Câu 1: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng 2m, chiều cao 6m. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gốc có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính
A. \(V = \frac{{32}}{3}\left( {{m^3}} \right)\)
B. \(V = \frac{{32}}{3}\pi \left( {{m^3}} \right)\)
C. \(V = \frac{{32}}{9}\pi \left( {{m^3}} \right)\)
D. \(V = \frac{{16}}{3}\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Hướng dẫn
Giả sử khối trụ có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là r, h’ (0<x<2; 0<h’<6).
Ta có: \(\frac{{h'}}{6} = \frac{{2 - x}}{2} \Leftrightarrow h' = 6 - 3x\)
Thê tích khồi trụ: \(V = \pi {x^2}h' = \pi {x^2}(6 - 3x) = 6\pi {x^2} - 3\pi {x^3},0 < x < 2\)
\(\begin{array}{l}V'(x) = 12\pi x - 9\pi {x^2}\\V'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{4}{3}\)
Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ là: \(V = \frac{{32}}{9}\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Câu 2: Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa). Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm. Nhà sản xuất đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó?
A. \(V = 36\pi \)
B. \(V = 54\pi \)
C. \(V = 48\pi \)
D. \(V = \frac{{81}}{2}\pi \)
Hướng dẫn
Ta có thể tích vắt mì tôm được tính bằng \(V = S.h = \pi {r^2}.h\)
Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định:
Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc r.
Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r.
Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vuông góc và song song, dùng định lí Thales ta sẽ có:
\(\frac{h}{9} = \frac{{6 - r}}{6} \Leftrightarrow h = \frac{{18 - 3r}}{2}\)
Khi đó \(V = f\left( r \right) = \pi {r^2}.\frac{{18 - 3r}}{2} = - \frac{{3\pi {r^3}}}{2} + 9\pi {r^2}\) với \(0 < r < 6\)
\(f'\left( r \right) = - \frac{9}{2}\pi {r^2} + 18\pi r = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}r = 0\\r = 4\end{array} \right.\)
Khi đó ta không cần phải vẽ BBT ta cũng có thể suy ra được với \(r = 4\) thì V đạt GTLN, khi đó \(V = 48\pi .\)
Câu 3: Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4 dm3.
A. 1 dm
B. 1,5 dm
C. 2 dm
D. 0,5 dm
Hướng dẫn
Gọi cạnh đáy là a, chiều cao là h.
Diện tích đáy là: a2.
Diện tích xung quanh là: 4ah
Ta có:\(V = {a^2}h = 4 \Rightarrow ah = \frac{4}{a}(*)\)
Lượng vàng cần phải dùng là: \({a^2} + 4ah = {a^2} + \frac{{16}}{a}\)
Xét hàm số \(f(a) = {a^2} + \frac{{16}}{a},a > 0\)
Ta có: \(f'(a) = 2a - \frac{{16}}{{{a^2}}}\)
\(f'(a) = 0 \Leftrightarrow 2a - \frac{{16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{a^3} - 16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 2\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(a) đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2, thay vào (*) suy ra h=1.
Câu 4: Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên là nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
A. 26,43 cm
B. 33,61 cm
C. 40,62 cm
D. 30,54 cm
Hướng dẫn
Sợi dây kim loại 60 cm được căt làm hai đoạn có độ dài lần lượt là x và 60-x.
Giả sử đoạn có độ dài là x dùng làm hình vuông, khi đó cạnh hình vuông là \(\frac{x}{4}\) diện tích hình vuông \({S_1} = \frac{{{x^2}}}{{16}}.\)
Đoạn có độ dài 60-x dùng vòng tròn, khi đó bán kính vòng tròn là \(r = \frac{{60 - x}}{{2\pi }},\) diện tích vòng tròn là \({S_2} = \pi {r^2} = \frac{{{{(60 - x)}^2}}}{{4\pi }}.\)
Vậy tổng diện tích là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {60 - x} \right)}^2}}}{{4\pi }}\)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {60 - x} \right)}^2}}}{{4\pi }},\,\,0 < x < 60\)
Ta có: \(f'(x) = \frac{{(\pi + 4)x - 240}}{{8\pi }};\,\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{240}}{{\pi + 4}} \approx 33,61.\)
Câu 5: Bạn A có một đoạn dây dài 20 m. Bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất.
A. \(\frac{{40}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\)
B. \(\frac{{180}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\)
C. \(\frac{{120}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\)
D. \(\frac{{60}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\)
Hướng dẫn
Gọi x là độ dài đoạn dây uốn thành tam giá đều suy ra: 20-x là độ dài đoạn dây uốn thành hình vuông.
Nên độ dài cạnh tam giác đều là x/3 và độ dài cạnh hình vuông là \(\frac{{20 - x}}{4}m.\)
Tổng diện tích của tam giác đều và hình vuông là \(S = {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} + {\left( {\frac{{20 - x}}{4}} \right)^2}.\)
Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} + \frac{{{{\left( {20 - x} \right)}^2}}}{{16}}\)
Xét hàm số f(x) với 0<x<20 ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{x\sqrt 3 }}{{18}} - \frac{{20 - x}}{8};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{180}}{{9 + 4\sqrt 3 }}.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{180}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Câu 6: Một vật chuyển động theo quy luật s = - \frac{1}{2}{t^3} + 12{t^2}, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 512 (m/s)
B. 90 (m/s)
C. 700 (m/s).
D. 96 (m/s)
Hướng dẫn
Ta có
\(v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 24t \Rightarrow v'(t) = - 3t + 24;v' = 0 \Leftrightarrow t = 8.\)
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số v(t) đạt giá trị lớn nhất tại t = 8 giá trị lớn nhất v(8) = 96
Câu 7: Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{2}{3}{t^3} + 7{t^2} + 3\) với t (giây) \(\left( {7 \ge t \ge 0} \right)\) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là 12 m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét.
A. 141 (m)
B. 39 (m)
C. 111 (m)
D. \(\frac{28}{3}\) (m)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} s = f\left( t \right) = - \frac{2}{3}{t^3} + 7{t^2} + 3 \Rightarrow v = f'\left( t \right) = - 2{t^2} + 14t\\ \Rightarrow v = 12 \Leftrightarrow - 2{t^2} + 14t = 12 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 6}\\ {t = 1} \end{array}} \right. \end{array}\)
Khi vật đạt vận tốc là 12 m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được \(t=6s.\)
Lúc đó, quãng đường vật đi được là: \(s = f\left( 6 \right) = 111\) (mét).
Câu 8: Một thợ xây muốn xây dựng một bể chứa nước hình trụ có thể tích 150 m$^2$. Đáy bể được làm bằng bê tông, thành bể làm bằng tôn, nắp bể làm bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để làm bể chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một m$^2$, tôn 90 nghìn đồng một m$^2$ và nhôm 120 nghìn đồng một m$^2$.
A. 15037000 đồng
B. 15048000 đồng
C. 15038000 đồng
D. 15040000 đồng
Hướng dẫn
Gọi r,h (m$^2$) lần lần lượt là bán kính đường tròn đáy v̀ đường cao của hình trụ. Theo đề ta có:
\(\pi {r^2}h = 150 \Rightarrow h = \frac{{150}}{{\pi {r^2}}}.\)
Khi đó chi phí làm nên bồn chứa nước được xác định theo hàm số:
\(f(r) = 100\pi {r^2} + 120\pi {r^2} + 90.2\pi r\frac{{150}}{{\pi {r^2}}} = 220\pi {r^2} + \frac{{27000}}{r}\) (nghìn đồng)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'(r) = 440\pi r - \frac{{27000}}{{{r^2}}}\\ f'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}} = a \end{array}\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất là:
\(f(a) = f\left( {\sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}} \right) \approx 15038,38797\) hay 15038000 (đồng)
Câu 9: Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nấp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3200 cm3, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích hố của đáy hố ga để khi xây dựng tiết kiệm nguyên liệu nhất?
A. 1200 cm2
B. 160 cm2
C. 1600 cm2
D. 120 cm2
Hướng dẫn
Gọi \(x,y(x,y > 0)\) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga (h>0). Ta có \(\frac{h}{x} = 2 \Rightarrow h = 2x\)
Suy ra thể tích của hố ga là: \(V = xyh = 3200 \Rightarrow y = \frac{{3200}}{{xh}} = \frac{{1600}}{{{x^2}}}\)
Diện tích toàn phần của hố ga là:
\(S = 2xh + 2yh + xy = 4{x^2} + \frac{{6400}}{x} + \frac{{1600}}{x} = 4{x^2} + \frac{{8000}}{x} = f(x)\)
Khảo sát hàm số: \(y = f(x),x > 0\)
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1200 khi x=10.
Suy ra y=16.
Vậy diện tích đáy hố ga là: 10.16=160 cm$^2$
Câu 10: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ nặng \(P(n) = 480 - 20n\) (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 10
B. 12
C. 16
D. 24
Hướng dẫn
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ (n>0). Khi đó:
Cân nặng của một con cá là: \(P(n) = 480 - 20n\)
Cân nặng của n con cá là:\(nP(n) = 480n - 20{n^2},n > 0\)
Xét hàm số:\(f(n) = 480n - 20{n^2},n > 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} f'(n) = 480 - 40n\\ f'(n) = 0 \Leftrightarrow n = 12 \end{array}\)
Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là 12 con.
