi ${z_1} + \,{z_2} + \,{z_3} = 0$
Hướng dẫn
a) Gọi G là trọng tâm DABC, ta có $\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)$ vậy G biểu diễn số phức $z = \frac{1}{3}\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)$b) Vì $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right|$ nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay ${z_1} + \,{z_2} + \,{z_3} = 0$.
Chỉnh sửa cuối:
